Обобщающий урок в 10-м классе по теме

"Тригонометрические уравнения"

Образовательные цели:



обобщить теоретический материал по данной теме;



выработать навыки решения тригонометрических уравнений различной степени сложности;

Развивающие:



Развитие логического мышления учащихся, развитие памяти, внимания, монологической

речи, умения рассуждать, выделять главное, самостоятельно приобретать знания, навыки и

применять их на практике.



Развитие умения давать объективную самооценку.



Расширить кругозор сведениями из истории тригонометрии.

Воспитательные:



Воспитание уважительного отношения к одноклассникам.



Формирование самостоятельности.



Развитие эстетического вкуса учащихся, аккуратности, внимательности, сознание успеха.



Воспитание интереса к математике.

Оборудование:



Мультимедийный проектор и экран.



Таблицы с заданиями.



Дидактические материалы.

Тип урока: комбинированный

Ход урока.

1. Организационный момент.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений

тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по

решению тригонометрических уравнений.

2. Историческая справка.

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников

(trigwnon – треугольник, а metrew – измеряю).

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и

Абу-ль-Вафа, Мухаммед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов

через 10 с точностью до 1/604.

Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара и азербайджанский астроном и математик

Насиреддин Туси Мухаммед (1201-1274).

Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном черырехстороннике» изложил

плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезког

треугольника и окружности (а, по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III

веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония

Пергского.

В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.),

хотя и не приобрели специального названия.

Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол

величиной а, или как хорда удвоенной дуги.

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus,

т.е. «дополнительный синус».

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также

котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые

таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов.

Эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были

заново открыты в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он

доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы:

благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной в

Европе. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая

Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1607) и

Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в работу математика Франсуа Виета (1540-1603), который

полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника

по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Начиная с XVII в.,

тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики,

электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн,

движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Поэтому

тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение

для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся

математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем

развилась и в науку о тригонометрических функциях.

3. Фронтальная (устная) работа учащихся

А) Найди ошибку:

Б) Возможны ли равенства?

В) Имеет ли смысл выражение?

Г) Вычислите:

а) arccos (–1); б) arcsin 0; в) arctg 0; г) arcctg 1;

д) arcsin

; е) arccos

; ж) arcctg

;

з) arctg (–

).

Д) Поставьте вместо звездочек знак равенства или неравенства так, чтобы получилось истинное

высказывание:

а) arcsin 1

arccos 1; б) arcsin 1

arctg 1; в) arcsin (–1)

arctg (–1);

г) arcsin

arccos

; д) arccos

arcsin

4. Проверочная работа. Контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим

тригонометрическим уравнениям. Работа проводится в двух вариантах. Вопросы проецируются

на экран.

Работа окончена, собираются

бланки с ответами. Учащиеся

отмечают на листочках

неправильные шаги и

количество правильных

ответов, заносят в лист учета

знаний.

5. Практическая работа:

А) Установить соответствие: «Уравнение ↔ Корни».

Б) Классификация уравнений по способам решений

Рассматриваем типы тригонометрических уравнений и из набора уравнений выбираем уравнения

каждого типа.

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

2. Решения уравнений с помощью замены переменной.

3. Решение уравнений разложением на множители.

4. Решение однородных уравнений I степени.

5. Решения однородных уравнений II степени.

6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества;

7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов;

8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени;

9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в

произведение.

Ответы:

1. Простейшие тригонометрические уравнения. (7, 9, 11)

2. Решения уравнений с помощью замены переменной. (2)

3. Решение уравнений разложением на множители. (8, 12)

4. Решение однородных уравнений I степени. (3, 6)

5. Решения однородных уравнений II степени. (1, 10, 13)

6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества. (5, 14, 16)

7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов. (17)

8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени (4)

9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в

произведение. (15, 18)

6. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

I. Тестовое задание:

1) Все корни уравнения cos x = a находятся по формуле:

А)

+ 2

Б) х =

В)

+

Г) х =

2) Решите уравнение cos x =

А)

Б) х =

В) х =

Г) х =

3) Найдите корни уравнения: cos x = 1.

А) х =

Б) х =

В) х =

Г) х =

II. Решите уравнения:

А)

Б)

Вариант 2.

I. Тестовое задание.

1) Все корни уравнения sin x = a находятся по формуле:

А) х =

Б) х =

В)

Г)

2) Решите уравнение: sin x =

.

А)

Б)

В)

Г) х =

3) Найдите корни уравнения: sin x = 1.

А) х =

Б) х =

В) х = -

Г) х = 2

II. Решите уравнения:

А)

Б)

(Учащиеся проводят самопроверку по ответам данных на мультимедийном экране.)

Ответы:

Вариант 1

Вариант 2

1) 1Б, 2Г, 3А

1) 1В, 2А, 3Б

2)

2)

3)

3)

7. Подведение итогов. Рефлексия.

8. Домашнее задание: