Работаю учителем математики в физико-математическом лицее №3 города

Сарова Нижегородской области. В 5 и 6 классах один раз в неделю по

расписанию у нас «Решение нестандартных задач». Предлагаю разработку

трёх уроков в 5-ом классе по теме «Принцип Дирихле».

1-ый урок.

На первом уроке планируется познакомить ребят с формулировкой

принципа Дирихле (и обобщённого принципа Дирихле) и решить ряд задач с

применением этого принципа.

Ход урока:

1 этап – разминка (5 – 8 минут).

1)

В

кафе

встретились

три

друга:

скульптор

Белов,

скрипач

Чернов

и

художник Рыжов. –

«Замечательно, что один из нас – блондин, другой –

брюнет, а третий – рыжий, и при этом ни у одного из нас цвет волос не

соответствует фамилии», – заметил черноволосый. – «Ты прав», – сказал

Белов. Определите цвет волос художника.

Ответ: художник – брюнет. Можно решать с помощью таблицы.

2) Баскетбольный матч команд школ №3 и №9 закончился со счётом 76:80, но

ни один баскетболист не забросил ни одного мяча. Как это могло быть?

Ответ: играли баскетболистки.

3) Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 секунд. За сколько

секунд он поднимется с первого этажа на пятый?

Ответ: за 12 секунд.

4) Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 2 мин.

Сколько времени потребуется на эту работу?

Ответ: 10 минут.

2 этап – изучение нового материала – знакомство с принципом Дирихле (20

– 25 минут).

Сначала

сформулируем

этот

принцип,

причём

заметим,

что

это

его

популярная

формулировка,

которая

тем

не

менее,

не

уменьшает

его

математической строгости.

Принцип Дирихле. Если рассадить в n клетках (n + 1) кролика, то

найдётся клетка, где сидит, по крайней мере, два кролика.

Или: в n клетках невозможно рассадить поодиночке (n + 1) кролика, то

есть найдётся клетка, где сидит не менее двух кроликов.

Обобщение принципа Дирихле. Даны n клеток и (nk + m) (1

¿

m

<n)

кроликов размещены в эти клетки. Тогда найдётся клетка, где сидит не менее

(k + 1) кроликов.

Обратим внимание на то, что в случае k = 1 обобщённый принцип

Дирихле превращается в обычный принцип Дирихле

Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает

внимания, поскольку похожие рассуждения от противного часто встречаются.

Допустим,

что

в

каждой

клетке

число

кроликов

меньше,

чем

2

(т.е.

по

одному). Тогда в n клетках сидит n кроликов, а по условию кроликов (n + 1).

Противоречие!

Учитель: Итак, ребята, у нас есть 8 кроликов и 7 клеток. Как мы будем их

рассаживать?

Ученик: Берём кролика и сажаем его в клетку №1, затем берём кролика и

сажаем его в клетку №2 и т.д.

Учитель:

Теперь

мы

уже

всё

подготовили

для

применения

принципа

Дирихле, и согласно его утверждению найдётся клетка, в которой сидят не

менее двух кроликов.

Учитель: А если клеток будет 7, а кроликов уже 22?

Ученик:

Тогда

мы

применим

обобщённый

принцип

Дирихле,

т.к.

22 = 7∙3 + 1, и будем утверждать, что найдётся клетка, в которой сидят не

менее четырёх кроликов.

Затем ребятам предлагаются простые упражнения вроде следующих

задач.

Задача 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: чёрного и белого.

Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так,

чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Задача 2. В лесу растёт 1000 ёлок. Известно, что на каждой из них не более

600 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две ёлки с одинаковым числом

иголок.

Судя по формулировкам этих задач, ни одна из них не имеет никакого

отношения к «кроликам» и «клеткам».

Разберём теперь решения этих задач.

Решение задачи 1. Достанем из мешка три шарика. Если среди этих шариков

было бы не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не

более двух шаров – это очевидно, и противоречит тому, что мы достали три

шарика. С другой стороны понятно, что двух шариков может и не хватить.

