Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Тюменской области «Тюменский колледж производственных и социальных

технологий»

Кучина Е.Ю.

Лекции по физике

для студентов заочного отделения

Тюмень, 2020

ВВЕДЕНИЕ

Слово "физика" греческого происхождения и первоначально означало науку о

природе или естествознание. Теперь физика является лишь одной из наук о природе.

Она изучает простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства движущейся

материи.

По

современным

представлениям

материя

существует

в

двух

основных

формах: в форме вещества и в форме поля.

Под веществом мы понимаем элементарные частицы, атомы, молекулы и все

тела, состоящие из атомов и молекул.

В

физике

известны

такие

поля,

как

гравитационное,

электромагнитное

(свет, радиоволны) и ядерное.

Эти

две

формы

материи

не

изолированы

друг

от

друга,

они

могут

превращаться друг в друга. Например, гамма-квант при определённых условиях

превращается в пару частиц: электрон и позитрон, которые в свою очередь могут

превратиться в квант электромагнитного излучения.

Материя может существовать только в движении. Движение представляет

собой

вечную

форму

бытия

материи.

Соответственно

многообразию

явлений

природы существует и множество различных видов движения материи. Но среди

этого множества можно выделить несколько основных форм, каждая из которых

охватывает более или менее широкий круг явлений, родственных в определенном

отношении.

Это

-

механическая

форма

движения,

химическая,

биологическая

и

социальная. Физика изучает наиболее простые формы движения, которые являются

и

наиболее

общими

(механические,

молекулярные

и

т.д.),

электромагнитные,

внутриатомные

и

ядерные

явления.

Другие,

более

высокие,

формы

движения

изучаются другими науками, такими, как химия, биология и т.д.

Изучение физических явлений начинается с наблюдения, либо с эксперимента.

Наблюдение

-

это

изучение

явления

в

природных

условиях,

в

естественной

обстановке. Эксперимент - изучение явления в условиях,

специально созданных

человеком.

На

основе

накопленного

экспериментального

материала

строится

гипотеза - научное предположение о механизме явления и связи его с другими

явлениями.

Но

гипотеза

требует

проверки

и

доказательств.

Некоторые

гипотезы

противоречат опыту, оказываются ошибочными и отбрасываются при дальнейшем

развитии

науки

(гипотезы

эфира,

флогистона

и

др.).

Гипотезы,

которые

выдерживают проверку на опыте и правильно предсказывают ряд явлений, которые

ранее не были известны, входят в науку в качестве теорий. Правильная физическая

теория дает качественное и количественное объяснение целой области явлений

природы с единой точки зрения.

Однако процесс познания не ограничивается таким кругом - от опыта к теории

и от теории к опыту. Скоро появляются такие факты, объяснение которых не

укладывается

в

рамки

старых

теорий,

и

требуют

выдвижения

новых

гипотез.

Примером этого является развитие наших знаний о строении вещества.

Молекулярно-кинетическая теория вещества, созданная в XIX в., исходила из

того, что все тела состоят из мельчайших частиц - атомов, которые находятся в

непрерывном движении. Атом - значит неделимый, что в дальнейшем оказалось не

так.

Новые

теории

не

всегда

отрицают

старые,

в

большинстве

случаев

они

включают

старые

теории

как

часть,

т.е.

являются

более

широкими

и

всеобъемлющими.

Развитие

физики

тесно

связано

с

развитием

человеческого

общества,

потребностями практики. Известно, что технические потребности привели в свое

время к развитию механики. Задача создания автономных тепловых машин вызвала

бурное развитие термодинамики.

В то же время физика оказывает огромное влияние на технику. Крупные

физические открытия приводят к техническим переворотам. Например, открытие

Фарадеем

явления

электромагнитной

индукции

создало

возможность

широкого

практического использования электромагнитных явлений.

Связь

между

физикой

и

техникой

двухсторонняя.

Развитие

техники

даст

физике более точные приборы и более мощные методы исследования. Так, развитие

атомной физики позволило использовать в настоящее время атомную энергию в

мирных

целях.

Широкое

использование

вычислительных

машин

оказалось

возможным только благодаря достижениям физики твердого тела.

Основоположник русской физики и химии М.В. Ломоносов сочетал свою

научную работу с требованиями практики. Его многочисленные и разнообразные

исследования

по

природе

твердых

и

жидких

тел,

оптике,

атмосферному

электричеству были связаны с теми или иными практическими задачами.

А.С. Попов использовал открытие Максвелла

- теорию электромагнитных

процессов - для осуществления радиотелеграфии.

Выдающийся

ученый

Н.В.

Жуковский создал основы воздухоплавания. К.Э. Циолковский и И.В. Мещерский

много сделали в области ракетной техники.

Среди

русских

физиков

были

и

теоретики,

к

ним

относится

Н.А.

Умов,

Л.А.Келдыш

и.т.д.

Советская

наука

в

исключительно

короткие

сроки

добилась

огромных успехов в таких решающих направлениях развития естествознания, как

освоение космоса, физика элементарных частиц, физика плазмы и др. Во всем мире

известны имена наших физиков - теоретиков Л.Д. Ландау, И.Е. Тамма и т. д.

И. В. Курчатов известен своими работами в области атомной физики. С. В.

Королев осуществил первый космический полет. Известны и другие физики.

Физические черты и характеристики свойственны любым явлениям природы,

в том числе и тем, которые используются в различных отраслях техники, причем в

этом случае приходится иметь дело со сложным комплексом явлений.

Таким

образом,

физика

служит

естественной

основой

технических

наук.

Например,

механика

является

основой

таких

дисциплин,

как

теоретическая

механика,

теория

упругости

и

сопротивление

материалов,

используемых

при

проектировании станков, машин, автомобилей. Термодинамика развилась в разделы

тепло

-

и

хладотехники.

Без

знания

вопросов

электричества

и

магнетизма

невозможно изучение таких наук, как электротехника, радиотехника, электроника,

которые

играют

ведущую

роль

в

развитии

автоматики,

телемеханики

и

телеуправления. Возрастающая роль физики в современной технике получила свое

выражение в появлении ряда специальных дисциплин таких, как физические основы

электротехники, физические основы резания металла и др. Все глубже в технику

внедряются физические методы обработки и испытания материалов, физические

методы контроля производственных процессов и качества изделий и т.п.

Данное пособие содержит теоретический материал по основным вопросам

курса физики согласно рабочей общеобразовательной программе, состоит из пяти

глав:

1. Механика

2. Молекулярная физика и термодинамика

3. Электродинамика

4. Оптика

5. Квантовая физика

Предполагается

самостоятельная

работа

студентов

по

изучению

этого

материала, включающая в себя выполнение заданий в конце каждой логически

завершенной теоретической части.

Желаю всем успехов!

Раздел 1. Механика

1.1 Разделы механики

Механика

изучает

механическое

движение

тел.

Полёт

камня

и

движение

автомобиля,

суточное

и

орбитальное

вращение

Земли,

колебания

маятника

и

распространение звука — всё это примеры механического движения.

Не

каждое

движение

является

механическим.

Скажем,

распространение

электромагнитных волн не описывается механикой и подчиняется совсем другим

законам. Тут работает другой раздел физики — электродинамика.

В механике принято выделять три основных части.

1.

Кинематика.

Кинематика

рассматривает

движение

тела

как

таковое,

устанавливает

связь

между

величинами,

характеризующими

движение,

и

не

интересуется тем, почему это движение возникло. Тело каким-то образом движется

— вот давайте и будем исследовать характеристики его движения. Траектория, путь,

перемещение, скорость, ускорение — примеры физических величин, с которыми

имеет дело кинематика.

Поскольку причины возникновения движения не выясняются, из поля зрения

кинематики выпадают такие величины, как масса и сила.

2. Динамика. Динамика изучает причины возникновения механического движения.

В динамике рассматриваются взаимодействия тел, в результате чего появляются

новые понятия: масса, сила, импульс, работа, энергия.

Динамика стоит на «трёх китах» — трёх законах Ньютона. Законы Ньютона

являются

первичными

утверждениями,

или

постулатами:

они

основаны

на

многочисленных опытных фактах и не являются логическим следствием каких-то

других утверждений. Попросту говоря, законы Ньютона ниоткуда не выводятся; они

просто констатируют факт — вот по таким правилам живёт природа.

3. Статика. Статика — сравнительно небольшая часть механики, изучающая

условия равновесия тела. В статике твёрдого тела появляется понятие момента

силы,

а

необходимым

условием

равновесия

служит

так

называемое

правило

моментов.

Статика

жидкостей

и

газов

изучает

равновесие

тел

в

этих

средах;

основную роль тут играют законы Паскаля и Архимеда.

Кинематика

1.2 Механическое движение

Понятие движения является чрезвычайно общим и охватывает самый широкий

круг явлений. В физике изучают различные виды движения. Простейшим из них

является механическое движение.

Механическое

движение

—

это

изменение

положение

тела

(или

его

частей) в пространстве относительно других тел с течением времени.

1.2.1 Относительность движения

Если тело А меняет своё положение относительно тела В, то и тело В меняет

своё

положение

относительно

тела

А.

Иначе

говоря,

если

тело

А

движется

относительно тела В, то и тело В движется относительно тела А. Механическое

движение является относительным — для описания движения необходимо указать,

относительно какого тела оно рассматривается.

Так,

например,

можно

говорить

о

движении

поезда

относительно

земли,

пассажира относительно поезда, мухи относительно пассажира и т. д. Понятия

абсолютного

движения

и

абсолютного

покоя

не

имеют

смысла:

пассажир,

покоящийся относительно поезда, будет двигаться с ним относительно столба на

дороге, совершать вместе с Землёй суточное вращение и двигаться по орбите вокруг

Солнца.

Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом

отсчёта.

1.2.2 Основная задача механики

Основной

задачей

механики

является

определение

положения

движущегося тела в любой момент времени. Для решения этой задачи удобно

представить движение тела как изменение координат его точек с течением времени.

Чтобы

измерить

координаты,

нужна

система

координат.

Чтобы

измерять

время, нужны часы. Всё это вместе образует систему отсчёта.

Система

отсчёта

— это тело отсчёта вместе с жёстко связанной с ним системой координат и

часами.

Система отсчёта показана на рис. 1. Прямоугольная система координат OXY Z

жёстко связана с телом отсчёта, относительно которого рассматривается движение

точки M.

Рис. 1. Система отсчёта

Вектор

𝑟⃗

=

𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

называется радиус-вектором точки M. Три координаты x, y, z

точки M являются в то же время координатами её радиус-вектора

𝑟⃗

.

Решить основную задачу механики для точки M

— это значит найти её

координаты как функции времени:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1.1)

или, что тоже самое, — найти зависимость радиус-вектора точки M от

времени:

𝑟⃗

=

𝑟⃗

(t) (1.2)

Соотношения (1.1) или (1.2) мы будем называть законом движения. Таким

образом,

решение

основной

задачи

механики

для

точки

M

состоит

в

нахождении закона движения этой точки.

1.2.3 Материальная точка

В ряде случаев можно отвлечься от формы и размеров изучаемого объекта и

рассматривать его просто как движущуюся точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь

в условиях данной задачи.

Так, поезд можно считать материальной точкой при его движении из Москвы

в

Саратов,

но

не

при

посадке

в

него

пассажиров.

Землю

можно

считать

материальной точкой при описании её движения вокруг Солнца, но не её суточного

вращения вокруг собственной оси.

К

характеристикам

механического

движения

материальной

точки

относятся траектория, путь, перемещение, скорость и ускорение.

1.2.4 Траектория, путь, перемещение

В

дальнейшем,

говоря

о

движущемся

(или

покоящемся)

теле,

мы

всегда

полагаем,

что

тело

можно

принять

за

материальную

точку.

Случаи,

когда

идеализацией

материальной

точки

пользоваться

нельзя,

будут

специально

оговариваться.

• Траектория — это линия, вдоль которой движется тело.

• Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный

промежуток времени.

•

Перемещение

—

это

вектор,

соединяющий

начальное

и

конечное

положение тела.

Предположим, что тело начало движение в точке A и закончило движение в

точке B (рис.2)

Рис.2. Путь и перемещение

Путь, пройденный телом, есть длина чёрной дуги. Перемещение тела — это

красный вектор

АВ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

или

𝑆

⃗

.

