Автор: Портнягина Акулина Гаврильевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Сырдахская СОШ им.И.С.Портнягина"
Населённый пункт: с.Сырдах, Усть-Алданский улус, Республика Саха (Якутия)
Наименование материала: методическая разработка
Тема: "Решение уравнений и неравенств с параметрами"
Раздел: полное образование
МОУ «Сырдахская средняя общеобразовательная школа им. И.С. Портнягина»
«Согласовано» «Согласовано» «Согласовано»
руководитель МО зам. директора по УВР директор школы
« » …………… 2009 г. « » …..………… 2009г. « » …………….. 2009
____________( Куличкина М.И) ____________( Черкашина У.И.) ______________(Тарский Г.И.)
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ЭЛЕКТИВНОМУ КУРСУ
«Решение уравнений и неравенств с параметрами»
(Обучающие и проверочные задания)
ученика(цы) ……… класса
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
Составила: учитель математики
Портнягина А.Г.
2010
I
. Решение линейных уравнений с параметрами
Определение. Уравнение вида kx=b , где х – переменная , k и b -
некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Алгоритм решения уравнения k
(
a
)
x
=b
(
a
)
Условие для поиска значений параметра «а»
Характеристика множества корней
1.
k(a) – не имеет смысла
2.
b(a) – не имеет смысла
3.
0
)
(
0
)
(
a
b
a
k
Нет корней
1.
смысл
имеет
a
b
a
k
)
(
0
)
(
Один корень х =
k(a)
b(a)
1.
0
)
(
0
)
(
a
b
a
k
х– любое из R
1. Решите уравнение ax =1.
Решение: если а = 0 , то нет решений
если а
0 , то х =
a
1
Ответ: если а
0 , то х =
a
1
если а = 0 , то нет решения
2. Проанализируйте решение уравнения (а – 2) х = 3.
Решение:________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ:__________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
3. При каких значениях а, уравнение
0
2
x
a
x
не имеет решений?
Решение : х
-2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет
решение если а = -2
Ответ: при а = -2 нет решений
4. При каких значениях a, уравнение
0
2
a
x
x
имеет решение?
Решение:________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ: при а
-2, х = 2 .
5. Решите уравнение:
0
2
a
a
x
Обоснуйте решение ______________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
6. Решите уравнение :
1
2
3
x
a
Решение: При х
2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х –2, откуда
х = а + 5 . Найдем значение а, при котором х =2, 2 =а + 5, а = -3.
Ответ: при а
-3 , х = а + 5
при а = -3 нет корней.
7. Для каждого значения а решите уравнение: ах – 2х + а = 0
Решение:________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
__________________
Ответ: при а
2 , х =
a
a
2
при а=2 решений нет .
8. Найдете значения а , при каждом из которых уравнение а(3х-а) =6х – 4 имеет
положительный корень.
Решение: _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ: при а
Î
(0;+
¥
)
9. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х –а
2
+ 4а - 4 = 0 есть корни больше 1.
Решение: 2ах – 4х – а
2
+ 4а - 4 = 0
2(а-2) х = а
2
–4а +4
2(а-2) х = (а-2)
2
При а = 2, 0 х = 0 решением будет любое число, в том числе и большее 1.
При а
2 х =
2
2
a
, по условию х> 1, то
2
2
a
> 1, а>4 .
Ответ : при а
Î
{2}
È
(4 ; +
¥
) .
10. При каких значениях а среди корней уравнения х – ах + а
2
– 1=0 есть корни больше 1?
Решение:________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ: при а
Î
(0 ; +
¥
) .
11. Решите уравнение
3
4
2
2
2
a
a
x
a
a
Решение: если а =2, то __________________________________________________________
если а = -3, то _________________________________________________________
если а= -2 ,то _________________________________________________________
если а
2 , а
-2 , а
-3 , то х = ___________________________________________
Ответ:
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
12. Решите уравнение (а
2
-1) х = а +1 .