Ясно, что «кроликами» здесь являются шарики, а «клетками» – цвета –

чёрный и белый.

Решение задачи 2. Перед нами 1000 «кроликов» – ёлок и всего лишь 601

«клетка» с номерами от 0 до 600. Каждый «кролик» – ёлка сажается нами в

«клетку»

с

номером,

равным

количеству

иголок

на

этой

ёлке.

Так

как

«кроликов» гораздо больше, чем «клеток», то в какой-то «клетке» сидит, по

крайней мере, два «кролика», так как если бы в каждой клетке сидело бы не

более одного, то всего «кроликов» – ёлок было бы не более 601 штуки. Но

ведь, если два «кролика» – ёлки сидят в одной «клетке», то количество иголок

у них одинаково.

Учитель: Что изменится в задаче, если в лесу растёт не 1000, а 1205 ёлок?

Ученик: Когда мы рассадим в 601 «клетку» по 1 «кролику», у нас появится

возможность

добавить

в

каждую

«клетку»

ещё

по

1

«кролику»,

т.

к.

1205 = 601 ∙ 2 + 3, и мы сможем утверждать, что в лесу найдутся три ёлки с

одинаковым количеством на них иголок.

Обратим внимание на то, что формулировки этих задач носят тот же налёт

расплывчатости вывода, что и сам принцип Дирихле. Часто именно такие

вопросы и решаются с его помощью. Вот ещё три аналогичные задачи.

Задача 3. Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите,

что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

Решение: При решении задачи встречается, казалось бы, непреодолимое

препятствие. Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – это те 14

клеток, в которые мы будем сажать кроликов. Кто же будет кроликами? Ими,

конечно же, должны быть разности между парами данных нам натуральных

чисел. Однако имеется 28 пар, и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в

каждой клетке будет сидеть два «кролика» (и значит, в каждой меньше трёх).

Здесь надо использовать следующее соображение: в клетке с номером 14

может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 можно записать как

разность

двух

натуральных

чисел,

не

превосходящих

15,

лишь

одним

способом: 14 = 15 – 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27

кроликов,

и,

применяя

обобщённый

принцип

Дирихле,

мы

получим

желаемый результат.

Задача 4. В городе N живёт более 5 миллионов человек. Докажите, что у

каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у

любого человека на голове менее миллиона волос.

Решение: «Клетки» – их 1000000 (по числу волос на голове, от 0 до 999999),

«кролики» – жители города N, их 5000000.

Задача 5. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в

каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть, по

крайней мере, 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение: 25 = 3m + 1, где m = 8; «клетки» – сорта яблок, их 3; «кролики» –

ящики с яблоками, их 25. Рассадив «кроликов» по «клеткам», замечаем, что

найдётся «клетка», в которой сидит не менее 9 «кроликов», значит, среди этих

25 ящиков найдутся 9 ящиков с яблоками одного сорта.

3 этап – самостоятельная работа учащихся по решению задач на применение

принципа Дирихле (10 минут).

Ребятам предлагаются две задачи:

1)

В пяти классах школы учатся 160 человек. Доказать, что найдутся 4

человека, у которых день рождения приходится на одну и ту же неделю.

2)

Можно ли увезти 50 камней массой 370, 372, 374, …, 468кг на семи

трёхтонках?

Учащиеся решают эти задачи и оформляют письменно их решение в

тетрадях. На следующем уроке учитель анализирует решения учащихся и

исправляет неправильные решения ребят.

Решение задачи 1: В году максимально 53 недели. Их и примем за «клетки»,

а за «кроликов» примем ребят. Рассаживаем «кроликов» по тем «клеткам»,

которые соответствуют их дням рождения. 160 = 53m + 1, где m = 3. В силу

обобщённого принципа Дирихле найдётся «клетка», по меньшей мере, с

четырьмя «кроликами», а это и означает, что найдётся неделя, на которой

день рождения сразу у четырёх человек.