Задание №1

Ответить на вопросы:

1.

Что изучает физика?

2.

В каких формах существует материя?

3.

Что такое гипотеза?

4.

Кто является основоположником русской физики?

5.

Что изучает механика, и какова её основная задача?

6.

Что называют механическим движением?

7.

Чем динамика отличается от кинематики?

8.

Что такое система отсчёта, и для чего она нужна?

9.

Тело движется из точки А в точку В по траектории, показанной на рисунке.

Найдите путь и перемещение тела. Изобразите вектор перемещения.

10.

Можно ли принять за материальную точку: а) автомобиль, въезжающий в

гараж; б) автомобиль на трассе Москва-Тюмень; Землю при расчете:

в) расстояния от Земли до Солнца; г) пути, пройденного Землей по орбите

вокруг Солнца; д) длины экватора Земли?

1.2.5 Скорость

Скорость – физическая величина, характеризующая быстроту движения.

Она показывает, какой путь (перемещение) проходит тело за единицу времени.

Скорость

–

величина

векторная.

Это

значит,

что

она

обладает

как

абсолютной величиной (модулем), так и направлением в пространстве.

Направление вектора скорости определяется по траектории движения. Вектор

скорости всегда направлен по касательной к траектории в той точке, через которую

проходит движущееся тело.

Это показано на рис. 3.

Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с

Рис. 3. К определению направления мгновенной скорости

1.2.6 Ускорение

Ускорение

—

это

характеристика

быстроты

изменения

вектора

скорости.

Предположим, что в момент времени t скорость тела равна

𝑣⃗

, а спустя малый

интервал времени ∆t скорость стала равна

𝑣⃗

+ ∆

𝑣⃗

. Ускорение

𝑎⃗

— это предел

отношения изменения скорости ∆

𝑣⃗

к интервалу ∆t, когда этот интервал стремится к

нулю; иначе говоря, ускорение — это производная скорости:

𝑎⃗

=

lim



→

𝑡

0



𝑣

⃗⃗



𝑡

.

Ускорение, так сказать, есть «скорость изменения скорости».

Проекции ускорения являются производными проекций скорости:

a

x

= v



x

, a

y

= v



y

, a

z

= v



z

Скорость,

в

свою

очередь,

есть

производная

радиус-вектора.

Поэтому

ускорение, будучи производной скорости, оказывается второй производной радиус-

вектора. Соответственно, проекции ускорения являются вторыми производными

координат точки: a

x

= x



, a

y

= y



, a

z

= z



1.2.7 Примеры вычисления скорости и ускорения

Итак,

знание

закона

движения

(зависимости

координат

тела

от

времени)

позволяет находить скорость и ускорение тела — нужно лишь вычислить первые и

вторые производные координат.

Рассмотрим несколько примеров таких вычислений.

Пример 1. Пусть закон движения имеет вид: x = 1 + 12t − 3t

2

(координата

измеряется в метрах, время — в секундах). Последовательно дифференцируя два

раза, получаем:

v

x

= x



= 12 − 6t,

a

x

= v



x

= −6.

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с

2

. Направлено

ускорение в сторону, противоположную оси X (на это указывает знак «минус»)

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль

и

направление

ускорения

неизменны.

Равноускоренное

движение

—

один

из

важнейших

и

часто

встречающихся

видов

движения

в

механике.

Из

данного

примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости

является линейной функцией времени, а координата — квадратичной функцией. Мы

поговорим

об

этом

более

подробно

в

соответствующем

разделе,

посвящённом

равноускоренному движению.

Пример 2. Рассмотрим более интересный случай: x = 2 + 3t − 4t

2

+ 5t

3

.

Дифференцируем:

v

x

= x



= 3 − 8t + 15t

2

,

a

x

= v



x

= −8 + 30t

Данное

движение

не

является

равноускоренным:

ускорение

зависит

от

времени.

Пример 3. Пусть тело движется вдоль оси X по следующему закону:

x = 5 sin 2t

Мы

видим,

что

координата

тела

периодически

изменяется,

находясь

в

пределах

от

−5

до

5.

Данное

движение

является

примером

гармонических

колебаний, когда координата меняется со временем по закону синуса.

Дифференцируем дважды:

v

x

= x



= 5 cos 2t · 2 = 10 cos 2t,

a

x

= v



x

= −20 sin 2t

Проекция скорости меняется по закону косинуса, а проекция ускорения —

снова

по

закону

синуса.

Величина

a

x

пропорциональна

координате

x

и

противоположна ей по знаку (а именно, a

x

= −4x); вообще, соотношение вида a

x

= −ω

2

x характерно для гармонических колебаний.

1.2.8 Закон сложения скоростей

Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным

телом отсчёта O. Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.

Вторая система отсчёта, обозначаемая K

1

, связана с телом отсчёта O

1

, которое

движется относительно тела O со скоростью

𝑣⃗

1

. Эту систему отсчёта называем

движущейся. Дополнительно предполагаем, что координатные оси системы K

1

перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что

вектор

𝑣⃗

1

можно

считать

скоростью

движущейся

системы

относительно

неподвижной.

Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно

едет по рельсам со скоростью

𝑣⃗

1

, то система отсчёта, связанная с вагоном поезда,

будет движущейся системой отсчёта K

1

.

Заметим,

что

скорость

любой

точки

вагона

равна

𝑣⃗

1

.

Если

пассажир

неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли он движется

тоже

со

скоростью

𝑣⃗

1

.

Пассажир

переносится

вагоном,

и

потому

скорость

𝑣⃗

1

движущейся

системы

относительно

неподвижной

называется

переносной

скоростью.

Когда

пассажир

начинает

двигаться

по

вагону,

то

появляются

ещё

две

скорости, которые нужно рассмотреть.

Скорость пассажира относительно вагона (то есть в движущейся системе K

1

)

обозначается

𝑣⃗

2

и называется относительной скоростью.

Скорость пассажира относительно земли (то есть в неподвижной системе K)

обозначается

𝑣⃗

и называется абсолютной скоростью.

Выясним,

как

связаны

друг

с

другом

эти

три

скорости

—

абсолютная,

относительная и переносная. Как видно из рисунка скорость тела относительно

неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся

системы

и

скорости

тела

относительно

движущейся

системы.

Иными

словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.

Таким образом, если пассажир передвигается по движущемуся вагону, то

скорость пассажира относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и

скорости пассажира относительно вагона:

𝒗

⃗⃗⃗⃗

=

𝒗

⃗⃗⃗

1 +

𝒗

⃗

⃗

⃗

2

1.2.9 Виды механического движения

Простейшими

видами

механического

движения

материальной

точки

являются равномерное и прямолинейное движения.

Движение

называется

равномерным,

если

модуль

вектора

скорости

остаётся постоянным (направление скорости при этом может меняться).

Движение называется прямолинейным, если оно происходит вдоль некоторой

прямой

(величина

скорости

при

этом

может

меняться).

Иными

словами,

траекторией прямолинейного движения служит прямая линия. Например,

автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совершает

равномерное

(но не прямолинейное)

движение.

Автомобиль, разгоняющийся на

прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.

А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости,

так и её направление, то движение называется равномерным прямолинейным.

Итак:

• равномерное движение

⇔

|

𝑣⃗

| = const;

• равномерное прямолинейное движение

⇔

v = const.

Важнейшим

частным

случаем

неравномерного

движения

является

равноускоренное

движение,

при

котором

остаются

постоянными

модуль

и

направление вектора ускорения:

• равноускоренное движение

⇔

𝑎⃗

= const.

Наряду

с

материальной

точкой

в

механике

рассматривается

ещё

одна

идеализация — твёрдое тело.

Твёрдое тело — это система материальных точек, расстояния между которыми

не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда

мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание

изменение размеров и формы тела в процессе движения.

Простейшими

видами

механического

движения

твёрдого

тела

являются

поступательное и вращательное движения.

Движение

тела

называется

поступательным,

если

всякая

прямая,

соединяющая

две

какие-

либо

точки

тела,

перемещается

параллельно

своему

первоначальному

направлению.

При поступательном

движении

траектории

всех

точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом. Так,

на рис.4 показано поступательное движение.

Рис. 4. Поступательное движение

Движение тела называется вращательным, если:

1.

все

точки

тела

описывают

окружности,

лежащие

в

параллельных

плоскостях;

2.

центры

данных

окружностей

лежат

на

одной

прямой,

которая

перпендикулярна всем этим плоскостям (эта прямая называется осью вращения).

На рис. 5 изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно

рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.

Рис. 5. Вращательное движение

1.3 Равномерное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение материальной точки — это движение с

постоянной скоростью

𝑣⃗

. Обратите внимание, что речь идёт о постоянстве вектора

скорости; это значит, что скорость неизменна как по модулю, так и по направлению.

Траекторией тела при равномерном прямолинейном движении служит прямая

(или часть прямой

— например, отрезок или луч). Вдоль данной прямой тело

движется равномерно, то есть с постоянной по модулю скоростью.

1.3.1 Закон движения

Предположим, что тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью

𝑣⃗

, переместилось за время t из точки M

1

в точку M

2

(рис.6).

Рис. 6. Равномерное прямолинейное движение

Вектор перемещения есть

𝑠⃗

(



𝑟⃗

)

= M

1

M

2

.

Путь, пройденный телом, равен длине s вектора перемещения. Очевидно, что

выполнено соотношение:

s = vt, (1.3)

где v — модуль вектора скорости.

Формула (1.3) справедлива для произвольного равномерного движения (не

обязательно прямолинейного). Но в случае прямолинейного равномерного движения

эта формула становится соотношением между векторами. В самом деле, поскольку

векторы

𝑠⃗

и

𝑣⃗

сонаправлены, формула (1.3) позволяет записать:

𝑠⃗

=

𝑣⃗

t (1.4)

Как обычно, движение тела рассматривается в некоторой системе отсчёта,

связанной с телом отсчёта O (рис.6).

. Пусть

𝑟⃗

0

— радиус-вектор начальной точки M

1

и

𝑟⃗

— радиус-вектор

конечной точки M

2

. Тогда, очевидно,

𝑠⃗

=

𝑟⃗

−

𝑟⃗

0

Подставим эту разность в формулу (4):

𝑟⃗

−

𝑟⃗

0

=

𝑣⃗

t.

Отсюда получаем закон движения (то есть зависимость радиус-вектора тела от

времени):

𝑟⃗

=

𝑟⃗⃗⃗

0

+

𝑣⃗

t (1.5)

Напомним,

что

нахождение

закона

движения

решает

основную

задачу

механики,

которая

заключается

в

определении

зависимости

координат

тела

от

времени. Переход от векторного соотношения (1.5) к координатам осуществляется

элементарно.

Координаты точки M

1

обозначим (x

0

, y

0

, z

0

). Они же являются координатами

вектора

𝑟⃗

0

. Координаты точки M

2

(и вектора

𝑟⃗

) обозначим

(x,

y,

z).

Тогда

векторная

формула

(1.5)

приводит

к

трём

координатным

соотношениям:

x = x

0

+ v

x

t, (1.6)

y = y

0

+ v

y

t, (1.7)

z = z

0

+ v

z

t. (1.8)

Формулы (1.6)—(1.8), представляя координаты тела как функции времени,

служат решением основной задачи механики для равномерного прямолинейного

движения.

Задание №2

Решить задачу:

Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со

скоростью

4

м/с

относительно

воды.

На

сколько

метров

будет

снесен

катер

течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 м/с?

1.4 Равноускоренное движение

Равноускоренное

движение

—

это

движение

с

постоянным

вектором

ускорения

𝑎⃗

.

Таким

образом,

при

равноускоренном

движении

остаются

неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

1.4.1 Зависимость скорости от времени

При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости

скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения.

Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени.

Зависимость скорости от времени задается соотношением:

𝑣⃗

=

𝑣⃗

0

+

𝑎⃗

t (1.9)

В

конкретных

задачах

нужно

выбрать

систему

координат

и

перейти

к

проекциям на координатные оси.

Так,

в

прямоугольной

декартовой

системе

координат

OXY

Z

векторное

соотношение (1.9) даёт три скалярных равенства:

v

х

= v

0х

+ a

х

t,

v

у

= v

0у

+ a

у

t,

v

z

= v

0z

+ a

z

t.