Решение: _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ: если а =1, то решений нет
если а = -1, то х – любое число
если а
1, а
- 1, то х =
1
1
a
13. Решите уравнение | х –2 | + | х+а | = 0
Решение: т. к. каждое слагаемое не отрицательно, то решение этого
уравнения равносильно решению системы
,
0
0
2
a
x
x
,
0
0
2
a
x
x
a
x
x
2
Ответ: если а
- 2 нет решений
если а = -2, то х =2 .
14. При каких значениях а, уравнение |х+2| +|а(х-1)| = 0 имеет решение?
Обоснуйте решение: _____________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ: если а = 0, то х = -2 .
15. Обоснуйте и найдите значения а, при которых уравнение
(х- a +1)
2
– (х + a - 1)
2
= 2х + 6 имеет отрицательный корень.
Решение: ______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ : при а >
2
1
Тест 1
1. Решите уравнение mx + 2 = - 1 относительно х .
А. x = -
m
3
, при m
0
Б. 1) при m = 0 корней нет;
2) при m
0 x =
m
1
В. 1) при m = 0 корней нет
2) при m
0 x = -
m
3
.
2. Решите уравнение k(х – 4 ) + 2(х + 1) = 1 относительно х .
А.1) при k = -2 корней нет;
2) при k
-2 х =
2
1
4
k
k
Б.1) при k = - 2 корней нет
2) при k =
4
1
x = 0
В.1) при k = 0 корней нет; 2) при k
0 х =
2
1
4
k
k
; 3) при k
-2 , k
4
1
х =
2
1
4
k
k
3. Решите уравнение 2а (а-2)х = а
2
-5а+6 относительно х .
А. 1) при а =2 х
Î
R ; 2) при а =0 корней нет; 3) при а
0 и а
-2, х =
)
2
(
2
)
2
)(
3
(
a
a
a
a
Б. 1) при а =2 х
Î
R; 2) при а =0 корней нет; 3) при а
0 и а
2, х =
a
a
2
2
В. 1) при а=2 х
Î
R; 2) при а =0 корней нет; 3) при а =3 х =3; 4) при а
2, а
0, а
3 х =
a
a
2
3
4. При каких значениях b уравнение 1+2х –bх=4+х имеет отрицательное решение?
А.При b < 1 Б. При b > 1 В. При b < -2
II.Решение линейных неравенств с параметром
Алгоритм решения неравенства к(х) >b
(
a
)
Условия для значений параметра а .
Характеристика множества решений.
1.
0
b(a)
0
k(a)
смысла
имеет
-
b(a)
смысла
имеет
)
(
не
не
a
k
Нет решений
2.
смысл
имеет
)
(
0
)
(
a
b
a
k
x >
)
(
)
(
a
k
a
b
3.
смысл
имеет
)
(
0
)
(
a
b
a
k
x>
)
(
)
(
a
k
a
b
4.
0
)
(
0
)
(
a
b
a
k
x - любое из R.
1 .Решите неравенство: (а-4) х +а-5>0.
Решение: (а-4) х>5-a.
если а>4,то х >
4
5
a
a
если а<4, то х<
4
5
a
a
если
;
5
,
4
;
0
5
,
4
a
a
a
a
то х – любое из R .
если
0
5
4
a
a
, то нет решений .
2.Обоснуйте при каких значениях а неравенство (а
2
-а-6)х >
4
2
a
не имеет решений?
Решение:________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ответ: при а
Î
[ -2;2)
È
{3}
3.Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.
Решение: если а=0,то 0х +1>0, 0x>-1 при любом х.
если а>0, то х>-
a
1
если a<0, то х<-
a
1
Ответ: при а=0 , х любое
при а>0, х>-
a
1
при a<0, то х<-
a
1
4.
Решите неравенство а-а
2
х <-2.
Решение: если а=0, то ____________________________________________________________
_________________________________________________________________________
если а
0, то ____________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Ответ: при а=0 , нет решений.