Решение задачи 2: Нельзя, так как на одной из машин согласно принципу

Дирихле должно быть увезено 8 камней (50 = 7m + 1, где m = 7). Масса же

любых восьми камней больше, чем 3 тонны.

4 этап (1 мин)

– домашнее задание по карточкам (карточки раздаются

заранее):

1) В школе 20 классов. В ближайшем доме живёт 23 ученика этой школы.

Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два

одноклассника?

2) Коля подсчитал, что за день на завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет.

Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырёх конфет.

3) В коллекции имеется 25 монет по 1,2,3,5 копеек. Имеется ли среди них 7

монет одинакового достоинства?

Решение домашних задач:

1) «Клеток» –

классов – 20, «кроликов» – учеников

– 23, значит, по

принципу Дирихле имеем, что найдутся хотя бы два ученика, которые учатся

в одном классе.

2) 10 = 3m + 1, где m = 3, значит, по обобщённому принципу Дирихле имеем,

что хотя бы один раз Коля съел не менее 4 конфет.

3) 25 = 4m + 1, где m = 6, значит, по обобщённому принципу Дирихле имеем,

что в коллекции найдутся 7 монет одинакового достоинства.

5 этап – заключительный – подведение итогов урока (1минута)

Учитель: Итак, ребята, что нового вы узнали на уроке?

Ученики:

Мы

познакомились

с

принципом

Дирихле

для

решения

нестандартных задач.

Учитель: И в чём же его смысл?

Ученик проговаривает.

2-ой урок. Решение задач по принципу Дирихле.

Целью урока является закрепление материала по принципу Дирихле в

ходе решения задач.

1 этап – проверка домашнего задания (8 минут)

В ходе беседы с учащимися учитель повторяет формулировки принципа

Дирихле и обобщённого принципа Дирихле. Проверяется решение домашних

задач

(спросить

трёх

учащихся)

и

каждому

в

качестве

дополнительного

вопроса

предлагается

проговорить

свою

собственную

задачу

на

данный

принцип.

2 этап – закрепление материала в ходе решения задач (25 минут)

Задача 1. Доказать, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющих

одинаковое число знакомых в этой компании.

Решение: Допустим, что в этой компании у каждого человека различное

число знакомых из этой компании, тогда у 1-го – 1 знакомый, у 2-го – 2

знакомых, у 3-го – 3 знакомых, у 4-го – 4 знакомых. Так как в этой компании

никто не может иметь 5 знакомых, то у 5-го человека может быть любое

число знакомых от 1-го до 4-х, а это означает, что в этой компании найдутся

двое, имеющие одинаковое число знакомых из этой же компании.

Учитель: Итак, давайте уточним, кто в этой задаче играет роль «кроликов» и

что – роль «клеток»?

Ученик: «Кролики» –

люди из этой компании, их 5, а «клетки» – число

знакомых (1,2,3 или 4).

Задача 2. 10 супружеских пар, друживших друг с другом, встретились, чтобы

отобедать вместе. Сначала они танцевали в гостиной, а затем все 20 человек

проследовали в столовую друг за другом. Какое наименьшее число человек

должно пройти в столовую, чтобы среди них оказалось:

а) по крайней мере, 1 супружеская пара;

б) по крайней мере, 2 человека одного пола?

Решение: а) Допустим, что в худшем случае, первые 10 человек – из разных

пар, тогда 11-ый человек будет образовывать семейную пару с кем-то из них.

Ответ: 11.

б) Допустим, что в худшем случае, 1-ый человек – мужчина, 2-ой –

женщина, тогда 3-ий человек будет либо мужчина, либо женщина, т.е. одного

пола с кем-то из них.

Ответ: 3.

Задача 3. Докажите, что из любых трёх натуральных чисел можно выбрать

два, сумма которых чётна.