1.4.2 Закон движения

Закон

движения,

то

есть

зависимость

радиус-вектора

от

времени

для

равноускоренного движения представлен соотношением:

𝑟

⃗⃗⃗

=

𝑟⃗

0

+

𝑣⃗

0

t +

𝑎⃗

t

2

/2 (1.10)

Переходя

к

проекциям

на

координатные

оси,

вместо

одного

векторного

равенства (10) получаем три скалярных равенства:

x = x

0

+ v

0 х

t + a

х

t

2

/2, (1.11)

y = y

0

+ v

0у

t + a

у

t

2

/2, (1.12)

z = z

0

+ v

0z

t + a

z

t

2

/2 (1.13)

Формулы

(1.11)—(1.13)

дают

зависимость

координат

тела

от

времени

и

поэтому

служат

решением

основной

задачи

механики

для

равноускоренного

движения. Снова вернёмся к закону движения (1.41). Заметим, что

𝑟⃗

−

𝑟⃗

0

=

𝑠⃗

—

перемещение тела.

Тогда получаем зависимость перемещения от времени:

𝑠⃗

=

𝑣⃗

0

t +

𝑎⃗

t

2

/2

1.4.3 Прямолинейное равноускоренное движение

Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать

координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это

будет ось OX. Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

v

x

= v

0x

+ a

x

t,

x = x

0

+ v

0xt

+ a

x

t

2

/2,

s

x

= v

0x

t + a

x

t

2

/2 ,

где s

x

= x – x

0

— проекция перемещения на ось OX. Но очень часто помогает

ещё одна формула, являющаяся их следствием:

s

x

= (v

2

x

– v

2

0x

)/ 2a

x

Эта формула не содержит времени t и позволяет быстрее приходить к ответу в

тех задачах, где время не фигурирует.

Ниже

предлагается

таблица

основных

формул,

выражающих

связь

кинематических

величин

для

равномерного

прямолинейного

равноускоренного

прямолинейного движения.

1.4.4 Свободное падение

Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное

падение.

Так

называется

движение

тела

вблизи

поверхности

Земли

без

учёта

сопротивления воздуха.

Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным

ускорением свободного падения

𝑔⃗

, направленным вертикально вниз. Почти во всех

задачах при расчётах полагают g = 10 м/с

2

.

Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные

нами формулы для равноускоренного движения.

Задача 1. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи h =

2 км.

Решение. Направим ось OY вертикально вниз, расположив начало отсчёта в

точке отрыва капли. Воспользуемся формулой

s

y

= (v

2

y

– v

2

0y

)/2a

y

Имеем: s

y

= h, v

y

= v — искомая скорость приземления, v

0y

= 0, a

y

= g.

Получаем: h = v

2

/ 2g , откуда v =

√

2

𝑔ℎ

. Вычисляем: v =

√

2

10

2000

∗

∗

= 200 (м/с).

Это 720 км/ч, порядка скорости пули. На самом деле капли дождя падают со

скоростью

порядка

нескольких

метров

в

секунду.

Почему

такое

расхождение?

Сопротивление воздуха!

Задача 2. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v

0

= 30 м/с. Найти

скорость тела через t = 5 c.

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на

поверхности Земли. Используем формулу v

y

= v

0y

+ a

y

t

Здесь v

0y

= v

0

, a

y

= −g, так что v

y

= v

0

− gt.

Вычисляем: v

y

= 30 − 10 · 5 = −20 (м/с). Значит, скорость будет равна 20 м/с.

Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

Задача 3. С балкона, находящегося на высоте h = 15 м, бросили вертикально

вверх камень со скоростью v

0

= 10 м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на

поверхности Земли. Берём формулу

y = y

0

+ v

0y

t + a

y

t

2

/2

Имеем: y = 0, y

0

= h, v

0y

= v

0

, a = −g, так что 0 = h + v

0

t – gt

2

/2 = 15 + 10t − 5t

2

,

или t

2

− 2t − 3 = 0. Решая квадратное уравнение, получим t = 3 c.

1.4.5 Горизонтальный бросок

Равноускоренное

движение

не

обязательно

является

прямолинейным.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью v

0

с высоты h.

Найдём

время

и

дальность

полёта,

а

также

выясним,

по

какой

траектории

происходит движение.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Горизонтальный бросок

Используем формулы:

x = x

0

+ v

0x

t + a

x

t

2

/2 , y = y

0

+ v

0y

t + a

y

t

2

/2

В нашем случае x

0

= 0, v

0x

= v

0

, a

x

= 0, y

0

= h, v

0y

= 0, a

y

= −g. Получаем:

x = v

0

t, y = h – gt

2

/2 (14)

Время полёта T найдём из условия, что в момент падения координата тела y

обращается в нуль:

y(T) = 0

⇒

h – gT

2

/2 = 0

⇒

T =

√

2 /

ℎ 𝑔

Дальность полёта L — это значение координаты x в момент времени T:

L = x(T) = v

0

T = v

0

√

2 /

ℎ 𝑔

Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (14). Выражаем

t из первого уравнения и подставляем во второе:

t = x/v

0

⇒

y = h –

𝑔

2

(x/v

0

)

2

= h – gx

2

/ 2v

0

2

.

Получили

зависимость

y

от

x,

которая

является

уравнением

параболы.

Следовательно, тело летит по параболе.

1.4.6 Бросок под углом к горизонту

Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения:

полёт тела, брошенного под углом к горизонту. Предположим, что тело брошено с

поверхности Земли со скоростью v

0

, направленной под углом α к горизонту. Найдём

время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 8.

Рис. 8. Бросок под углом к горизонту

Начинаем с уравнений:

x = x

0

+ v

0x

t + a

x

t

2

/2, y = y

0

+ v

0y

t + a

y

t

2

/2

В нашем случае x

0

= y

0

= 0, v

0x

= v

0

cos α, v

0y

= v

0

sin α, a

x

= 0, a

y

= −g

Получаем:

x = (v

0

cos α)t, y = (v

0

sin α)t – gt

2

/2

Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска.

В результате приходим к соотношениям:

t

полёта

= (2v

0

sin α)/g,

L = v

0

2

sin 2α/g,

y = (xtgα – gx

2)

)

/ 2v

0

2

cos

2

α

(Обязательно

проделайте

эти

вычисления

самостоятельно!)

Как

видим,

зависимость y от x снова является уравнением параболы.

Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется

формулой:

h

max

= (v

0

2

sin

2

α) /2g

Задание №3

Решить задачи:

1)При аварийном торможении автомобиль, движущийся со скоростью

72 км/ч, остановился через 5 с. Найти тормозной путь.

2)При свободном падении тело находилось в полёте 8 с.

С какой высоты оно упало, и с какой скоростью врезалось в землю?

3)

Тело брошено со скоростью v

0

под углом

к горизонту.

Время полета t = 2,2 с. На какую высоту h

max

поднимется тело?

Найти дальность полета L.

1.5 Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример

движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса R. Скорость точки постоянна

по модулю и равна v. Скорость v называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода T

имеем очевидную формулу:

T

=

2

𝜋𝑅

𝑣

(1.15)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

ν =

1

𝑇

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду.

Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, T = 0,1 с. Это означает, что за время 0,1 с точка совершает

один полный оборот. Частота при этом равна: ν = 1/0,1 = 10 об/с; за секунду точка

совершает 10 полных оборотов.

1.5.1 Угловая скорость

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат.

Поместим начало координат O в центре окружности (рис. 9).

Рис. 9. Равномерное движение по окружности

Пусть

за

время

t

точка

повернулась

на

угол

ϕ

и

заняла

положение

M.

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения

точки:

ω = ϕ t (1.16)

Угол

ϕ,

как

правило,

измеряется

в

радианах,

поэтому

угловая

скорость

измеряется в рад/с.

За

время,

равное

периоду

вращения,

точка

поворачивается

на

угол

2π.

Поэтому

ω = 2πT (1.17)

Сопоставляя формулы (1.15) и (1.17), получаем связь линейной и угловой

скоростей:

v = ωR (1.18)

1.5.2 Закон движения

Найдём

теперь

зависимость

координат

вращающейся

точки

от

времени.

Видим на рис. 9, что x = R cos ϕ, y = R sin ϕ.

Но из формулы (1.16) имеем: ϕ = ωt. Следовательно,

x = R cos ωt, y = R sin ωt (1.19)

Формулы

(1.19)

являются

решением

основной

задачи

механики

для

равномерного движения точки по окружности.

1.5.3 Центростремительное ускорение

Теперь

нас интересует

ускорение вращающейся точки. Его можно найти,

дважды продифференцировав соотношения (1.19):

v

x

= x



= −ωR sin ωt, v

y

= y



= ωR cos ωt,

a

x

= v



x

= −ω

2

R cos ωt, a

y

= v



y

= −ω

2

Rsin ωt.

С учётом формул (1.19) имеем:

a

x

= −ω

2

x, a

y

= −ω

2

y (1.20)

Полученные

формулы

(1.20)

можно

записать

в

виде

одного

векторного

равенства:

𝑎⃗

= −ω

2

𝑅

⃗

⃗

, (1.21)

где

𝑅

⃗⃗

— радиус-вектор вращающейся точки. Вектор ускорения направлен

вдоль радиуса к центру окружности.

Поэтому

ускорение

точки,

равномерно

движущейся

по

окружности,

называется центростремительным.

Кроме

того,

из

формулы

(1.21)

мы

получаем

выражение

для

модуля

центростремительного ускорения:

a = ω

2

R (1.22)

Выразим угловую скорость из (1.18):

ω = v/ R

и подставим

в (1.22).

Получится ещё одна формула для центростремительного

ускорения:

a = v

2

/R (1.23)

Формулы (1.22) и (1.23) обычно и используются при решении задач.

Задание №4

Ответить на вопросы:

1.

В чём особенности движения тела по окружности?

2.

Почему

движения

тела

по

окружности

с

одной

стороны

является

равномерным, а с другой стороны равноускоренным?

3.

Почему

ускорение

тела,

движущегося

по

окружности,

называется

центростремительным?

4.

Что такое период и частота? Какова связь между этими величинами?

5.

Какова связь линейной и угловой скорости?

1.6 Графическое представление движения

.

1.6.1 Графическое представление

равномерного прямолинейного движения

1) График скорости равномерного прямолинейного движения

Рис. 10. График скорости

График

скорости

равномерного

прямолинейного

движения

представляет

собой прямую линию, параллельную оси времени. Используя этот график , можно

найти путь, пройденный телом за время t.

Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади фигуры под

графиком скорости на заданном промежутке времени.

2) График движения

График движения показывает зависимость координаты тела от времени x=x(t)

На

рисунке

изображены

графики

движения

трёх

тел,

причём

начало

движения этих тел происходит из одной точки с координатой x

0.

Тела 1 и 2 движутся в одном направлении, но с разными скоростями, причём

скорость

первого

больше

скорости

второго,

так

как

за

одно

и

то

же

время

координата первого тела меняется больше (угол наклона графика

𝛼

1

>

𝛼

2

).

Тело, график движения которого показан красной линией, находится в покое,

так как видно, что координата тела не изменяется.

По уравнению зависимости x=x(t) можно определить путь (перемещение)

тела за время



t:

S=x-x

0

,

а также скорость тела:

v= (x-x

0

)/



t =



x/



t

1.6.2

Графическое

представление

равноускоренного

прямолинейного

движения

1) График скорости

Чтобы найти путь, пройденный телом в этом случае, также равен площади

фигуры, расположенной под графиком скорости. В данном случае нужно найти

площадь трапеции.

2) График движения

На рисунке представлен один из возможных вариантов графика зависимости

координаты тела от времени x=x(t) в случае прямолинейного равноускоренного

движения.

Задание №5

Определить

по

графику

начальную

координату,

скорость

тел,

путь,

пройденный телами за 3 с и время встречи этих тел.

Динамика

1.7 Первый закон Ньютона

Все тела в природе взаимодействуют друг с другом. Однако в некоторых

ситуациях воздействия на данное тело со стороны других тел можно не принимать

во

внимание.

Так,

космический

корабль

в

далёком

межзвёздном

пространстве

практически не испытывает гравитационного притяжения объектов Вселенной из-за

их колоссальной удалённости.

