МБОУ «Школа № 44» г. Рязани

Открытый урок

по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема: “Показательные уравнения”

Учитель математики высшей категории:

Зима Н.Ф.

Рязань

2018-2019 уч. год

Тема урока: «Показательные уравнения».

Тип урока: Урок обобщения и систематизации предметных знаний.

Цели урока:

Образовательные:

актуализация

опорных

знаний

при

решение

показательных

уравнений,

обобщение

знаний

и

способов

решения;

контроль и самоконтроль знаний, умение сформулировать обобщенный

вывод, уровень сформированности УУД.

Развивающие:

развитие

умений

и

навыков

в

применении

знаний

в

конкретной ситуации;

развитие

навыков

реализации

теоретических

навыков

в

практической

деятельности;

развитие

умения

сравнивать,

обобщать,

правильно

формулировать

и

излагать мысли;

развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.

Воспитательные:

Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

Воспитание

культуры

общения,

умения

работать

в

коллективе,

взаимопомощи;

Воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении

цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Методическая

цель

урока:

систематизация

предметных

знаний,

универсальных учебных действий (решение предметных задач)

Методы обучения: словесный, практический, контролирующий

Оборудование: набор карточек, раздаточный материал, лист контроля знаний

учащихся.

План урока

I. Организационный момент 1-2 мин.

II. Актуализация знаний учащихся 5-7 мин.

- постановка целей и задач

- опрос

- математический диктант

III. Формирование новых знаний 5 мин.

IV. Самоопределение к деятельности 5 мин.

V. Закрепление материала 10 мин.

VI. Проверка знаний (самостоятельная работа) 10 мин.

VII. Рефлексия 2 мин.

VIII. Задание на дом 1 мин.

IX. Подведение итогов 3мин.

Ход урока

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

№

Этап

урока

Деятельность учителя

Деятельность

ученика

1

2

3

4

1

Организа

ционный

момент

Приветствует учащихся. Проверяет готовность к

уроку.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой

человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять

раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в

мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец

положил перед собой ложку, свечу и кружку и

попросил «Назови, что ты выбираешь из них».

«Ложку», - ответил юноша. Произнеси это 5 раз.».

«Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5

раз.. «Вот видишь, - сказал мудрец, повторяй хоть

миллион раз в день, она не станет твоей.

Надо…»Что же надо? Надо протянуть руку и взять

ложку.

Вот и вам сегодня надо взять свои знания и

применить их на практике.

Приветствуют

учителя. Готовят

рабочие места к

уроку.

2

Актуализ

ация

знаний

2.1. Постановка цели и задач

Эпиграфом к нашему уроку станут слова С.

Коваля: «Уравнения – это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы». Т.е.

другими словами можно сказать, что если вы будете

уметь решать уравнения, то экзамена по математике

вам не стоит бояться.

А какие вообще виды уравнений вы знаете?

И так, тема нашего урока «Решение

показательных уравнений», как вы думаете, чем мы

сегодня будем заниматься на уроке и какие

поставите вы цели?

2.2. Опрос

Устный счет: решить уравнения из базового уровня

ЕГЭ

(Приложение 1)

2.3. Математический диктант

Следующий этап нашего урока – диктант.

При

Отвечают:

Квадратные,

рациональные,

дробно –

рациональные,

тригонометриче

ские,

иррациональные

, показательные.

Повторить и

отработать и

обобщить

способы

решения

показательных

уравнений.

Выполняют

задания

ответе на любой вопрос вы поднимаете карточку

«+» или «-».

(Приложение 2)

Приложения 1

Выполняют

Математический

диктант,

поднимая

карточки

3

.

Формиро

вание

новых

знаний.

Практическое

применение

показательной

функции

Показательная функция имеет важное значение в

науке и технике. Многие явления природы можно

выразить

посредством

показательной

функции.

Н ап р и м е р ,

я вл е н и е

р а зм н оже н и я

ж и в ы х

организмов, процесс радиоактивного распада.