Решение. Все натуральные числа можно разбить на два класса: чётные и

нечётные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы

ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх

натуральных чисел найдутся два числа одинаковой чётности. Их сумма чётна.

Учитель: Кто сможет уточнить, кто в этой задаче играет роль «кроликов»?

Ученик: Три натуральных числа.

Учитель: Хорошо. А что здесь «клетки»?

Ученик: Чётность чисел – чётное число или нечётное. Две возможности.

А сейчас рассмотрим экстремальную задачу, т.е. задачу, где требуется

отыскать

наибольшее

или

наименьшее

значение,

которую

будем

последовательно обобщать. Оказывается, принцип Дирихле помогает при

решении и таких задач.

Задача 4. В ящике 10 пар чёрных и 10 пар красных перчаток одного размера.

Сколько перчаток надо вытащить из ящика наугад, чтобы наверняка среди

них были:

а) 2 перчатки одного цвета;

б) одна пара перчаток одного цвета;

в) одна пара перчаток разных цветов?

Решение:

а)

Понятно,

что

если

за

«клетки»

мы

возьмём

цвета,

а

за

«кроликов» –

перчатки, то взяв любые три «кролика» –

перчатки, мы

получим, что в одной из «клеток» находятся 2 «кролика» – перчатки. А это и

требуется. Значит, надо взять 3 перчатки.

б) Можно взять 20 перчаток, и они будут, в худшем случае, все на одну руку,

тогда 21-ая перчатка будет образовывать пару с какой-то из взятых перчаток.

Докажем, что число 21 является искомым.

Возьмём за «клетки» цвета перчаток. Их два. За «кроликов» возьмём

перчатки. По обобщённому принципу Дирихле в одной из «клеток» будет не

меньше 11 «кроликов». Это означает, что найдётся 11 перчаток одного цвета.

Но пар перчаток одного цвета только 10, поэтому все они не могут быть на

одну руку. Значит, среди этих 11 одноцветных перчаток найдётся одна пара

перчаток. Возникает вопрос: а если бы мы добавили к ним ещё 10 пар белых

перчаток? Какое наименьшее количество перчаток тогда нужно было бы

вытащить, чтобы среди них наверняка встретились:

а) 2 перчатки одного цвета,

б) 1 пара перчаток одного цвета,

в) 1 пара перчаток разных цветов?

В случае а) понятно, что если за «клетки» мы опять примем цвета, то

выбирая 4 любых «кролика» – перчатки, мы получим, что в одной «клетке»

находятся два «кролика», т.е. 2 перчатки одного цвета. Значит, искомое число

равно 4. Ясно, что из трёх разноцветных перчаток мы не можем найти двух

перчаток одного цвета.

В случае б) мы можем взять 30 левых перчаток, из них нельзя выбрать пару

одноцветных

перчаток,

поэтому

искомое

число

перчаток

не

меньше

31.

Докажем, что 31 – искомое число. Выбирая за «клетки» цвет перчаток, а за

«кроликов» – перчатки, мы получаем, по обобщённому принципу Дирихле,

что найдутся 11 перчаток одного цвета. Среди них обязательно найдётся пара

одноцветных перчаток.

в) можно взять 20 перчаток, и они будут, в худшем случае, все – чёрные, тогда

21-ая перчатка будет красной и будет образовывать пару перчаток разного

цвета.

Задача 5 (для самостоятельного решения). В классе 30 человек. В диктанте

Витя Малеев сделал 12 ошибок, а остальные – не больше. Доказать, что по

крайней мере, 3 ученика сделали ошибок поровну, считая и 0 ошибок.

Решение: «Клетки» – количество ошибок от 0 до 12, их 13. «Кролики» –

ученики, их 30; 30 = 13m + 4, где m = 2, значит, в классе найдутся три

ученика, имеющие одинаковое число ошибок.

3 этап – работа в парах (10 минут)

Каждой паре учащихся предлагаются две задачи. Первый ученик решает

первую задачу и рассказывает её решение второму ученику, и наоборот. Затем

они оценивают работу друг друга.