Лежащий

на

столе

карандаш

притягивается

к

Земле,

но

действие

Земли

компенсируется упругой реакцией стола, и поэтому карандаш находится в покое,

словно никакие силы на него вообще не действуют. Во всех подобных случаях

будем называть тело свободным. Тело называется свободным, если действия на него

со стороны других тел или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга.

1.7.1 Инерциальные системы отсчёта

Повседневный

опыт

говорит

о

том,

что

свободные

тела

покоятся

—

как

упомянутый

карандаш

на

столе.

Поэтому

долгое

время

считалось,

что

для

поддержания

какого

бы

то

ни

было

движения

необходимо

осуществлять

нескомпенсированное внешнее воздействие со стороны других тел.

Но это оказалось неверным. Как установил Галилей, свободное тело может не

только находиться в покое, но и двигаться равномерно и прямолинейно! Именно

состояние равномерного прямолинейного движения является «естественным» для

свободного тела; покой же

— частный случай такого движения со скоростью,

равной нулю.

Следует учесть, однако, что движение относительно: оно рассматривается не

само по себе, а в определённой системе отсчёта. В различных же системах отсчёта

движение данного тела будет выглядеть по-разному.

Так, дом с точки зрения неподвижно стоящего наблюдателя будет находиться

в покое: сила притяжения дома к Земле компенсируется силой упругости почвы.

Если наблюдатель движется относительно земли равномерно и прямолинейно, то и

дом

относительно

наблюдателя

будет

совершать

равномерное

прямолинейное

движение

в

полном

соответствии

с

выводами

Галилея

—

ведь

дом

является

свободным телом!

Но если у наблюдателя заплетаются ноги и он бредёт, шатаясь, то ему будет

казаться, что дом раскачивается в разные стороны. В этой системе отсчёта дом,

будучи

свободным

телом,

совершает отнюдь

не

равномерное

и

прямолинейное

движение.

Таким образом, утверждение Галилея верно не во всей общности: не во всякой

системе отсчёта свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Но всё же

такие системы отсчёта существуют (существуют «хорошие» наблюдатели!), и в этом

состоит первый закон Ньютона.

Первый

закон

Ньютона.

Существуют

такие

системы

отсчёта,

относительно которых свободное тело движется равномерно и прямолинейно.

Свойство свободного тела сохранять скорость неизменной называется инерцией.

Поэтому первый закон Ньютона называют ещё

законом инерции. Равномерное

прямолинейное движение свободного тела называется движением по инерции.

Система отсчёта, относительно которой свободное тело движется равномерно

и прямолинейно, называется инерциальной. Первый закон Ньютона — это постулат

о существовании инерциальных систем отсчёта. В инерциальных системах отсчёта

механические явления описываются наиболее просто.

В действительности

инерциальных

систем

отсчёта

существует

бесконечно

много:

всякая

система

отсчёта,

которая

движется

относительно

инерциальной

системы

равномерно

и

прямолинейно,

сама

является

инерциальной.

Система

отсчёта,

которая

движется

относительно

инерциальной

системы

отсчёта

с

ускорением, является неинерциальной. В такой системе отсчёта свободное тело

будет двигаться с ускорением, что усложнит описание его движения.

С

достаточно

высокой

точностью

можно

считать

инерциальной

гелиоцентрическую

систему

(систему

Коперника).

Это

система

отсчёта,

начало

которой помещено в центре Солнца, а координатные оси направлены на три какие-

либо удалённые звезды, которые можно принять за неподвижные.

Инерциальной часто можно считать систему отсчёта, связанную с земной

поверхностью. Это, однако, более грубое приближение

— ведь мы тем самым

отвлекаемся от вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Так,

звезда,

неподвижная

в

системе

Коперника,

в

земной

системе

будет

совершать

сложное движение в виде наложения двух вращений (суточного и годового). Однако

в большинстве явлений, происходящих на поверхности Земли, неинерциальность

земной системы отсчёта практически никак не сказывается, и ею можно пренебречь.

1.7.2 Принцип относительности

Галилей заметил, что, находясь в трюме корабля, никакими механическими

опытами невозможно установить, покоится ли корабль или движется равномерно и

прямолинейно.

Это

означает,

что

инерциальные

системы

отсчёта

совершенно

неотличимы друг от друга с точки зрения законов механики. Иными словами, верен

принцип относительности Галилея.

Принцип

относительности

Галилея.

Всякое

механическое

явление

при

одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной

системе отсчёта.

Впоследствии

Эйнштейн

распространил

этот

принцип

с

механических

явлений

на

вообще

все

физические

явления.

Общий

принцип

относительности

Эйнштейна лёг в основу теории относительности.

1.8 Масса и плотность

Масса

—

одна

из

самых

фундаментальных

физических

величин.

Масса

характеризует сразу несколько свойств тела и обладает рядом важных свойств.

1. Масса служит мерой содержащегося в теле вещества.

2. Масса является мерой инертности тела. Инертностью называется свойство

тела сохранять свою скорость неизменной (в инерциальной системе отсчёта), когда

внешние воздействия отсутствуют или компенсируют друг друга. При наличии

внешних воздействий инертность тела проявляется в том, что его скорость меняется

не мгновенно, а постепенно, и тем медленнее, чем больше инертность (т. е. масса)

тела.

3. Массы тел являются причиной их гравитационного притяжения друг к

другу .

4. Масса тела равна сумме масс его частей. Это так называемая аддитивность

массы. Аддитивность позволяет использовать для измерения массы эталон — 1 кг.

5.

Масса

изолированной

системы

тел

не

меняется

со

временем

(закон

сохранения массы).

6. Масса тела не зависит от скорости его движения. Масса не меняется при

переходе от одной системы отсчёта к другой.

Плотностью

однородного

тела

называется

отношение

массы

тела

к

его

объёму:

ρ =

𝑚

𝑉

Плотность не зависит от геометрических свойств тела (формы, объёма) и

является

характеристикой

вещества

тела.

Плотности

различных

веществ

представлены в справочных таблицах. Желательно помнить плотность воды: 1000

кг/м

3

.

1.9 Второй и третий законы Ньютона

Взаимодействие тел можно описывать с помощью понятия силы. Сила — это

векторная величина, являющаяся мерой воздействия одного тела на другое. Будучи

вектором, сила характеризуется модулем (абсолютной величиной) и направлением в

пространстве. Кроме того, важна точка приложения силы: одна и та же по модулю и

направлению

сила,

приложенная

в

разных

точках

протяжённого

тела,

может

оказывать различное воздействие. Так, если взяться за обод велосипедного колеса и

потянуть по касательной к ободу, то колесо начнёт вращаться. Если же тянуть вдоль

радиуса, никакого вращения не будет.

1.9.1 Принцип суперпозиции

Опыт показывает, что если на данное тело действуют несколько других тел, то

соответствующие

силы

складываются

как

векторы.

Более

точно,

справедлив

принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции сил. Пусть на тело действуют силы

𝐹

⃗

1

,

𝐹

⃗

2

, . . . ,

𝐹

⃗

n

Если заменить их одной силой

𝐹

⃗

=

𝐹

⃗

1

+

𝐹

⃗

2

+ . . . +

𝐹

⃗

n

, то результат воздействия не

изменится.

Сила

𝐹

⃗

называется

равнодействующей

сил

𝐹

⃗

1

,

𝐹

⃗

2

,

.

.

.

,

𝐹

⃗

n

или

результирующей силой .

1.9.2 Второй закон Ньютона

Если

равнодействующая

сил,

приложенных

к

телу,

равна

нулю

(то

есть

воздействия

других

тел

компенсируют

друг

друга),

то

в

силу

первого

закона

Ньютона найдутся такие системы отсчёта (называемые инерциальными), в которых

движение тела будет равномерным и прямолинейным. Но если равнодействующая

не

обращается

в

нуль,

то

в

инерциальной

системе

отсчёта

у

тела

появится

ускорение.

Количественную связь между ускорением и силой даёт второй закон Ньютона.

Второй

закон

Ньютона.

Ускорение

тела

прямо

пропорционально

равнодействующей сил, приложенных к телу и обратно пропорционально массе

тела:

𝑎⃗

=

𝐹

⃗

𝑚

Подчеркнём, что второй закон Ньютона связывает векторы ускорения и силы.

Это означает, что справедливы следующие утверждения.

1.

F= ma, где F — модуль равнодействующей силы, a — модуль ускорения.

2.

Вектор ускорения сонаправлен с вектором равнодействующей силы, так как

масса тела положительна.

Например, если тело равномерно движется по окружности, то его ускорение

направлено к центру окружности. Стало быть, к центру окружности направлена и

равнодействующая всех сил, приложенных к телу.

Второй

закон

Ньютона

выполняется лишь в инерциальных системах отсчёта, факт существования которых

устанавливается первым законом Ньютона.

1.9.3 Третий закон Ньютона

Опыт показывает, что если тело А действует на тело В, то и тело В действует

на тело А. Количественную связь между действиями тел друг на друга даёт третий

закон Ньютона («действие равно противодействию»).

Третий

закон

Ньютона.

Два

тела

действуют

друг

на

друга

с

силами,

равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и

ту же физическую природу и направлены вдоль прямой, соединяющей их точки

приложения.

Например, если карандаш действует на стол с силой

𝑃

⃗⃗

, направленной вниз, то

стол действует на карандаш с силой

𝑁

⃗

⃗

⃗

, направленной вверх (рис. 1.25). Эти силы

равны по абсолютной величине.

Рис. 1.25.

𝑃

⃗⃗

= −

𝑁

⃗

⃗

⃗

Силы

𝑃

⃗⃗

и

𝑁

⃗⃗⃗

, как видим, приложены к разным телам и поэтому не могут

уравновешивать друг друга (нет смысла говорить об их равнодействующей).

Примеры решения задач.

Задача №1.Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы F.

Известно,

что

в

первую

секунду

после

начала

движения

тело

прошло

расстояние 25 см. Определить силу F, если масса тела 25 г.

Решение: По второму закону Ньютона F=ma.

Начальная скорость тела v

0

=0. Тело совершает равноускоренное движение,

так

как

движется

прямолинейно

под

действием

постоянной

силы.

Для

равноускоренного движения без начальной скорости справедливо:

S= at

2

2

откуда ускорение:

a

=

2S

t

2

Подставив соотношение для ускорения в формулу второго закона Ньютона,

определим силу:

F=2mS

t

2

Переведем значения физических величин в систему СИ:

m = 25г=0,025кг

S=25см =0,25 м

Вычислим:

F= 2

.

0,025

.

0,25 =0,0125Н

1

2

Ответ: Сила, действующая на тело, 0,0125 Н.

Задача №2.

Тело массой 200 г движется по окружности радиуса 1 м со скоростью 2 м/с.

С какой силой надо действовать на тело, чтобы сообщить ему необходимое

нормальное ускорение? Куда должна быть направлена эта сила?

Решение:

По второму закону Ньютона F=ma, где в данном случае

a - нормальное (центростремительное) ускорение.

Нормальное ускорение: а = v

2

R

Сила: F= mv

2

R

Переведем значение массы в систему СИ:

m=200г=0,2кг

Вычислим:

F=0,2

.

2

2

=0,8 Н

1

2

Направление ускорения всегда совпадает с направлением силы, поэтому сила

должна

быть

направлена

к

центру

окружности,

т.е.

перпендикулярно

скорости

движения тела.

Ответ

:

На тело нужно действовать с силой 0,8 Н, эта сила должна быть

направлена перпендикулярно скорости движения тела.

Задание №6

1)Сформулируйте законы Ньютона.

2)Объясните, действие каких сил компенсируется в следующих случаях:

а) книга лежит на столе;

б) автомобиль движется равномерно по горизонтальной дороге.

3)Согласны ли вы со следующими утверждениями:

а) если на тело не действуют силы, то оно не движется;

б) если на тело перестали действовать силы, то оно остановится;

в) тело обязательно движется туда, куда направлена равнодействующая сила;

г) если равнодействующая сил, действующих на тело, не равна нулю, то скорость

тела обязательно изменяется?

4) Оформите в тетради образцы решения задач.

5) Решите задачу:

Определите

силу,

под

действием

которой

движение

тела

массой

200

кг

описывается формулой x = 2t + 0,2∙t

2

.

1.10 Силы взаимодействия тел в механике. Силы упругости.