при а
0, х >
2
2
a
a
5.Решите неравенство 4ах –5х +3>2ах+3х+11
Решение: _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_________
Ответ: при а>4 , x>
4
4
a
при а<4, x<
4
4
a
при а=4, решений нет.
6.
Решите неравенство |х+3| >-а
2
Решение: если а=0, то |х+3|>0, значит х>-3 или х<-3
если а
0, то при любом х левая часть больше правой части.
Ответ: при а =0, х>-3 или х<-3.
при а
0, х –любое.
7.Решите неравенство а(х-1)+4х-9>
2
)
4
(
7
a
x
.
Решение: 1. если а>2 , то неравенство равносильно (а
2
+2а-15)х> а
2
+7а+10.
при а=3 ,то
________________________________________________________________________________
при а
Î
(2;3),то __________________________________________________________
________________________________________________________________________
при а>3 ,то ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
2.
если а< 2, то неравенство равносильно (а
2
+2а-15)х < а
2
+7а+10.
при а=-5 ,то_____________________________________________________________
при а< -5, то ____________________________________________________________
________________________________________________________________________
при а
Î
(-5;2), то __________________________________________________________
________________________________________________________________________
Тест 2
1.При каких значениях a неравенство ax – a
2
+9 >0 не имеет решений?
А. a=0
Б.
;
3
,
3
,
0
a
a
a
В.
3
,
3
,
0
a
a
a
2. При каких значениях b неравенство
2
4
2
b
x
b
выполнимо при любом значении x?
А. b=2,
Б. b<2
В. b
2,
b=-2.
b
-2.
3. При каких значениях а неравенство ax-2x+a>0 справедливо при любом x?
А. a>2
Б.
2
2
a
a
В.
2
2
a
a
4. При каких значениях а неравенство 4ax –5x+3>2ax+3x+11 не имеет решения?
А. a>4
Б. a<4
В.a=4
III.Решение систем линейных уравнений с параметрами
Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у называется система
вида
)
0
,
0
,
0
где
0,
c
y
b
x
a
)
0
,
0
,
0
где
,
0
c
y
b
x
a
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
c
b
a
c
b
a
Решение данной системы - это пары чисел (х; у), являющиеся решениями одновременно
и первого, и второго уравнения .
Если
2
1
2
1
b
b
a
a
, то система имеет единственное решение.
Если
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
, то система не имеет решений.
Если
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
, то система имеет бесконечно много решений.
1. При каких значениях параметра а система
14
7
3
2
by
ax
y
x
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение?
Решение: а)
14
7
6
3
2
a
, а=4;
б)
6
3
2
a
, а
4 .
Ответ: а) если а =4, то система имеет множество решений;
б) если а
4 , то единственное решение .
2.
При каком значении k система
k
y
x
y
x
10
5
5
2
имеет бесконечное множество решений?
Решение: _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Ответ: при k
25.
3. При каком значении m система
2
2
1
)
1
(
y
x
y
m
x
имеет единственное решение? Найдите
это решение.
Решение:
2
1
1
1
m
, m
1
;
1
1
2
1
;
2
2
1
2
1
m
y
y
x
y
my
y
y
x
1
1
1
3
m
y
m
m
x
Ответ: если m
1, то единственное решение
1
1
,
1
3
m
y
m
m
x
4.Решите систему уравнений
y
b
x
y
a
x
3
Решение: _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Ответ:
4
;
4
3
b
a
y
b
a
x
.
Тест 3
1.При каких значениях параметра b система уравнений
b
y
x
y
x
4
6
5
2
3
имеет бесконечное множество решений ?
А . b =10 Б. b
10 В. b = -10
2. При каком значении d система
5
)
2
(
8
1
5
2
y
d
x
y
x
не имеет решений?
А. d
-2 Б. d
-25 В. d
-27
3.При каких значениях m и n система
1
1
ny
x
y
mx
имеет единственное решение?
А. nm = -1 Б . nm
1 В. m=1
m
1 n
-1 n= -1
n
-1. m
1
4. При каком значении а система
6
4
3
y
ax
y
x
имеет единственное решение?
А. а= -3 Б. а
-3 В. а
-1/3
IV.Решение квадратных уравнений с параметрами
Уравнение вида
ах
2
+bx+c=0, где х – переменная,
а
0 называется квадратным. Корни
квадратных уравнений х
1
; х
2
причем х
1
<
х
2
. Дискриминант квадратного уравнения
D
= b
2
–4ac .
Теорема Виета: х
1
+ х
2
= -
a
b
, х
1
х
2
=
a
c
.
Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром
А(а) х +В (а) х +С(а) =0
Условия для поиска значений параметра.
Характеристика множества решений.
1.А(а) –не имеет смысла .
2.В(а) – не имеет смысла .
3.С(а) – не имеет смысла .
4.
0
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
5.
0
D(a)
0
A(a)
Нет решений.
смысла
имеет
не
-
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
Один корень х = -
)
(
)
(
a
B
a
C
0
D(a)
0
A(a)
Один корень х = -
)
(
2
)
(
a
A
a
B
0
D(a)
0
A(a)
Два корня х
1,2
=
)
(
2
)
(
)
(
a
A
a
D
a
B
0
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
x - любое из R
1.Найти все значения параметра а, при которых уравнение
x
2
–2(а-2)х +а
2
–2a-3=0 имеет два различных положительных корня.
Решение: D> 0, 4(а-2)
2
–4(а
2
-2а-3)>0, а< 3,5
По теореме Виета условием положительности корней будет
0
3
2
0
2
2
a
a
a
1
,
3
,
2
a
a
a
a>3
Ответ: а
Î
(3;3,5)
2.
Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения
отрицательны x
2
+(а+1)х+а+4=0
Решение:________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Ответ: а
Î
(5;+
¥
)
3.
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(2а-1)х
2
+ ах + 2а-3=0 имеет одно решение.
Решение: при а =
2
1
уравнение примет вид 0х+
2
1
х-2=0, х=4
D = а
2
- 4(2а-1)(2а-3) =0
15а
2
- 32а + 12=0
а
1,2
=
15
19
2
16
Ответ: при а=
2
1
, а
1,2
=
15
19
2
16
уравнение имеет один корень.
4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(3а-1)х
2
+ 2ах + 3а - 2=0 имеет два различных корня.
Решение:________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Ответ: при а
Î
3
1
;
16
17
9
È
16
17
9
;
3
1
.
5. Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения
(а+1)х
2
+ 2ах + а + 3=0 положительны .
Решение: при а =-1 получим -2х+2=0, х=1 - положительный корень.
при а
-1 D
0 4a
2
– 4(а+1)(а+3)
0
а
2
– а
2
- 4а -3
0
а
-3/4
Условие положительности корней определяется
0
1
2
0
1
3
a
a
a
a
0
)
1
(
2
0
)
1
)(
3
(
a
a
a
a
0
1
1
3
a
a
a
с учетом a
4
3
и a=-1
Ответ: а
Î[
-1;-
4
3
]
6.
Найдите значения параметра а, при которых оба корня уравнения
x
2
- 2ах + а
2
- 1=0 удовлетворяют неравенству -2< х< 4
Решение: Условие существования корней
4
D
>0 , а
2
-а
2
+1>0, 1>0 корни
существуют при любых а. Найдем их х
1
=а-1 х
2
=а+1. Наименьший больше –2 ,
а больший меньше 4.
;
4
1
2
1
a
a
;
3
1
a
a
-1<a<3
Ответ: а
Î
(-1;3)
7. Решите уравнение
a
x
a
x
.
Решение: Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому при а<0 уравнение
не имеет решения.
при а =0, х=0
при а>0
x
x
a
a
a
x
x
a
a
x
2
2
a
a
x
a
2
2
1
2
a
x
а
1
, х=
4
)
1
(
2
a
при 0<a<1 решений нет.
Ответ: при а< 0, 0<a<1 нет решений
при а=0, х=0
при а
1, х =
4
)
1
(
2
a
.