1)

В соревнованиях по вольной борьбе участвовало 12 человек. Каждый

участник должен был встретиться с каждым из остальных по одному

разу.

Докажите,

что

в

любой

момент

соревнований

имеются

два

участника, проведшие одинаковое число схваток.

2)

В школе 30 классов и 1000 учеников. Докажите, что есть класс, в

котором не менее 34 учеников.

Решения:

1)

Участников

12,

значит,

каждый

проводит

по

11

встреч.

Допустим,

что

все

участники

провели

различное

количество

схваток:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 – всего 11 возможностей, а участников 12, значит,

найдутся два участника, проведшие одинаковое число схваток.

2)1000 = 30∙33 + 10, значит, по обобщённому принципу Дирихле найдётся

класс, в котором не менее 34 учеников.

4 этап – заключительный (2 минуты) – подводятся итоги урока, оценивается

работа учащихся во время урока, задаётся домашнее задание на карточках:

1) В классе 33 ученика, а сумма их возрастов составляет 430 лет. Справедливо

ли утверждение, что в классе 20 учащихся, сумма возрастов которых больше

260?

2) В классе 25 учащихся. Из них 20 занимаются английским языком, 17

увлекаются плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что

в классе найдётся хотя бы один ученик, который занимается английским

языком, увлекается плаванием и занимается в математическом кружке.

Решение домашних задач:

1) 430 = 33∙13 + 1, значит, 32-ум ученикам в классе по 13 лет, а одному – 14

лет. Пусть среди 20 учащихся 19 – тринадцатилетних и один – 14-летний,

тогда сумма их возрастов равна 19∙13 + 14 = 261, а 261>260.

Утверждение справедливо.

2) 17 + 14 + 20 = 51; 51 = 25∙2 + 1.

Вывод: в классе есть ученик, который занимается и английским языком, и

плаванием, и в математическом кружке.

3-ий урок. Решение задач.

Ход урока:

1 этап – проверка домашнего задания (5 минут).

2

этап – решение задач, подготовка к проверочной работе по теме (38-39

мин).

Задача 1. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно,

что

среди

них

есть

школьники,

решившие

ровно

1

задачу,

школьники,

решившие

ровно

2

задачи,

и

школьники,

решившие

ровно

3

задачи.

Докажите, что есть школьник, решивший не менее 5 задач.

Решение: Допустим, что первые три ученика решили соответственно 1, 2 и 3

задачи, тогда остальные 7 школьников решили всего 35 – 6 = 29 задач, но

29 = 7 ∙ 4 + 1, значит, найдётся один школьник, решивший 5 задач.

Задача 2. Докажите, что среди 25 учеников класса по крайней мере трое

родились в одном месяце.

Решение: В году 12 месяцев, 25 = 12m + 1, где m = 2, значит, найдутся три

ученика, родившиеся в одном месяце.

Задача 3. На занятии математического кружка 25 школьников получили 290

жетонов за правильное решение задач. Докажите, что по крайней мере два

ученика получили жетонов поровну (возможно, по 0).

Решение: Допустим противное: пусть все школьники получили различное

число жетонов, тогда общее число жетонов равно 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 24 =

300 жетонов

– противоречие! Значит, найдутся два ученика, получившие

одинаковое число жетонов.

Задача 4. 1800 учеников района выполняли тест из 100 заданий. У Сидорова

31 неверный ответ. У остальных

– меньше. Докажите, что найдутся 59

школьников с одинаковыми результатами тестирования.

Решение: 1799 учащихся делим на 31 группу по результату (от 0 до 30

ошибок)

58 ∙ 31 = 1798. Значит, найдётся группа, в которой не менее 59 школьников.

Задача 5. 106 т строительных материалов упаковано в ящиках; масса каждого

из них не превышает 6 т. Грузовой лифт перевозит их на крышу небоскрёба.

Если

масса

груза

более

25

т,

лифт

автоматически

отключается.