Задача (ЕГЭ, профильный уровень, задание №

10):

В ходе распада радиоактивного изотопа его

масса уменьшается по закону m(t)=m

o

2

-t/ T

, где m

о

-

начальная масса изотопа, t - прошедшее от начала

момента время, Т - период полураспада в минутах.

В лаборатории получили вещество, содержащее в

начальный момент времени m

о

= 156 мг изотопа Z,

период полураспада которого Т = 8мин. За сколько

минут масса изотопа станет равной 39 мг?

Задание. А.

Энштейн

говорил

так:

«Мне

приходится

делить

время

между

политикой

и

уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо

важнее. Политика существует только для данного

момента, а уравнения будут существовать вечно. И

решать их нужно правильно».

(Приложение 3)

-

Внимательно

проанализируйте

ход

решения

к а ж д о г о

у р а в н е н и я

и

н а й д и т е

о ш и б к и

(анализируют,

выявляют

ошибки,

записывают

на

Выполняют

задания

Выполняют

задания

Анализируют

доске правильное решение). Каким способом были

решены эти уравнения.

4

.

Самоопр

еделение

к

деятельн

ости

4.1. Методы решения показательных уравнений

Перечислите

методы решения

показательных

уравнений, КОТОРЫЕ ВАМ ИЗВЕСТНЫ.



Функционально-графический метод



Метод уравнивания показателей



Метод разложения на множители



Метод введения новой переменной.



Деление обеих частей уравнения на одно и то

же выражение

Какой способ решения следующих уравнений, вы

выберите? Результаты занесите в таблицу (работа в

парах)

(Приложение 4)

(Приложение 5)

4.2. Работа по вариантам

Решить уравнения

x

2

−

20 x

−

21

3

x

−

1

3

=

0

1 вариант

x

2

−

18 x

+

45

4

x

−

64

=

0

2 вариант

И так, корнями уравнений стали числа 15 и 21

Об этих числах можно сказать следующее:

11 часов – время наивысшей трудоспособности;

15 часов - время наибольшего утомления;

19 часов - вечерний подъем трудоспособности;

2 1

ч а с о в

-

в р е м я

п р е к р а щ е н и я

в с я к о й

трудоспособности.

И с п ользо ва н и е

п олу ч е н н ы х

зн а н и й

о

биологических

ритмах

при

составлении

режима

позволит достичь максимальной трудоспособности и

повысить сопротивляемость организма к утомлению

так, что будьте здоровы и не утомляйтесь.

Решаем у доски (базовый уровень)

3

x+2

-3

x

=72, 2

3x+3

=4, 4

x

-2

x+1

=48, 3∙16

x

+2∙81

x

=5∙36

x ,

5

х

= 6 – х

Перечисляют

Выполняют

задания

Выполняют

задания

5

.

Закрепле

ние

материа

ла

Р е ш е н и е

п о к а з а т е л ь н ы х

у р а в н е н и й

повышенной

сложности

(ЕГЭ,

профильный

уровень, задание № 13)

Михаил

Васильевич

Ломоносов

говорил:

«Теория без практики мертва и бесплодна. Практика

без теории

невозможна и пагубна. Для теории

нужны знания, для практики сверх того, и умения»

- И вот теперь вы должны проявить свои умения

при решении различных показательных уравнений

профильного уровня ЕГЭ повышенной сложности

а )

Р е ш и т ь

у р а в н е н и е :

7 ∙ 9

x

2

−

3 x

+

1

+

5 ∙ 6

x

2

−

3x

+

1

−

48∙ 4

x

2

−

3x

=

0

б) найти корни на отрезке [-1;2].

6

.

Проверк

а знаний

Проверка

уровня

знаний

учащихся

по

теме

«показательные уравнения»

(Приложение 6)

7

.

Рефлекси

я

Чему научились? Что приобрели в ходе урока?

В какой момент на уроке было трудно (легко),

интересно (скучно)?

Выделите главное, что необходимо взять с урока,

чтобы успешно учиться дальше.

8

.

Домашне

е задание

Домашнее задание: (Приложение 7)

Записывают

9

.

Подведен

ие итогов

Оценивание работ учащихся

Отвечают

Приложение 1.