Как мы знаем, второй закон Ньютона рассматривает

равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Теперь нам предстоит

изучить

силы

взаимодействия

тел

в

механике.

Их

три

вида:

сила

упругости,

гравитационная сила и сила трения. Начинаем с силы упругости.

1.10.1 Силы упругости

Силы

упругости

возникают

при

деформациях

тел.

Деформация

—

это

изменение формы и размеров тела. К деформациям относятся растяжение, сжатие,

кручение, сдвиг и изгиб.

Деформации бывают упругими и пластическими.

Упругая

деформация

полностью

исчезает

после

снятия

внешнего

воздействия,

которое

вызвало

деформацию.

В

результате

деформированное

поначалу тело восстанавливает свои первоначальные размеры и форму.

Пластическая

деформация

сохраняется

(быть

может,

частично)

после

снятия

внешней нагрузки, и тело уже не возвращается к прежним размерам и форме.

Частицы тела (молекулы или атомы) взаимодействуют друг с другом силами

притяжения

и

отталкивания,

имеющими

электромагнитное

происхождение

(это

силы,

действующие

между

ядрами

и

электронами

соседних

атомов).

Силы

взаимодействия зависят от расстояний между частицами. Если деформации нет, то

силы

притяжения

компенсируются

силами

отталкивания.

При

деформации

изменяются расстояния между частицами, и баланс сил взаимодействия нарушается.

Например,

при

растяжении

стержня

расстояния

между

его

частицами

увеличиваются, и начинают преобладать силы притяжения. Наоборот, при сжатии

стержня расстояния между частицами уменьшаются, и начинают преобладать силы

отталкивания.

В

любом

случае

возникает

сила,

которая

направлена

в

сторону,

противоположную

деформации,

и

стремится

восстановить

первоначальную

конфигурацию тела.

Сила упругости — это сила, возникающая при упругой деформации тела и

направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе

деформации. Сила упругости:

1. действует между соседними слоями деформированного тела и приложена

к каждому слою;

2. действует со стороны деформированного тела на соприкасающееся с ним

тело,

вызывающее

деформацию,

и

приложена

в

месте

контакта

данных

тел

перпендикулярно их поверхностям (типичный пример — сила реакции опоры).

Силы, возникающие при пластических деформациях, не относятся к силам

упругости.

Эти

силы

зависят

не

от

величины

деформации,

а

от

скорости

её

возникновения.

1.10.2 Закон Гука

Деформация называется малой, если изменение размеров тела много меньше

его

первоначальных

размеров.

При

малых

деформациях

зависимость

силы

упругости от величины деформации оказывается линейной.

Закон Гука. Абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна

величине

деформации.

В

частности,

для

пружины,

сжатой

или

растянутой

на

величину x, сила упругости даётся формулой:

F = kx, (1.24)

где k — коэффициент жёсткости пружины.

Коэффициент жёсткости зависит не только от материала пружины, но также

от её формы и размеров.

Из

формулы

(1.24)

следует,

что

график

зависимости

силы

упругости

от

(малой) деформации является прямой линией (рис. 11):

Рис. 11. Закон Гука

Коэффициент жёсткости k — это угловой коэффициент в уравнении прямой

F = kx. Поэтому справедливо равенство:

k = tg α,

где

α

—

угол наклона

данной

прямой

к

оси

абсцисс.

Это равенство

удобно

использовать при экспериментальном нахождении величины k.

Подчеркнём ещё раз, что закон Гука о линейной зависимости силы упругости

от величины деформации справедлив лишь при малых деформациях тела. Когда

деформации перестают быть малыми, эта зависимость перестаёт быть линейной и

приобретает более сложный вид. Соответственно, прямая линия на рис. 1.26 — это

лишь

небольшой

начальный

участок

криволинейного

графика,

описывающего

зависимость F от x при всех значениях деформации x.

1.10.3 Модуль Юнга

В

частном

случае

малых

деформаций

стержней

имеется

более

детальная

формула, уточняющая общий вид (1.24) закона Гука.

Именно,

если

стержень

длиной

l

и

площадью

поперечного

сечения

S

растянуть или сжать на величину x, то для силы упругости справедлива формула:

F = ES

𝑥

𝑙

Здесь

E

—

модуль

Юнга

материала

стержня.

Этот

коэффициент

уже

не

зависит от геометрических размеров стержня. Модули Юнга различных веществ

приведены в справочных таблицах.

1.11 Сила тяготения

Любые два тела притягиваются друг к другу — по той лишь одной причине,

что

они

имеют

массу.

Эта

сила

притяжения

называется

силой

тяготения

или

гравитационной силой.

1.11.1 Закон всемирного тяготения

Гравитационное взаимодействие любых двух тел во Вселенной подчиняется

достаточно простому закону.

Закон всемирного тяготения. Две материальные точки массами m

1

и m

2

притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс

и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между

F = G m

1

m

2

r

2

(1.25)

Коэффициент

пропорциональности

G

называется

гравитационной

постоянной.

Это

фундаментальная

константа,

и

её

численное

значение

было

определено на основе эксперимента Генри Кавендиша:

G = 6,67 · 10

-11

Н · м

2

/ кг

2

Порядок

величины

гравитационной

постоянной

объясняет,

почему

мы

не

замечаем взаимного притяжения окружающих нас предметов: гравитационные силы

оказываются слишком малыми при небольших массах тел. Мы наблюдаем лишь

притяжение предметов к Земле, масса которой грандиозна и равна примерно

6 · 10

24

кг.

Формула (1.25), будучи справедливой для материальных точек, перестаёт быть

верной, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных для

практики исключения.

1. Формула (1.25) справедлива, если тела являются однородными шарами.

Тогда r — расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль

прямой, соединяющей центры шаров.

2. Формула (1.25) справедлива, если одно из тел — однородный шар, а другое

— материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда r — расстояние от точки до

центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с

центром

шара.

Второй

случай

особенно

важен,

так

как

позволяет

применять

формулу (1.59) для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к

планете.

1.11.2 Сила тяжести

Предположим,

что

тело

находится

вблизи

некоторой

планеты.

Сила

тяжести

—

это

сила

гравитационного

притяжения,

действующая

на

тело

со

стороны планеты. В подавляющем большинстве случаев сила тяжести — это сила

притяжения к Земле.

Пусть тело массы m лежит на поверхности Земли. На тело действует сила

тяжести mg, где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. С

другой стороны, считая Землю однородным шаром, можно выразить силу тяжести

по закону всемирного тяготения:

mg = G Mm/ R

2

,

где M — масса Земли, R ≈ 6400 км — радиус Земли.

Отсюда получаем формулу для ускорения свободного падения на поверхности

Земли:

g = G M/R

2

(1.26)

Эта же формула, разумеется, позволяет найти ускорение свободного падения

на поверхности любой планеты массы M и радиуса R.

Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы

тяжести получаем:

mg(h) = G Mm /(R + h)

2

Здесь g(h) — ускорение свободного падения на высоте h:

g(h) = G M/(R + h)

2

= gR

2

/(R + h)

2

В

последнем

равенстве

мы

воспользовались

соотношением

GM

=

gR

2

,

которое следует из формулы (1.26).

1.11.3 Вес тела. Невесомость

Рассмотрим тело, находящееся в поле силы тяжести. Предположим, что есть

опора или подвес, препятствующие свободному падению тела. Вес тела — это сила,

с которой тело действует на опору или подвес. Подчеркнём, что вес приложен не к

телу, а к опоре (подвесу).

Рис. 12. Сила тяжести, реакция опоры и вес тела

На рис. 12 изображено тело на опоре. Со стороны Земли на тело действует

сила

тяжести

m

𝑔⃗

(в

случае

однородного

тела

простой

формы

сила

тяжести

приложена в центре симметрии тела). Со стороны опоры на тело действует сила

упругости

𝑁

⃗⃗⃗

(так называемая реакция опоры). На опору со стороны тела действует

сила

𝑃

⃗⃗

— вес тела. По третьему закону Ньютона силы

𝑃

⃗

⃗

и

𝑁

⃗

⃗

⃗

равны по модулю (P =

N) и противоположны по направлению.

Предположим, что тело покоится. Тогда равнодействующая сил, приложенных

к телу, равна нулю. Имеем:

m

𝑔⃗

+

𝑁

⃗⃗⃗

= 0

⇒

m

𝑔⃗

= −

𝑁

⃗⃗⃗

⇒

mg = N.

С учётом равенства N = P получаем mg = P. Стало быть, если тело покоится,

то его вес равен по модулю силе тяжести.

Рассмотрим

две

стандартные

задачи,

которые

обязательно

нужно

уметь

решать.

Задача.

Тело

массы

m

вместе

с

опорой

движется

с

ускорением

a,

направленным вертикально вверх. Найти вес тела.

Решение. Направим ось Y вертикально вверх (рис. 13)

.

Рис. 13. Вес тела больше силы тяжести

Запишем второй закон Ньютона:

m

ааааааааааааааа

= m

𝑔⃗

+

𝑁

⃗

⃗

⃗

Перейдём к проекциям на ось Y:

ma = N − mg

Отсюда N = mg + ma = m(g + a). Следовательно, вес тела

P = m(g + a)

Как

видим,

вес

тела

больше

силы

тяжести.

Такое

состояние

называется

перегрузкой.

Задача. Тело массы

m вместе с

опорой движется с ускорением a

≪

g ,

направленным вертикально вниз. Найти вес тела.

Решение. Направим ось Y вертикально вниз (рис. 14).

Рис. 14. Вес тела меньше силы тяжести

Схема решения та же. Начинаем со второго закона Ньютона:

m

ааааааааааааааа

= m

𝑔⃗

+

𝑁

⃗

⃗

⃗

Переходим к проекциям на ось Y:

ma = mg − N

Отсюда N = mg − ma = m(g − a). Следовательно, вес тела

P = m(g − a)

В данном случае вес тела меньше силы тяжести. При a = g (свободное падение

тела с опорой) вес тела обращается в нуль. Это — состояние невесомости, при

котором тело вообще не давит на опору.

1.12 Сила трения

Сила трения — это сила взаимодействия между соприкасающимися телами,

препятствующая перемещению одного тела относительно другого. Сила трения

всегда направлена вдоль поверхностей соприкасающихся тел. Различают два вида

трения.

1. Сухое трение. Оно возникает в зоне контакта поверхностей твёрдых тел при

отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки.

2. Вязкое трение. Оно возникает при движении твёрдого тела в жидкой или

газообразной среде или при перемещении одного слоя среды относительно другого.

Сухое и вязкое трение имеют разную природу и отличаются по свойствам.

Рассмотрим эти виды трения по отдельности.

1.12.1 Сухое трение

Сухое трение может возникать даже при отсутствии относительного

перемещения тел. Так, тяжёлый диван остаётся неподвижным при слабой попытке

сдвинуть его с места: наша сила, приложенная к дивану, компенсируется силой

трения, возникающей между диваном и полом. Сила трения, которая действует

между поверхностями покоящихся тел и препятствует возникновению движения,

называется силой трения покоя.

Почему

вообще

появляется

сила

трения

покоя?

Соприкасающиеся

поверхности

дивана

и

пола

являются

шероховатыми,

они

усеяны

микроскопическими, незаметными глазу бугорками разных форм и размеров. Эти

бугорки зацепляются друг за друга и не дают дивану начать движение. Сила трения

покоя, таким образом, вызвана силами электромагнитного отталкивания молекул,

возникающими при деформациях бугорков.

Будем плавно увеличивать силу F, приложенную к дивану. Как вам хорошо

известно, до некоторого момента диван всё ещё не поддаётся и стоит на месте. Это

означает,

что

сила

трения

покоя

возрастает

вместе

с

увеличением

внешнего

воздействия,

оставаясь

равной

по

модулю

приложенной

силе:F

тр

=

F

(рис.

15)

.Причина возрастания силы трения понятна: увеличиваются деформации бугорков и

возрастают силы отталкивания их молекул.

Рис. 15. Зависимость силы трения F

тр

от внешней силы F

Наконец, при определённой величине внешней силы диван сдвигается с места.

Это означает, что сила трения покоя достигает максимально возможного значения.

Деформации бугорков оказываются столь велики, что бугорки не выдерживают и

начинают разрушаться. Возникает скольжение.

