Урок по геометрии

Класс: 10

Тема: Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости

Оборудование: модель плоскости, прямые (спицы), раздаточный материал

(приложения 1-4), задачи

Цели: повторить признак перпендикулярности прямой и плоскости; доказать

теорему существования прямой, перпендикулярной плоскости; показать

применение в стандартной ситуации

План урока

1.

Организационный момент

2.

Опрос теории

3.

Работа над новой темой

4.

Задание на дом

5.

Закрепление

6.

Итоги урока

7.

Перпендикулярность в задачах ЕГЭ

Ход урока

1.

Мотивация. Энергия музыки (возможное сопровождение с

классической музыкой, например, Моцарт, соната для двух

фортепьяно до мажор, музыка Шопена, И. Бах-месса си минор, на

отдельных этапах урока).

2.

Опрос теории. а) ученик доказывает у доски признак

перпендикулярности прямой и плоскости; б) остальные учащиеся

заполняют приложение 1.

3.

Работа над темой. Постановка проблемы. Что не хватает? Какая

теорема нужна? Задача №133 из учебника. Формулируют.

Доказательство разбирают самостоятельно по учебнику.

4.

Задание на дом: п.18, № 123, 127

5.

Закрепление. Решают задачи: 1) из учебника №122, 2) приложение 2

6.

Подведение итогов урока – приложение 3

7.

Задачи из ЕГЭ –приложение 4

10 класс. Геометрия.

Приложение 1

Часть 1

1.Определение перпендикулярности прямой и плоскости

2.Лемма

3.Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости

(Теорема1)

4. Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости

(Теорема2)

5.Когда прямая будет перпендикулярна плоскости (__________________)

6.Верно ли утверждение:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна какой-

нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

7.Можно ли утверждать, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она

перпендикулярна лежащим в этой плоскости: двум сторонам треугольника (____); двум

сторонам квадрата (____); диагоналям параллелограмма (____)

8.Дан куб ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

. Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и

плоскостей:

CC

1

......(DCS); AA

1

......(DCB); D

1

C

1

....(DCB); B

1

C

1

....(DD

1

C

1

); B

1

C

1

....DC

1

; A

1

D

1

...DC ;

BB

1

...AC; A

1

B...BC; A

1

B...DC

1

9.Признаки равенства прямоугольных треугольников

1) 3) 5)

2) 4)

10.Теорема Пифагора

11.Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе

12. Как найти сторону правильного треугольника через радиус описанной окружности

13. Теорема, обратная теореме Пифагора

10 класс. Геометрия. Приложение 2

Задачи

1.В треугольнике ABC С=90, AC=12см, BC= 16 см, CM — медиана. Через вершину С

проведена прямая CK, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC , CK = 24 см.

Найти KM.

Ответ __________

2.На готовых чертежах

1) Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его

плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых AB и BM; 2)

прямая CD перпендикулярна плоскости прямых BC и BM.

2) Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она

прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли к дому, где её прикрепили на высоте

20м. найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не

провисает.

3) Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости

треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.

3. Учебник №122

4.Из ЕГЭ

Расстояние

от

точки

до

прямой

и

до

плоскости

1.Задание 14 № 513097

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со

сторонами AB = 12 и

Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13,

SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

5.Наличие домашней работы (заполняет учитель)

10 класс. Геометрия.

Приложение 3

Подведение итогов

1.Можно ли утверждать, что прямая, не лежащая в плоскости круга и проходящая через

центр круга, перпендикулярна:

а) диаметру

б) двум радиусам

в) двум диаметрам

2. Можно ли утверждать, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она

перпендикулярна лежащим в этой плоскости: двум сторонам треугольника (____); двум

сторонам квадрата (____); диагоналям параллелограмма (____)

3.Смоделируйте в классной комнате описанную ниже ситуацию: Три луча ОM. OK. OT

попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости,

определяемой двумя другими лучами? _______________________

10 класс. Геометрия.

Приложение 4

Перпендикулярность в ЕГЭ

Расстояние от точки до прямой и до плоскости

1. Задание 14 № 513097

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со

сторонами AB = 12 и

Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13,

SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

2. Задание 14 № 511106

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4,

точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок

SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

3. Задание 14 № 514245

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC

взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

4. Задание 14 № 514447

В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое

ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L —

середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и

содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.