8.Решите уравнение
x
a
x
1
2
Решение:
x
a
x
1
2
0
)
(
1
2
2
x
a
x
a
x
a
x
a
ax
1
2
2
a
x
a
a
a
x
0
2
1
2
Найдем значения, при которых х
а.
a
a
a
2
1
2
Î
a
a
a
0
2
1
2
[
-1:0)
È[1
:
¥
), х =
a
a
2
1
2
.
9. При каждом значении параметра а укажите число решений уравнения
х
2
+ х + 3(х
2
+ х + 1) =а.
Решение: D
0
, то ________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Ответ: при а
>2
- два решения
при а=2 - одно решение
при а
<2
- нет решений.
Тест 4
1.
При каких значениях а парабола у=ах
2
-2х + 25 касается оси ОХ ?
А. При а =25 Б. При а=0 и а = 0,04 В При а = 0,04
2. Найдите наименьшее целое значение k, при котором уравнение 3х
2
-х -k =0 имеет два
различных корня .
А. k = -2
12
1
Б. k = -2 В. k = -3
3. При каких значениях а произведение корней уравнения х
2
– 4х + а
2
- 3а
+2 =0 равно нулю?
А. При а=-1, а=-2 Б. При а = 1, а =2 В. При а=2 , а=4
4. При каких значениях k уравнение (k -2) х
2
– (4-2 k )х + 3 =0 имеет единственное
решение ?
А. При k =-5, k =-2 Б. При k = 5 В. При k =2, k =5
5.При каком значении b сумма квадратов корней уравнения
х
2
– (b+2) x + b - 3=0 принимает наименьшее значение?
А. Таких значений b нет Б. При b =9 В. При b=-1
V.Решение квадратных неравенств параметрами
Алгоритм решения квадратных неравенств
А(а)х
2
+В(а)х+С(а)
0
Условия значения поиска параметра а
Характеристика множества корней .
1.А(а) –не имеет смысла .
2.В(а) –не имеет смысла.
3.С(а) – не имеет смысла
4.
0
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
5.
0
D
0
A(a)
Нет решений.
смысл
имеет
-
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
х
B(a)
C(a)
смысл
имеет
-
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
х
B(a)
C(a)
0
D
0
A(a)
[
¥
È
¥
Î
;
;
2
1
x
x
x
)
(
2
)
(
2
,
1
a
A
D
a
B
x
0
D
0
A(a)
]
2
1
; x
x
x
Î
1.
0
C(a)
0
B(a)
0
A(a)
2.
0
D
0
A(a)
x –любое из R
1. При каких значениях параметра а неравенство (а+6)х
2
-(а+3)x+1<0 не имеет решений?
Решение: если
]
[
]
Î
Î
3
;
5
6
3
;
5
3
6
0
)
6
(
4
)
3
(
3
6
0
3
6
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
a
a
нет решений,
если
]
Î
3
;
5
6
0
6
a
a
D
a
нет решений
Ответ: при а
Î¥;6È[5;3]
2. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство х
2
-2ах +а
2
+2а-3>0
выполняется при всех значениях х.
Решение:__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
Ответ: при а
>
2
3
3. Решите неравенство: ах
2
-2(а+3)х+а
0
Решение: а) если
3
0
0
)
3
(
0
a
a
a
a
, то x
)
3
(
2
a
a
б) если
3
0
a
a
, то
)
3
(
2
a
a
x
в) если
0
0
3
0
a
a
a
, то нет решений г) если
2
3
0
0
0
a
a
D
a
, то нет решений
д) если
0
2
3
0
0
9
6
0
0
4
0
a
a
a
a
a
D
a
,
то х
Î[
a
a
a
a
a
a
9
6
3
;
9
6
3
]
е) если а
<0
, то х
Î¥;
a
a
a
9
6
3
]È[
a
a
a
9
6
3
;¥
4. При каких а решением неравенства (х-а)
2
(х-а)(х+3)
0 будет отрезок ?