Сила трения, которая действует между проскальзывающими поверхностями,

называется силой трения скольжения. В процессе скольжения рвутся связи между

молекулами в зацепляющихся бугорках поверхностей. При трении покоя таких

разрывов нет.

Сила трения скольжения уже не зависит от величины приложенной силы F и

остаётся постоянной (рис. 15, горизонтальный участок). Сила трения скольжения

равна максимальной силе трения покоя.

Объяснение

сухого

трения

в

терминах

бугорков

является

максимально

простым

и

наглядным.

Реальные

механизмы

трения

куда

сложнее,

и

их

рассмотрение выходит за рамки элементарной физики.

Сила

трения

скольжения,

приложенная

к

телу

со

стороны

шероховатой

поверхности, направлена противоположно скорости движения тела относительно

этой поверхности. При изменении направления скорости меняется и направление

силы трения. Зависимость силы трения от скорости — главное отличие силы трения

от сил упругости и тяготения (величина которых зависит только от взаимного

расположения тел, т. е. от их координат).

В простейшей модели сухого трения выполняются следующие законы. Они

являются обобщением опытных фактов и носят приближённый характер.

1. Максимальная величина силы трения покоя равна силе трения скольжения.

2. Абсолютная величина силы трения скольжения прямо пропорциональна

силе реакции опоры:

F

тр

= µN.

Коэффициент пропорциональности µ называется коэффициентом трения.

3. Коэффициент трения не зависит от скорости движения тела по шероховатой

поверхности.

4.

Коэффициент

трения

не

зависит

от

площади

соприкасающихся

поверхностей. Этих законов достаточно для решения задач.

Задача. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит брусок массой m

= 3 кг. Коэффициент трения µ = 0,4. К бруску приложена горизонтальная сила F.

Найти силу трения в двух случаях: 1) при F = 10 Н; 2) при F = 15 Н. Решение.

Сделаем рисунок, расставим силы.

Рис. 16. К задаче

Запишем второй закон Ньютона:

m

𝐚

⃗⃗

= m

𝒈

+

𝑵

⃗⃗⃗

+

𝑭

⃗⃗⃗

+

𝑭

⃗

⃗

⃗

тр

(1.27)

Вдоль оси Y брусок не совершает движения, a

у

= 0. Проектируя равенство

(1.27) на ось Y , получим: 0 = −mg + N, откуда N = mg.

Максимальная величина силы трения покоя (она же сила трения скольжения)

равна:

𝑭

тр

= µN = µmg = 0,4 · 3 · 10 = 12 Н.

1) Сила F = 10 Н меньше максимальной силы трения покоя. Брусок остаётся на

месте, и сила трения будет силой трения покоя: F

тр

= 10 Н.

2) Сила F = 15 Н больше максимальной силы трения покоя. Брусок начнёт

скользить, и сила трения будет силой трения скольжения: F

тр

=

12 Н.

1.12.2 Вязкое трение

Сила

сопротивления,

возникающая

при

движении

тела

в

вязкой

среде

(жидкости или газе), обладает совершенно иными свойствами.

Во-первых,

отсутствует

сила

трения

покоя.

Например,

человек

может

сдвинуть

с

места

плавающий

многотонный

корабль,

просто

потянув

за

канат.

Во-вторых, сила сопротивления зависит от формы движущегося тела. Корпус

подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму —

для уменьшения силы сопротивления. Наоборот, при движении полусферического

тела

вогнутой

стороной

вперёд

сила

сопротивления

очень

велика

(пример

—

парашют).

В- третьих, абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит

от

скорости.

При

малых

скоростях

движения

сила

сопротивления

прямо

пропорциональна скорости.

Задание №7

1.Заполнить таблицу: «Виды сил».

Название

силы

Определение

Буквенное

обозначение

Формула

для расчета

Графическое

изображение

Особенности

2.Оформить в тетради образцы решения задач.

3.Ответить на вопросы.

1) Как изменяется вес космонавта при старте ракеты, выводящей космический

корабль на орбиту?

2) В каких случаях тело находится в состоянии невесомости?

3)

Действует ли сила трения покоя на стол, стоящий на полу?

4) При каких условиях возникает деформация тела?

5) Что такое реакция опоры?

6) Первый советский искусственный спутник Земли был запущен 4 октября 1957 г.

Определите массу этого спутника, если известно, что на Земле на него действовала

сила тяжести, равная 819,3 Н.

1.13 Импульс. Закон сохранения импульса

1.13.1 Импульс тела и импульс силы

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела

на его скорость:

𝒑

⃗⃗⃗

= m

𝒗

⃗⃗⃗

Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это

просто произведение размерности массы на размерность скорости:

[p] = [m] · [v] = кг · м /с

Импульсом обладает любое движущееся тело. Так как во время движения

скорость

тела

может

меняться

под

действием

силы,

то

и

импульс

тела

тоже

изменяется:



ррррррррррррррр

=

ррррррррррррррр

2

-

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

1

= m

𝒗

⃗

⃗

⃗

2

-m

𝒗

⃗⃗⃗

1

(1.28)

(Вектор



𝒑

⃗⃗⃗

в левой части соотношения называется изменением импульса за

время ∆t. Изменение импульса тела — это разность конечного и начального

векторов импульса)

Преобразуем выражение (1.28):



р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

=

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

2

-

ррррррррррррррр

1

= m

𝒗

⃗⃗⃗

2

-m

𝒗

⃗

⃗

⃗

1

= m(

𝒗

⃗

⃗

⃗

2

-

𝒗

⃗⃗⃗

1

) (1.29)

Так как изменение скорости происходит под

действием силы, то согласно

второму закону Ньютона:

𝑭

⃗

⃗

⃗

=

m

𝒂

⃗⃗⃗

, а ускорение тела

ааааааааааааааа

=

∆

𝒗

∆

𝒕

⃗⃗⃗⃗

= (

𝒗

⃗⃗⃗

2

-

𝒗

⃗⃗⃗

1

)/



t, то

𝑭

⃗⃗⃗

=m (

𝒗

⃗⃗⃗

2

-

𝒗

⃗⃗⃗

1

)/



t

С учётом (1.29) получаем, что

𝑭

⃗⃗⃗

=



𝒑

⃗⃗⃗

/



t или

𝑭

⃗⃗⃗



t =



𝒑

⃗⃗⃗

.

Величина

𝑭

⃗⃗⃗



t называется импульсом силы. Следовательно, импульс силы

равен изменению импульса тела.

Специальной

единицы

измерения

для

импульса

силы

нет;

размерность

импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:

[F ∆t] = [F] · [t] = Н · с

Графические примеры изменения импульса тела:

1.13.2 Импульс системы тел

Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело

1 и тело 2 с импульсами

𝒑

⃗⃗⃗

1

и

𝒑

⃗

⃗

⃗

2

соответственно. Импульс

𝒑

⃗⃗⃗

системы данных тел —

это векторная сумма импульсов каждого тела:

𝒑

⃗⃗⃗

=

𝒑

⃗⃗⃗

1

+

𝒑

⃗⃗⃗

2

Тела этой системы могут взаимодействовать друг с другом, а также с другими

телами, то есть испытывать действие внешних сил.

Если система состоит из N тел, то импульс этой системы равен:

𝒑

⃗⃗⃗

=

𝒑

⃗⃗⃗

1

+

𝒑

⃗⃗⃗

2

+ . . . +

𝒑

⃗⃗⃗

N

1.13.3 Закон сохранения импульса

Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной

системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга.

Таким

образом,

в

случае

замкнутой

системы

тел

существенно

лишь

взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.

Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна

нулю:

𝑭

⃗

⃗

⃗

внеш

= 0.

Закон

сохранения

импульса.

Импульс

замкнутой

системы

тел

остаётся

постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной

системы:

𝒑

⃗⃗⃗

= const

Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной

схеме, которую мы сейчас покажем.

Задача

.

Тело массы m1 = 800 г движется со скоростью v1 = 3 м/с по гладкой

горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m2 = 200 г со

скоростью v2 = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются).

Найти скорость тел после удара.

Решение.

Ситуация

изображена

на

рис.

17.

Ось

X

направим

в

сторону

движения первого тела.

Рис. 17. К задаче

Поскольку

поверхность

гладкая,

трения

нет.

Поскольку

поверхность

горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры

уравновешивают друг друга:

m

1

𝒈

⃗⃗⃗

+

𝑵

⃗⃗⃗

1

= 0, m

2

𝒈

⃗

⃗

⃗

+

𝑵

⃗

⃗

⃗

2

= 0

Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел,

равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется

закон сохранения импульса:

𝒑

⃗

⃗

⃗

до удара

=

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

после удара

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел:

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

до удара

= m

1

𝒗

⃗

⃗

⃗

1

+ m

2

𝒗

⃗

⃗

⃗

2

После

неупругого

удара

получилось

одно

тело

массы

m1 +

m2,

которое

движется с искомой скоростью

𝒗

⃗⃗⃗

:

𝒑

⃗⃗⃗

после удара

= (m

1

+ m

2

)

𝒗

⃗

⃗

⃗

Из закона сохранения импульса имеем:

m

1

𝒗

⃗⃗⃗

1

+ m

2

𝒗

⃗

⃗

⃗

2

= (m

1

+ m

2

)

𝒗

⃗⃗⃗

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

𝒗

⃗⃗⃗

= (m

1

𝒗

⃗⃗⃗

1

+ m

2

𝒗

⃗⃗⃗

2

)/ m

1

+ m

2

)

Переходим к проекциям на ось X:

v

x

= (m

1

v

1x

+ m

2

v

2x

)/ (m

1

+ m

2

)

По условию имеем: v

1х

= 3 м/с, v

2х

= −13 м/с, так что

v

х

= 0,8 · 3 − 0,2 · 13 0,8 + 0,2 = −0,2 (м /с)

Знак минус указывает на то, что «слипшиеся» тела двигаются в сторону,

противоположную оси X. Искомая скорость: v = 0,2 м/с.

Задание №8

1.Ответить на вопросы:

1)Все ли тела обладают импульсом?

2)Может ли изменяться импульс тела?

3)В каких случаях справедлив закон сохранения импульса?

4)Что значит абсолютно упругий удар?

5)Что значит замкнутая система?

2. Решить задачу:

Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара – 30 м/с. Сила,

с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс (1мс =10

-3

с). Найти

импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

1.14 Работа и энергия

Мы

приступаем

к

изучению

энергии

—

фундаментального

физического

понятия. Но предварительно нужно разобраться с другой физической величиной —

работой силы.

1.14.1 Механическая работа

Пусть на тело действует постоянная сила

𝑭

⃗

⃗

⃗

и тело, двигаясь прямолинейно по

горизонтальной поверхности, совершило перемещение

𝑺

⃗⃗⃗

. Сила

𝑭

⃗⃗⃗

не обязательно

является непосредственной причиной перемещения (так, сила тяжести не является

непосредственной

причиной

перемещения

шкафа,

который

передвигают

по

комнате).

Предположим сначала, что векторы силы и перемещения сонаправлены (рис.

18; остальные силы, действующие на тело, не указаны).

Рис.18

В этом простейшем случае работа A определяется как произведение модуля

силы на модуль перемещения:

A = FS

Единицей измерения работы служит джоуль (Дж): Дж = Н · м. Таким образом,

если под действием силы 1 Н тело перемещается на 1 м, то сила совершает работу 1

Дж.

Работа

силы,

перпендикулярной

перемещению,

по

определению

считается

равной

нулю.

Так,

в

данном

случае

сила

тяжести

и

сила

реакции

опоры

не

совершают работы.

Пусть теперь вектор силы образует с вектором перемещения острый угол α

(рис. 19):

Рис. 19. A = F s cos α

Разложим силу

𝑭

⃗⃗⃗

на две составляющие:

𝑭

⃗⃗⃗

ll

(параллельную перемещению) и

𝑭

⊥

(перпенди

кулярную

перемещению).

Работу

совершает

только

𝑭

⃗⃗⃗

ll

.

Поэтому

для

работы силы

𝑭

⃗⃗⃗

получаем: A = F

ll

S = F

.

cos α · S. Итак,

A = F S cos α (1.29)

Если вектор силы образует с вектором перемещения тупой угол α, то работа

по-прежнему

определяется

формулой

(1.29).