Какое

количество рейсов лифта достаточно для перевозки груза?

Решение: В каждый рейс можно загрузить не менее 19 т. Поэтому достаточно

106 : 19, т.е. 6 рейсов. 5 рейсов может оказаться недостаточно. Например,

если 21 одинаковый ящик попытаться перевезти в 5 рейсов, то в одном из

рейсов будет 5 ящиков общей массой более 106 тонн. Ответ: 6

рейсов.

3 этап – подведение итогов, оценивание работы учащихся во время урока,

сообщение домашнего задания (1-2 минуты).

Домашнее задание (на карточках):

1)

В

клуб

«Миллионеры

России»

вступили

1000000

миллионеров.

В

анкетах они оценили свой капитал от 10 млн. до 10 млрд. рублей (с

округлением до 1 млн.). Можно ли утверждать, что найдётся более 100

миллионеров с одинаковыми «анкетными данными»?

2)

Какое наименьшее

число полей на доске 8

×

8 можно закрасить в

чёрный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трёх полей было, по

крайней мере, одно не закрашенное поле?

Решение домашних задач:

1)

Можно. В противном случае каждую анкетную сумму (9991 различное

значение) имеет не более 100 миллионеров, т.е. всего их не более

999100.

2)

Разобьём доску на 16 квадратиков 2

×

2 – это «клетки»; «кроликами»,

конечно, будут чёрные поля.

4-ый урок. Проверочная работа

по теме «Принцип Дирихле».

Работа даётся учителем на 45 минут. Целью её проведения является

установить, во-первых, как дети усвоили тему, умеют ли они применить

принцип в данной задаче и, во-вторых, проверить, как дети оформляют

решение задач.

Содержание работы:

1)

В

классе

35

человек.

Доказать,

что

найдутся

хотя

бы

два

одноклассника, фамилии которых начинаются с одной буквы.

2)

В пяти классах учатся 160 человек. Доказать, что найдутся четыре

человека, у которых день рождения в одну и ту же неделю (в году 53

недели).

3)

В мешке 10 синих шаров, 8 жёлтых и 4 белых. Какое наименьшее

количество шаров надо вынуть, не глядя, чтобы среди шаров было

обязательно

а) два шара одного цвета;

б) 7 жёлтых шаров;

в) три шара каждого цвета?

Решение задач проверочной работы:

1)

В русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться с букв

«ы», «ъ», «ь», «й», осталось 29 букв. В этой задаче «клетки» – буквы, с

которых

может

начинаться

фамилия,

их

29;

«кролики»

–

одноклассники,

их

35.

Так

как

35>29,

то

по

принципу

Дирихле

найдутся хотя бы два одноклассника, фамилии которых начинаются с

одной буквы.

Даже если бы фамилии людей могли начинаться с букв «ы», «ъ», «ь»,

«й», задача бы имела такое же решение.

2)

В этой задаче «клетки» – недели, их 53; «кролики» – школьники, их

160.

Так как 160 = 53∙3 + 1, то по обобщённому принципу Дирихле найдутся

четыре человека, у которых день рождения в одну и ту же неделю.

3)

а) Пусть в худшем случае, из мешка вынули сначала 1 синий шар, затем

1 жёлтый шар, затем 1 белый шар, тогда 4-ый шар будет одного цвета с

каким-то из этих шаров.

Ответ: 4 шара.

б) Пусть в худшем случае жёлтые шары никак не вынимались, и таким

образом мы выбрали 14 шаров, а затем «пошли» жёлтые шары, их

нужно 7, значит, надо вынуть 21 шар.

Ответ: 21 шар.

в) Так как в мешке белых шаров меньше, чем других, то в худшем

случае надо вынуть сначала 10 синих, потом 8 жёлтых и, наконец, 3 белых

шара. И тогда окажется, что среди взятых шаров (их 21) обязательно

найдутся три шара каждого цвета.

Ответ: 21 шар.