Решение: Так как (х-а)
2
0 , то данное неравенство равносильно
совокупности
a
x
x
x
0
)
3
)(
2
(
.
Решением неравенства совокупности является отрезок
[3:2]
,
следовательно, при а
Î[3:2]
решением совокупности будет
отрезок.
Ответ: -3
а
2
5. Найдите все значения а, при которых неравенство ах
2
+2(3-2а)х-24>0 не имеет решений
Решение: __________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
Ответ: при а = -
2
3
.
Решения и ответы
I.
Решение линейных уравнений.
№2
(a-2)x =3, если a=2, то нет решений, если a
2, то x=
2
3
a
.
№4
0
2
a
x
x
,
a
x
x
2
, следовательно, при a
-2 x=2.
№5
0
2
a
a
x
2
a
a
x
, если a=2, то нет решений
если a
2, то x = a.
№7
ax –2x +a = 0, (a-2)x =-a,
a
a
x
2
, если a=2, то нет решений
если a
2, то
a
a
x
2
.
№8
a(3x-a) = 6x-4
3ax –a
2
= 6x-4
(3a-6)x = a
2
–4
6
3
4
2
a
a
x
0
,
)
2
(
3
)
2
)(
2
(
x
a
a
a
x
0
)
2
(
3
)
2
)(
2
(
a
a
a
при
2
a
, то
0
x
.
№10
x – ax + a
2
–1 =0
(1-a)x=1- a
2
если a=1, то 0x=0, x – любое, в том числе и больше 1;
если a
1, то x=1+ a, по условию x>1, то a+1>1, т.е. a>0
при
¥
Î
;
0
a
есть корни больше 1.
№11
если a=2, то 0x=0, x – любое
если a=-3, то x=0
если a=-2, то 0x=0, x – любое
если a
2, a
-2, a
-3, то x= a+3
№12
(a
2
–1)x = a + 1
(a-1)(a+1)x = a +1
если a=-1, то 0x=0, x – любое
если a=1, то 0x=2 – нет решения
если a
-1, a
1, то x=
1
1
a
.
№14
уравнение
0
)
1
(
2
x
a
x
решение равносильно решению системы
a
ax
x
x
a
x
2
,
0
)
1
(
0
2
, значит,
при a=0, то x=-2
№15
6
2
)
1
(
)
1
(
2
2
x
b
x
b
x
2x –2bx - 2bx + 2x = 2x+6
x-2bx=3
b
x
2
1
3
, т.к. x<0, то
2
1
b
, при
2
1
b
, x<0
ТЕСТ №1
Номер задания
1
2
3
4
Код верного ответа
В
А
Б
Б
II.Решение линейных неравенств с параметрами.
№2
1)
0
4
2
a
, т.е. при
2
;
2
Î
a
нет решений
2)
2
3
0
4
2
,
3
,
0
4
0
6
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
при
3
2
;
2
È
Î
a
неравенство не имеет решений
№4
если a=0, то нет решений
если a
0, то
2
2
a
a
x
№5
11
3
2
3
5
4
x
ax
x
ax
равносильно
4
)
4
(
x
a
, если
4
a
, нет решений
если
4
a
, то
4
4
a
x
если
4
a
, то
4
4
a
x
№8
1) если
2
a
, то
10
7
)
15
2
(
2
2
a
a
x
a
a
)
5
)(
2
(
)
5
)(
3
(
a
a
x
a
a
при
3
a
нет решений
при
3
;
2
Î
a
3
2
a
a
x
при
3
a
3
2
a
a
x
2) если
2
a
, то
10
7
)
15
2
(
2
2
a
a
x
a
a
)
5
)(
2
(
)
5
)(
3
(
a
a
x
a
a
при
5
a
3
2
a
a
x
при
2
;
5
Î
a
3
2
a
a
x
ТЕСТ №2
Номер задания
1
2
3
4
Код верного ответа
Б
А
Б
В
III.