В

этом

случае

работа

оказывается

отрицательной. Например, работа силы трения скольжения, действующей на тело в

рассмотренных ситуациях, будет отрицательной, так как сила трения направлена

противоположно перемещению. В этом случае имеем: α = 180◦ , cos α = −1, и для

работы силы трения получаем:

A

тр

= −F

тр

S = −µmgS,

где m — масса тела, µ — коэффициент трения между телом и опорой.

Соотношение (1.29) означает, что работа является скалярным произведением

векторов силы и перемещения: A =

𝑭

⃗⃗⃗

𝑺

⃗⃗⃗

.

1.14.2 Мощность

Часто имеет значение быстрота, с которой совершается работа. Скажем, на

практике

важно

знать,

какую

работу

сможет

выполнить

данное

устройство

за

фиксированное время.

Мощность

—

это

величина,

характеризующая

скорость

совершения

работы. Мощность N есть отношение работы A ко времени t, за которое эта работа

совершена:

N =

А

𝒕

Мощность измеряется в ваттах (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с, то есть 1 Вт — это такая

мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за 1 с.

Предположим,

что

силы,

действующие

на

тело,

уравновешены,

и

тело

движется равномерно и прямолинейно со скоростью

𝒗

⃗⃗⃗

. В этом случае существует

полезная формула для мощности, развиваемой одной из действующих сил

𝑭

⃗

⃗

⃗

.

За время t тело совершит перемещение

𝑺

⃗⃗⃗

=

𝒗

⃗

⃗

⃗

t. Работа силы

𝑭

⃗⃗⃗

будет равна:

A =

𝑭

⃗⃗⃗

𝑺

⃗⃗⃗

=

𝑭

⃗⃗⃗

𝒗

⃗

⃗

⃗

t

Отсюда получаем мощность:

N =

𝑭

⃗⃗⃗

𝒗

⃗⃗⃗

,

или N = F v cos α,

где α — угол между векторами силы и скорости.

Наиболее часто эта формула используется в ситуации, когда

𝑭

⃗⃗⃗

— «сила тяги»

двигателя автомобиля (которая на самом деле есть сила трения ведущих колёс о

дорогу). В этом случае α = 0, и мы получаем просто:

N = F v.

1.14.3 Механическая энергия

Энергия

является

мерой

движения

и

взаимодействия

любых

объектов

в

природе.

Имеются

различные

формы

энергии:

механическая,

тепловая,

электромагнитная, ядерная.

Опыт

показывает,

что

энергия

не

появляется

ниоткуда

и

не

исчезает

бесследно,

она

лишь

переходит

из

одной

формы

в

другую.

Это

самая

общая

формулировка закона сохранения энергии.

Каждый

вид

энергии

представляет

собой

некоторое

математическое

выражение. Закон сохранения энергии означает, что в каждом явлении природы

определённая сумма таких выражений остаётся постоянной с течением времени.

Измеряется энергия в джоулях, как и работа.

Механическая

энергия

является

мерой

движения

и

взаимодействия

механических объектов (материальных точек, твёрдых тел).

Мерой

движения

тела

является

кинетическая

энергия.

Она

зависит

от

скорости тела. Мерой взаимодействия тел является потенциальная энергия. Она

зависит от взаимного расположения тел.

Механическая энергия системы тел равна сумме кинетической энергии тел и

потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

1.14.4 Кинетическая энергия

Кинетической

энергией

тела

(принимаемого

за

материальную

точку)

называется величина

E

К

= mv

2

2

где m — масса тела, v — его скорость.

Кинетической энергией системы из N тел называется сумма кинетических

энергий каждого тела: Е

К

= m

1

v

1

2

/2 + m

2

v

2

2

/2 + . . .+ m

N

v

N

2

/2

Если тело движется под действием силы

𝑭

⃗⃗⃗

, то кинетическая энергия тела

меняется

со

временем.

Оказывается, изменение

кинетической

энергии

тела

за

некоторый промежуток времени равно работе силы

𝑭

⃗⃗⃗

. Покажем это для случая

прямолинейного равноускоренного движения.

Пусть

𝒗

⃗⃗⃗

1

— начальная скорость,

𝒗

⃗⃗⃗

2

— конечная скорость тела.

Выберем ось X вдоль траектории тела (и, соответственно, вдоль вектора силы

𝑭

⃗⃗⃗

).

Для работы силы

𝑭

⃗⃗⃗

получаем:

A =

𝑭

⃗⃗⃗

𝑺

⃗⃗⃗

= F

x

S

x

= ma

x

S

x

= ma

x

(v

2x

2

− v

1x

2

)/2a

x

= (mv

2x

2

– mv

1x

2

)/2

Заметим теперь, что в данном случае проекция скорости отличается от модуля

скорости разве что знаком; поэтому v

1x

2

= v

1

2

и v

2x

2

= v

2

2

.

В результате имеем:

A = (mv

2

2

– mv

1

2

)/2 =mv

2

2

/2 – mv

1

2

/2= Е

К2

–Е

К1

= ∆Е

К

Соотношение ∆Е

К

= A называется теоремой о кинетической энергии. Оно

справедливо и в самом общем случае криволинейного движения под действием

переменной силы.

Теорема о кинетической энергии: Изменение кинетической энергии тела

равно

работе,

совершённой

приложенными

к

телу

внешними

силами

за

рассматриваемый промежуток времени.

Если

работа

внешних

сил

положительна,

то

кинетическая

энергия

увеличивается (∆Е

К

> 0, тело разгоняется). Если работа внешних сил отрицательна,

то кинетическая энергия уменьшается (∆Е

К

< 0, тело замедляет движение). Пример

— торможение под действием силы трения, работа которой отрицательна.

Если же работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела за это

время

не

меняется.

Нетривиальный

пример

—

равномерное

движение

по

окружности,

совершаемое

грузом

на

нити

в

горизонтальной

плоскости.

Сила

тяжести,

сила

реакции

опоры

и

сила

натяжения

нити

всегда

перпендикулярны

скорости, и работа каждой из этих сил равна нулю в течение любого промежутка

времени. Соответственно, кинетическая энергия груза (а значит, и его скорость)

остаётся постоянной в процессе движения.

1.14.5 Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли

Рассмотрим

тело

массы

m,

находящееся

на

некоторой

высоте

над

поверхностью Земли. Высоту считаем много меньше земного радиуса. Изменением

силы тяжести в процессе перемещения тела пренебрегаем.

Если

тело

находится

на

высоте

h,

то

потенциальная

энергия

тела

по

определению равна:

Е

П

= mgh,

где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. Высоту не

обязательно отсчитывать от поверхности Земли.

Физическим смыслом обладает не сама по себе потенциальная энергия, но её

изменение. А изменение потенциальной энергии не зависит от уровня отсчёта.

Выбор нулевого

уровня потенциальной энергии в конкретной задаче диктуется

исключительно соображениями удобства.

Найдём

работу,

совершаемую

силой

тяжести

при

перемещении

тела.

Из рисунка видно, что направление векторов силы тяжести и перемещения

тела при движении по вертикальным участкам совпадают.

Работа силы тяжести в данном случае положительна.

Если подниматься вверх по любой траектории, то вектор перемещения тела

будет направлен против направления действия силы тяжести, значит работа силы

тяжести будет отрицательной.

Но

в

каждом

случае

работа

силы

тяжести

всегда

равна

изменению

потенциальной энергии с противоположным знаком (см. рис):

s cos α = h

1

– h

2

, поэтому A = mg(h

1

– h

2

) = mgh

1

– mgh

2

, или A = Е

П1

– Е

П2

Учитывая, что Е

П1

– Е

П2

= −(Е

П2

–Е

П1

) = −∆Е

П

, имеем

A = −∆Е

П

Работа силы тяжести по любому замкнутому пути равна нулю.

Сила называется консервативной, если при перемещении тела работа этой

силы

не

зависит

от

формы

траектории,

а

определяется

только

начальным

и

конечным положением тела.

Сила

тяжести,

таким

образом,

является

консервативной.

Работа

консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Только в случае

консервативной силы возможно ввести такую величину, как потенциальная энергия.

1.14.6 Потенциальная энергия деформированной пружины

Рассмотрим пружину жёсткости k. Начальная деформация пружины равна x

1

.

Предположим,

что

пружина

деформируется

до

некоторой

конечной

величины

деформации x

2

. Чему равна при этом работа силы упругости пружины? В данном

случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в

процессе

деформации

пружины.

Для

нахождения

работы

переменной

силы

требуется интегрирование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем

конечный

результат.

Оказывается,

сила

упругости

пружины

также

является

консервативной.

Её

работа

зависит

лишь

от

величин

x

1

,

x2

и

определяется

формулой: A = kx

1

2

/ 2 – kx

2

2

/ 2 . Величина

W = kx

2

/2 называется потенциальной энергией деформированной пружины

(x — величина деформации). Следовательно, A = W1 − W2 = −∆W.

1.14.7 Закон сохранения механической энергии

Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую

энергию замкнутой системы тел.

Механическая энергия E тела равна сумме его кинетической и потенциальной

энергий:

E = Е

К

+ Е

П

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и

потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. Предположим,

что

тело

совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины.

Будем считать, что трения нет.

Пусть в начальном положении кинетическая и

потенциальная энергии тела равны Е

К1

и Е

П1

, в конечном положении — Е

К2

и Е

П2

.

Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное

обозначим A.

По теореме о кинетической энергии:

Е

К2

– Е

К1

= A.

Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий:

A = Е

П1

– Е

П2

Отсюда получаем:

Е

К2

– Е

К1

= Е

П1

– Е

П2

,

или

Е

К1

+ Е

П1

= Е

К2

+ Е

П2

Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую

энергию тела в начальном и конечном положении:

E

1

= E

2

Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине

механическая

энергия

тела

остаётся

неизменной

при

отсутствии

трения.

Справедливо и более общее утверждение.

Закон

сохранения

механической

энергии.

Если

в

замкнутой

системе

действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы

сохраняется.

При

этих

условиях

могут

происходить

лишь

превращения

энергии:

из

кинетической

в

потенциальную

и

наоборот.

Общий

запас

механической энергии системы остаётся постоянным.

Задание № 9

Ответить на вопросы

:

1.

Какие силы называются консервативными?

2.

Чему равна работа консервативной силы?

3.

Какой формулой записывается работа в механике?

4.

В каком случае сила, приложенная к телу, не совершает работу?

5.

Работа какой силы всегда отрицательна?

6.

Как изменяется кинетическая энергия тела, если сила, приложенная к нему,

совершает положительную работу? Отрицательную работу?

7.

Какими видами механической энергии обладает взлетающий самолёт?

8.

Какой кинетической энергией обладает автомобиль массой 2т, движущийся со

скоростью 80км/ч?

9.

Какой потенциальной энергией обладает сосулька массой 200г, свисающая с

крыши дома на высоте 15 м?

10.

Мяч брошен с некоторой скоростью вертикально вверх. Какие превращения

энергии происходят при движении мяча?

1.15 Механические колебания

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы.

Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания

механических

систем,

или

механические

колебания

—

это

механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во

времени

и

происходит

в

окрестности

положения

равновесия.

Положением

равновесия называется такое положение системы, в котором она может оставаться

сколь угодно долго (будучи помещена в это положение в состоянии покоя).

Например,

если

маятник

отклонить

и

отпустить,

то

начнутся

колебания.

Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В

этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго.

При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться,

прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на

мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл

положение равновесия и

вернулся назад. Совершилось одно полное колебание.

Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от

положения равновесия.

Период колебаний T — это время одного полного колебания. Можно сказать,

что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний ν — это величина, обратная периоду: ν = 1/T. Частота

измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за

одну секунду.

1.15.1 Гармонические колебания

Будем

считать,

что

положение

колеблющегося

тела

определяется

одной-

единственной координатой x. Положению равновесия отвечает значение

x = 0. Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении

функции x(t), дающей координату тела в любой момент времени.

Для

математического

описания

колебаний

естественно

использовать

периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус —

являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с

широким кругом физических явлений.

Поскольку

функции

синус

и

косинус

получаются

друг

из

друга

сдвигом

аргумента на π/2, можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости

будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит

от времени по гармоническому закону:

x = A cos(ωt + α) (1.30)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная

величина

A

является

наибольшим

по

модулю

значением

координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е.

