Автор: Волкова Ольга Алексеевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ №10
Населённый пункт: г. Новороссийск
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: "Формулы для решения №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным способом"
Раздел: полное образование
Ф О Р М У Л Ы
Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Н И Й
№14 ЕГЭ по математике
К О О Р Д И Н А Т Н О - В Е К Т О Р Н Ы М
С П О С О Б О М
г. Новороссийск
МБОУ СОШ № 10
учитель математики
Волкова О.А.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Н У Ж Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы
У Г Л Ы в П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Р А С С Т О Я Н И Е в П Р О С Т Р А Н С Т В Е
П Р И М Е Р Ы П Р И М Е Н Е Н И Я Ф О Р М У Л
Н У Ж Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы
Векторное
произведение 2
векторов
Векторное
произведение 2
векторов
Объем
параллелепипеда,
построенного на 3
векторах
Объем
параллелепипеда,
построенного на 3
векторах
Уравнение
плоскости,
проходящей через
3 точки
Уравнение
плоскости,
проходящей через
3 точки
Объем тетраэдра,
построенного на 3
векторах
Объем тетраэдра,
построенного на 3
векторах
Уравнение
прямой,
проходящей через
2 точки
Уравнение
прямой,
проходящей через
2 точки
В Е К Т О Р Н О Е П Р О И З В Е Д Е Н И Е
M
3)
A
B
D
∙
∙
=
,
2)
У Р А В Н Е Н И Е П Л О С К О С Т И, П Р О Х О Д Я Щ Е Й Ч Е Р Е З
3
Т О Ч К И
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
M
1
(x
1
; у
1
; z
1
)
M
3
(x
3
; у
3
; z
3
)
Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах
A
B
V = mod
D
О Б Ъ Е М Т Е Т Р А Э Д Р А, П О С Т Р О Е Н Н О Г О на 3
векторах
A
B
V =
У Р А В Н Е Н И Е П Р Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й через 2 точки
M
1
(x
1
; у
1
; z
1
)
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
M(x
; у ; z)
M
1
M
2
M
1
M
{x
–
x
1
; y
–
y
1
; z
–
z
1
}
М
1
М
2
{x
2
–x
1
; y
2
–y
1
; z
2
–z
1
}
=
=
У Г Л Ы
В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Угол между
прямыми
Угол между
прямой и
плоскостью
Угол между
плоскостями
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
α
Cos α =
N
F{
F{
N
У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М Ы М И
α
Cos α =
M
1
(x
1
; у
1
; z
1
)
a
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
b
=
=
=
=
b
a
У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М О Й и П Л О С К О С Т Ь Ю
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
b
=
=
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
N
α
α
β
=
=
b
N
Р А С С Т О Я Н И Е
В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Расстояние
между 2 точками
Расстояние от
точки до прямой
Расстояние между
скрещивающимися
прямыми
Расстояние от
точки до
плоскости
Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У Д В У М Я Т О Ч К А М И
M
1
(x
1
; у
1
; z
1
)
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й
M
1
(x
1
; у
1
; z
1
)
a
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
=
=
h
1)
!
М
1
М
2
{x
2
–
x
1
; y
2
–
y
1
; z
2
–
z
1
}
d = h =
а ×
М
1
М
2
=
2)
4)
3)
5)
d =
Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У С К Р Е Щ И В А Ю Щ И М И С Я П Р Я М Ы М И
b
=
=
a
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
M
1
(x
1
; у
1
; z
1
)
=
=
1)
=
3)
2)
=
mod
Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Л О С К О С Т И
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
N
M
2
(x
2
; у
2
; z
2
)
d
П Р И М Е Р Ы
П Р И М Е Н Е Н И Я
Ф О Р М У Л
1.
Найти векторное произведение векторов
и его модуль
и
=
×
=
=
1∙3 +2∙2
+ 5∙1 -1∙3 - 2∙5 -1∙2
=
=
=
=
= -7
+ 3
+
СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ
M
1
(2;2;2)
M
2
(4;0;3 )
M
3
(0;1;0)
1)
2)
3) 4(x-2) – 2(z-2) -2(y-2) -4(z-2) +1(x-2) +4(y-2) =0
5x + 2y -6z -2 = 0
нормаль
Найти объем параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 ,
если
=15 +4 + 6 + 12+2- 15 = 24
V =
=
=
У Р А В Н Е Н И Е ПР Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й
Ч Е Р Е З 2 Т О Ч К И
Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Л О С К О С Т Я М И
x - 4y - z + 9
= 0
4x - 5y + 3z - 1
= 0
= 0,7
α = arccos 0,7
Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М Ы М И
2x+y-z +4 = 0
Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М О Й и П Л О С К О С Т Ь Ю
=
Н А Й Т И Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й
2)
3)
4)
=
Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У С К Р Е Щ И В А Ю Щ И М И С Я П Р Я М Ы М И
A(1;3;-1)
O(0;0;0)
Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И M(3;1;-1) до
П Л О С К О С Т И 22x + 4y -20z-45 =0
d
M(3;1;-1)
22x + 4y -20z-45 =0
= 1,5
A
B
C
S
M
X
Y
Z
1) Поместим пирамиду в прямоугольную систему
координат.
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с
катетом АВ = .
Найти расстояние от точки В до грани ASC, если вершина
пирамиды проектируется в середину ребра АВ и SA =
Определим координаты вершин
пирамиды.
2) Составим уравнение плоскости ACS
3) Найдем по формуле расстояние d от точки В до плоскости ACS
Ответ: d =4