Вариант 1

Вариант 2

3

х

=27

2

х

=8

(

1

27

)

x

=

1

(

1

4

)

x

=

16

(

7

)

x

=

1

49

(

6

)

x

=

1

216

(

1

5

)

x

=

25

√

5

(

3

)

x

=−

1

9

0,3

x

=

0, 0081

0,2

x

=

0, 000064

(

5

13

19

)

3 x

−

9

=

1

(

2

11

17

)

5 x

−

10

=

1

Приложение 2

1. Является ли убывающей функция

y

=

2

x

(нет)

2. Является ли возрастающей функция

y

=

(

0,3

)

x

(нет)

3. Является ли показательным уравнение

3

x

2

−

2 x

¿

5

x

+

2

√

1

−

x

=

7

x

2

(да)

4. Верно ли, что областью определения показательной функции является R (да)

5. Верно ли, что если b>0, то уравнение

a

x

=

b

имеет один корень. (да)

6. Верно ли, что если b=0, то уравнение

a

x

=

b

не имеет корней (да)

7. Является ли показательным уравнение

3

x

2

−

2x

¿

5

x

+

√

1

−

x

=

7

x

2

(нет)

8.

Верно

ли,

что

график

показательной

функции

проходит

через

точку

с

координатой(0;1) (да)

9. Верно ли, что если b<0, уравнение

a

x

=

b

, имеет корни (нет)

10.

Верно

ли,

что

процесс

радиоактивного

распада

можно

выразить

показательной функцией. (да)

Приложение 3

9

х

- 26·3

х

- 27 = 0

4

х

- 12·2

х

+ 32 = 0

64

х

– 8

х

– 56 = 0

(3

2

)

х

- 26·3

х

- 27 = 0

(2

2

)

х

- 12·2

х

+ 32 = 0

(8

2

)

х

– 8

х

– 56 = 0

Замена: 3

х

= у

Замена: 2

х

= у

Замена: 8

х

= у

у

2

– 26у – 27 = 0

у

2

– 12у + 32 = 0

у

2

– у – 56 = 0

D = 676 - 4·(-27)=

D = 144 - 4·32 =

D = 1 - 4·(-56) =

676 + 108 = 784 = 28

2

144 – 128 = 16 = 4

2

1 + 224 = 225 = 15

2

у

1,2

=

26 ±28

2

у

1,2

=

−

12 ±4

2

у

1,2

=

1± 15

2

у

1

= 27; у

2

= -1

у

1

= -8 у

2

= -4

у

1

= -7; у

2

= 8

2

х

= 2

-3

; 2

х

= 2

-2

8

х

= -7;

8

х

= 8

1

х = -3; х = -2

х =

−

7

8

х= 1

Приложение 4

Функционально

-графический

метод

Метод

уравнивания

показателей

Метод

разложения

на

множители

Метод

введения

новой

переменной

Деление

обеих частей

уравнения

на одно и то

же

выражение

Приложение 5

1

)

2

х

=

512

2

)

4

х

+

2

+

4

х

=

320

3

)

2

0,5 х

=

3

0,5 х

4

)

25

х

+

3

⋅

5

х

−

4

=

0

5

)

2

х

=

0,5 х

6

)

3

х

=

5

х

7

)

9

х

+

4

⋅

3

х

−

45

=

0

8

)

3

х

+

2

=

27

9

)

(

1

3

)

х

=

х

+

1

10

)

3

х

+

1

−

2

⋅

3

х

−

2

=

25

11

)

3

х

+

2

−

3

х

=

72

12

)

2

3 х

+

3

=

4

13

)

7

2 х

−

7

х

+

5

⋅

6

=

0

14

)

4

х

−

2

х

+

1

=

48

15

)

2

х

=

3

+

х

Проверка: 1) 5,9,15

2) 1,8,12

3) 2,10,11

4) 4,7,13,14

5) 3,6.

Приложение 6

Дифференцированная самостоятельная работа

Вариант№1 - Базовый

Вариант №2 - Повышенный

3

х

2

−

х

=

9

(

2

х

+

4

)

х

−

3

=0,5

х

· 4

х - 4

3

х +3

- 3

х

=78;

6

х

+ 6

х + 1

= 2

х

+ 2

х + 1

+ 2

х + 2

25

х

+ 10 · 5

х – 1

- 3 = 0;

3

2х + 1

– 28 · 3

х

+ 9 = 0

9 · 2

х – 3

= 4 · 3

х – 3

5 · 4

х

+ 3 · 10

х

= 2 · 25

х

Дополнительно:

Решите уравнение

Решение. Заметим, что

поэтому

Пусть

тогда

у >0, получаем

у +

,

= 2+

,

= 2 -

;

а)

, х = - 1;

б)

, х = 1. Ответ: - 1; 1.

Приложение 7

Уровень 0: на «3»

Уровень 1: на «4»

Уровень 2: на «5»

Уровень 0.

1.

3

x

=

27

3.

5

x

−

2

=

25

2.

(

2

3

)

x

=

1

4.

10

x

2

=

10

Уровень 1.

Уровень 2.

1.

(

16

25

)

x

+

3

=

(

125

64

)

2

1.

100

x

−

80

⋅

10

−

1

−

20

=

0

2.

7

x

+

1

−

3

⋅

7

x

=

28

2.

√

2

x

+

2

=

4

√

2

3.

2

x

−

3

=

3,5

x

−

3

3.

7

⋅

5

x

−

5

x

+

1

=

2

⋅

5

−

3

4.

2

⋅

5

2 x

−

5

x

−

1

=

0

4.

2

⋅

4

x

−

5

⋅

6

x

+

3

⋅

9

x

=

0

1.

3

х

= 81;

2.

9·3

х

= 1;

3.

5

х – 1

= 1;

4.

2·2

х

= 64;

5.

0,1

2х -1

= 0,01;

(

1

4

)

х

1.

4

х

= 64;

2.

27·3

х

= 1;

3.

3

х – 1

= 1;

4.

2·2

х

= 128;

5.

0,7

2х -1

=0,49;

(

1

3

)

х

1.

5

х

= 125;

2.

81·3

х

= 1;

3.

6

х – 1

= 1;

4.

4·2

х

= 64;

5.

0,8

2х -1

=0,64;

(

1

6

)

х

6.

3

х

= 81;

7.

9·3

х

= 1;

8.

5

х – 1

= 1;

9.

2·2

х

= 64;

10.0,1

2х -1

= 0,01;

(

1

4

)

х

6.

4

х

= 64;

7.

27·3

х

= 1;

8.

3

х – 1

= 1;

9.

2·2

х

= 128;

10.0,7

2х -1

=0,49;

(

1

3

)

х

6.

5

х

= 125;

7.

81·3

х

= 1;

8.

6

х – 1

= 1;

9.

4·2

х

= 64;

10.0,8

2х -1

=0,64;

(

1

6

)

х

11.3

х

= 81;

12.9·3

х

= 1;

13.5

х – 1

= 1;

14.2·2

х

= 64;

15.0,1

2х -1

= 0,01;

(

1

4

)

х

11.4

х

= 64;

12.27·3

х

= 1;

13.3

х – 1

= 1;

14.2·2

х

= 128;

15.0,7

2х -1

=0,49;

(

1

3

)

х

11.5

х

= 125;

12.81·3

х

= 1;

13.6

х – 1

= 1;

14.4·2

х

= 64;

15.0,8

2х -1

=0,64;

(

1

6

)

х

16.3

х

= 81;

17.9·3

х

= 1;

18.5

х – 1

= 1;

19.2·2

х

= 64;

20.0,1

2х -1

= 0,01;

(

1

4

)

х

16.4

х

= 64;

17.27·3

х

= 1;

18.3

х – 1

= 1;

19.2·2

х

= 128;

20.0,7

2х -1

=0,49;

(

1

3

)

х

16.5

х

= 125;

17.81·3

х

= 1;

18.6

х – 1

= 1;

19.4·2

х

= 64;

20.0,8

2х -1

=0,64;

(

1

6

)

х