наибольшим

отклонением

от

положения

равновесия.

Поэтому

A

—

амплитуда

колебаний.

Аргумент косинуса ωt+α называется фазой колебаний. Величина α, равная

значению фазы при t = 0, называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает

начальной координате тела: x

0

= A cos α.

Величина ω называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом

колебаний T и частотой ν. Одному полному колебанию отвечает приращение фазы,

равное 2π радиан: ωT = 2π, откуда

ω = 2πT (1.31)

ω = 2πν (1.32)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (1.31) и (1.32) получаем ещё две формы записи

гармонического закона (1.30):

x = A cos (

𝟐𝝅𝒕

𝑻

+ α), x = A cos(2πνt + α).

График функции (1.30), выражающей зависимость координаты от времени при

гармонических колебаниях, приведён на рис. 20:

Рис. 20. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1.30) носит самый общий характер. Он отвечает,

например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных

действия: отклонили на величину x

0

и придали ему некоторую начальную скорость.

Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без

начальной скорости). Ясно, что в этом случае x

0

= A, поэтому можно считать α = 0.

Мы получаем закон косинуса:

x = A cos ωt

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 21.

Рис. 21. Закон косинуса

Допустим

теперь,

что

маятник

не

отклоняли,

но

ударом

сообщили

ему

начальную скорость из положения равновесия. В этом случае x

0

= 0, так что можно

считать α = −π/2. Получаем закон синуса:

x = A sin ωt

График колебаний представлен на рис. 22.

Рис. 22. Закон синуса

1.15.2 Пружинный маятник

Пружинный

маятник

—

это

закреплённый

на

пружине

груз,

способный

совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём

период

малых

горизонтальных

колебаний

пружинного

маятника

(рис.

23).

Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её

размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это

приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу m, жёсткость пружины равна k.

Координате x = 0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не

деформирована.

Следовательно,

величина

деформации

пружины

равна

модулю

координаты груза.

Рис. 23. Пружинный маятник

Если

подвесить

груз

на

пружине,

то

получится

пружинный

маятник,

совершающий колебания в вертикальном направлении (рис.24)

Рис. 24. Пружинный маятник

Период колебаний пружинного маятника T = 2π

√

𝒎

/

𝒌

1.15.3 Математический маятник

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой

нерастяжимой нити (рис. 25). Математический маятник может совершать колебания

в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 25. Математический маятник

Период колебаний математического маятника равен: T = 2π

√

𝒍

/

𝒈

,

где l - длина нити, g = 9,8 м/с

2

- ускорение свободного падения.

1.15.4 Свободные и вынужденные колебания

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно

выведена

из

положения

равновесия

и

в

дальнейшем

предоставлена

сама

себе.

Никаких периодических внешних воздействий система при этом не испытывает, и

никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе

нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников

являются примерами свободных колебаний.

Частота,

с

которой

совершаются

свободные

колебания,

называется

собственной частотой колебательной системы.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания

являются

незатухающими,

т.

е.

имеют

постоянную

амплитуду

и

длятся

неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует

трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 26).

Рис. 26. Затухающие колебания

Вынужденные

колебания

—

это

колебания,

совершаемые

системой

под

воздействием внешней силы F(t), периодически изменяющейся во времени (так

называемой

вынуждающей

силы).

Предположим,

что

собственная

частота

колебаний

системы

равна

ω0,

а

вынуждающая

сила

зависит

от

времени

по

гармоническому закону:

F(t) = F

0

cos ωt .

В

течение

некоторого

времени

происходит

установление

вынужденных

колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением

вынужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают,

и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые

также

оказываются

гармоническими.

Частота

установившихся

вынужденных

колебаний совпадает с частотой ω вынуждающей силы (внешняя сила как бы

навязывает системе свою частоту).

Амплитуда

установившихся

вынужденных

колебаний

зависит

от

частоты

вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 27.

Рис. 27. Резонанс

Мы

видим,

что

вблизи

частоты

ω

=

ω

r

наступает

резонанс

—

явление

возрастания

амплитуды

вынужденных

колебаний.

Резонансная

частота

приближённо

равна

собственной

частоте

колебаний

системы:

ω

r

≈

ω

0

,

и

это

равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии

трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, ω

r

= ω

0

, а

амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при ω → ω

0

.

1.15.5 Энергия механических колебаний. Превращение энергии.

Для механических колебаний справедлив закон сохранения энергии. В любой

момент времени сумма потенциальной и кинетической энергии колеблющегося тела

остается постоянной и равной этой сумме в любой другой момент времени.

В процессе колебаний происходит превращение потенциальной энергии в

кинетическую и обратно. В крайних точках отклонения (амплитудное значение) вся

энергия

маятника

–

потенциальная

энергия.

При

прохождении

положения

равновесия – вся энергия кинетическая, скорость маятника максимальна.

Задание № 10

1.

Каковы особенности колебательного движения?

2.

Чем отличаются свободные колебания от вынужденных?

3.

Приведите примеры колебательных систем.

4.

Какие превращения энергии происходят при колебаниях?

5.

Чему равна полная механическая энергия математического маятника в любой

момент времени?

6.

Что такое резонанс?

7.

По

графику

гармонических

колебаний

определить

амплитуду,

период

и

частоту колебаний:

8. Рассчитайте период колебаний пружинного маятника, если масса груза

200г, а жесткость пружины 8000

Н

м

.

9. Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы

период и частота колебаний?

10. Координаты пружинного маятника изменяются по закону x= 5соs2

𝝅

t

Чему равны амплитуда, период, частота, фаза колебаний. В формуле все

величины выражены в системе СИ.

1.16 Механические волны

Механические

волны

—

это

процесс

распространения

в

пространстве

колебаний

частиц

упругой

среды

(твёрдой,

жидкой

или

газообразной).

Наличие

у

среды

упругих

свойств

является

необходимым

условием

распространения волн: деформация, возникающая в каком-либо месте, благодаря

взаимодействию соседних частиц последовательно передаётся от одной точки

среды к другой. Различным типам деформаций будут соответствовать разные

типы волн.

1.16.1 Продольные и поперечные волны

Волна называется продольной, если частицы среды колеблются параллельно

направлению

распространения

волны.

Продольная

волна

состоит

из

чередующихся

деформаций

растяжения

и

сжатия.

На

рис.

1.44

показана

продольная

волна,

представляющая

собой

колебания

плоских

слоёв

среды;

направление,

вдоль

которого

колеблются

слои,

совпадает

с

направлением

распространения волны (т. е. перпендикулярно слоям).

Рис. 28. Продольная волна

Волна

называется

поперечной,

если

частицы

среды

колеблются

перпендикулярно

направлению

распространения

волны.

Поперечная

волна

вызывается деформациями сдвига одного слоя среды относительно другого. На

рис.

29

каждый

слой

колеблется

вдоль

самого

себя,

а

волна

идёт

перпендикулярно слоям.

Рис. 29. Поперечная волна

Продольные

волны

могут

распространяться

в

твёрдых

телах,

жидкостях и газах: во всех этих средах возникает упругая реакция на сжатие,

в результате которой появятся бегущие друг за другом сжатия и разрежения

среды.

Однако жидкости и газы, в отличие от твёрдых тел, не обладают

упругостью по отношению к сдвигу слоёв. Поэтому поперечные волны могут

распространяться в твёрдых телах, но не внутри жидкостей и газов .

Важно

отметить,

что

частицы

среды

при

прохождении

волны

совершают колебания вблизи неизменных положений равновесия, т. е. в

среднем остаются на своих местах. Волна, таким образом, осуществляет

перенос энергии, не сопровождающийся переносом вещества.

Наиболее просты для изучения гармонические волны. Они вызываются

внешним воздействием на среду, меняющимся по гармоническому закону.

При

распространении

гармонической

волны

частицы

среды

совершают

гармонические колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия.

Гармоническими волнами мы в дальнейшем и ограничимся.

Рассмотрим

процесс

распространения

волны

более

подробно.

Допустим,

что

некоторая

частица

среды

(частица

1)

начала

совершать

колебания с периодом T. Действуя на соседнюю частицу 2, она потянет её за

собой. Частица 2, в свою очередь, потянет за собой частицу 3 и т. д. Так

возникнет

волна,

в

которой

все

частицы

будут

совершать

колебания

с

периодом T.

Однако

частицы

имеют

массу,

т.

е.

обладают

инертностью.

На

изменение их скорости требуется некоторое время. Следовательно, частица 2

в своём движении будет несколько отставать от частицы 1, частица 3 будет

отставать от частицы 2 и т. д. Когда частица 1 спустя время T завершит

первое колебание и начнёт второе, своё первое колебание начнёт частица N +

1, находящаяся от частицы 1 на некотором расстоянии λ.

Итак, за время, равное периоду колебаний частиц, возмущение среды

распространяется на расстояние λ. Это расстояние называется длиной волны.

Колебания частицы N + 1 будут идентичны колебаниям частицы 1, колебания

следующей частицы N + 2 будут идентичны колебаниям частицы 2 и т. д.

Колебания как бы воспроизводят себя на расстоянии λ. Поэтому длину волны

λ

можно

назвать

пространственным

периодом

колебаний;

наряду

с

временным периодом T она является важнейшей характеристикой волнового

процесса.

В продольной волне длина волны равна расстоянию между соседними

сжатиями или разрежениями (рис. 28). В поперечной — расстоянию между

соседними горбами или впадинами (рис. 29). Вообще, длина волны равна

расстоянию

(вдоль

направления

распространения

волны)

между

двумя

ближайшими частицами среды, колеблющимися одинаково (т. е. с разностью

фаз, равной 2π).

Скоростью

распространения

волны

называется

отношение

длины

волны к периоду колебаний частиц среды:

v = λ /T

Частотой волны называется частота колебаний частиц:

ν = 1/ T

Отсюда получаем связь скорости волны, длины волны и частоты:

v = λν (1.33)

1.16.2 Звук

Звуковыми

волнами

в

широком

смысле

называются

всякие

волны,

распространяющиеся в упругой среде. В узком смысле звуком называют

звуковые волны в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц, воспринимаемые

человеческим ухом. Ниже этого диапазона лежит область инфразвука, выше

— область ультразвука.

К основным характеристикам звука относятся громкость и высота.

Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления в звуковой

волне и измеряется в специальных единицах — децибелах (дБ).

Так, громкость 0 дБ является порогом слышимости, 10 дБ — тиканье

часов, 50 дБ — обычный разговор, 80 дБ — крик, 130 дБ — верхняя граница

слышимости (так называемый болевой порог).

Тон — это звук, который издаёт тело, совершающее гармонические

колебания

(например,

камертон

или

струна).

Высота

тона

определяется

частотой этих колебаний: чем выше частота, тем выше нам кажется звук. Так,

натягивая струну, мы увеличиваем частоту её колебаний и, соответственно,

высоту звука.

Скорость звука в разных средах различна: чем более упругой является

среда, тем быстрее в ней распространяется звук. В жидкостях скорость звука

больше, чем в газах, а в твёрдых телах — больше, чем в жидкостях.

Например, скорость звука в воздухе при 0



С равна примерно 340 м/с

(её

удобно

запомнить

как

«треть

километра

в

секунду»).

В

воде

звук

распространяется со скоростью около 1500 м/с, а в стали — около 5000 м/с.

Заметим, что частота звука от данного источника во всех средах одна и

та

же:

частицы

среды

совершают

вынужденные

колебания

с

частотой

источника звука. Согласно формуле (1.68) заключаем тогда, что при переходе

из

одной

среды

в другую

наряду

со

скоростью

звука

изменяется

длина

звуковой волны.

Задание №11

1.

Как связана волна с колебаниями?

2.

Чем отличаются продольные волны от поперечных?

3.

Перечислите основные характеристики волны.

4.

Переносит ли волна вещество при своём распространении?

5.

Найдите длину волны по графику:

6.

Что такое звук?

7.

В каких веществах скорость звука наибольшая?

8.

Меняется

ли

скорость

звука

при

его

переходе

из

одной

среды

в

другую?

9.

Чем

определяется

громкость

звука?

В

каких

единицах

измеряется

громкость звука?