Решение систем линейных уравнений с параметрами
№2
,
10
5
5
2
k
y
x
y
x
,
5
5
1
k
25
k
при
25
k
№4
;
3y
b
x
y
a
x
b
y
x
a
y
x
3
, т.к.
3
1
1
1
, то система имеет единственное решение
y
b
y
a
3
4
3
,
4
b
a
x
b
a
y
, a и b – любое
ТЕСТ №3
Номер задания
1
2
3
4
Код верного ответа
А
В
А
Б
IV.
Решение квадратных уравнений с параметрами
№2
0
4
)
1
(
2
a
x
a
x
5
1
0
)
3
)(
5
(
1
0
15
2
0
1
0
2
a
a
a
a
a
a
a
a
D
при
¥
Î
;
5
a
№4
0
2
3
2
)
1
3
(
2
a
ax
x
a
3
1
0
2
9
8
0
1
3
0
2
a
a
a
a
D
при
È
Î
16
17
9
;
3
1
3
1
;
16
17
9
a
№9
a
x
x
x
x
)
1
(
3
2
2
0
3
4
4
2
a
x
x
0
D
0
16
48
16
a
32
16
a
2
a
при
2
a
два решения
при
2
a
одно решение
при
2
a
нет решений
ТЕСТ №4
Номер задания
1
2
3
4
5
Код верного ответа
В
Б
Б
Б
В
V.
Решение квадратных неравенств с параметрами
№2
0
3
2
2
2
2
a
a
ax
x
выполняется при всех
x
, когда
0
D
0
12
8
4
4
2
2
a
a
a
12
8
a
3
4
a
при
3
4
a
№5
0
24
)
2
3
(
2
2
x
a
ax
2
3
0
)
3
2
(
0
0
9
12
4
0
0
0
2
2
a
a
a
a
a
a
D
a
Заключение
Назначение
данной
тетради
-
помочь
ученику
в
достижении
ряда
важных
целей,
которые стоят перед ним в процессе обучения математике.
Задачи
с
параметрами
традиционно
представляют
для
учащихся
сложность
в
логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач
открывает
перед
учащимися
большое
число
эвристических
приемов
общего
характера,
применяемых в исследованиях на любом математическом материале.
Школьная базовая программа уделяет мало внимание, решению этих задач, предлагая
рассматривать их факультативно.
К
задачам
с
параметрами,
рассматриваемых
в
школьном
курсе,
можно
отнести,
например, поиск решений линейных и квадратных уравнений и неравенств в общем, виде,
исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.
Главной
методической
особенностью
тетради
является
ориентированность
её
на
возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.
В тетради задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:
- решение линейных уравнений;
- решение линейных неравенств;
- решение квадратных уравнений;
- решение квадратных неравенств;
- решение системы уравнений, неравенств.
В начале каждой темы дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач.
Учащемуся
представляется
возможность
поиска
решений
аналогичной
задачи
в
последующем тексте и её решение.
Для
овладения
этими
способами
и
приобретения
соответствующего
навыка
предлагается ряд задач для самостоятельного решения, ответы которых представлены в конце
тетради.
В завершении каждой темы даны тесты для итогового контроля уровня знаний.
Тетрадь
поможет
учащимся
привить
интерес
к
решению
задач
с
параметрами
в
процессе
самоподготовки
и
самопроверки
уровня
знаний
и
навыков
решения
задач
с
параметрами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М.,
Математика в школе №6/99 с.60-68
2.
Звавич
Л.И.
и
др.
Алгебра
и
начала
анализа.
3600
задач
для
школьников
и
поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 1999 г. – 382 с.
3.
Кожухов С.К. Об одном классе параметрических задач. – М., Математика в школе,
№3/96 с.45-49
4.
Кожухов С.К. Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в
школе, №6/98 с.9-12
5.
Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в
вузы. – М.:АРКТИ 200 – 48 с.
6.
Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М.,
Математика в школе, №5/2001 с.60-62
7.
Ястребинецкий
Г.А.
Уравнения
и
неравенства,
содержащие
параметры.
М.:
Просвещение, 1972г.