Неровнота продуктов прядения

Автор: Бондарчук Марина Михайловна
Должность: к.т.н., доцент, ио Директора Текстильного института
Учебное заведение: ФГБОУ ВО РГУ им. А.Н. Косыгина
Населённый пункт: Москва
Наименование материала: Учебное пособие
Тема: Неровнота продуктов прядения
Раздел: высшее образование

НЕРОВНОТА ПРОДУКТОВ ПРЯДЕНИЯ

Сборник задач

М.М.Бондарчук

Сборник задач по теме «Неровнота продуктов прядения» предназначен

для студентов, обучающихся по направлению 29.03.02 Технологии и проекти-

рование текстильных изделий.

Сборник задач содержит основные сведения по теории и методику реше-

ния задач по оценке величины неровноты продуктов по их свойствам, расчету

индекса и уровня неровноты продуктов прядения по линейной плотности.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕНЕРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЫБОРОЧНЫХ

Генеральной совокупностью объектов (изделий, элементов, членов) назы-

вают бесконечное множество объектов, которые получены в одинаковых усло-

виях и подлежат оценке методами математической статистики.

Признаком статистической совокупности объектов является то или иное свой-

ство, характеризующее все объекты совокупности.

Признаки могут быть количественными и качественными.

Реальная совокупность состоит из конечного числа объектов (изделий), изго-

товленных в одинаковых производственных условиях из одинакового материа-

ла.

Для оценки генеральной совокупности объектов методами математиче-

ской статистики используют выборочную совокупность, получаемую при испы-

тании образцов (проб) из выборки небольшого объема.

Выборка – реальная совокупность образцов, взятых для контроля.

Способы выборки:

одноступенчатый однократный – из партии материала отбирают только одну

выборку и проводят измерения

образцов;

одноступенчатый многократный – из одной партии материала отбирают

вы-

борок и в каждой выборке проводят

измерений, т.е. всего проводят

ис-

пытаний;

многоступенчатый (двух-, трех-, четырехступенчатые) – при испытаниях сово-

купности, состоящей из частей или групп, в свою очередь подразделяемых на

еще более мелкие части.

Кроме того, применяют и другие способы выборки: с возвратом отобранных

образцов перед выбором следующего или без возврата его в генеральную сово-

купность.

1.1.

Сводные выборочные характеристики параметров нормального

распределения

1.1.1. Генеральное среднее и выборочное среднее

Несмещенной оценкой для генеральной средней

является выборочная

средняя

рассчитанная по формуле

(1.1)

где



совокупность первичных результатов испытаний;

–

число испытаний в выборке.

1.1.2. Среднее квадратическое отклонение

Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения

генеральной

совокупности определяется по формуле

(1.2)

где

– множитель, зависящий от числа степеней свободы

если параметр

неизвестен;

, если параметр

известен;

Таблица 1.1

Значения

1,253

1,128

1,085

1,064

1,051

1,042

1,036

1,032

1,028

1,025

1,023

1,021

1,019

1,018

1,017

1,016

1,015

1,014

1,013

1,010

1,008

1,007

1,006

1,005

1,004

– эмпирическая оценка среднего квадратического отклонения, вычис-

ляемая

при неизвестной генеральной средней

по формуле

(1.3)

при известной генеральной средней

по формуле

(1.4)

Усредненная для многих выборок величина

соответствует ориентировочно

среднему квадратическому отклонению



для партии материала.

Выборочная дисперсия

является несмещенной оценкой

и в среднем соот-

ветствует по уровню дисперсии

для всей партии материала

(1.5)

Квадратическая неровнота материала генеральной совокупности характеризу-

ется смещенной

и (или) несмещенной

оценками

(1.6.1)

(1.6.2)

Пример 1. При взвешивании десяти однометровых отрезков ленты определены

следующие их массы, г: 4,14; 4,25; 3,95; 3,88; 3,75; 3,69; 3,80; 3,90; 4,15; 4,29.

Распределение масс следует закону нормального распределения. Вычислить

выборочные характеристики: среднюю

среднее квадратическое отклонение

и квадратическую неровноту

Решение

Несмещенной оценкой генеральной средней

нормального распределе-

ния является выборочное среднее, определяемое по формуле (1.1),

Выборочную характеристику

определяют по формуле (1.3)

а затем рассчитывают несмещенную оценку

среднего квадратического откло-

нения по формуле (1.2), приняв поправку

при

по таблице

1.1,

Квадратическая неровнота в выборке:

смещенная оценка по формуле (1.6.1)

несмещенная оценка по формуле (1.6.2)

Пример 2. Для определения неровноты по массе отрезков длиной 1 м лен-

ты проведено 60 измерений (

). Вычислить характеристики выборки, ис-

пользуя метод произведений.

Решение

По максимальному и минимальному значениям результатов наблюдений со-

ставлена таблица распределения их с классовым интервалом 0,05 мм и средни-

ми значениями классов.

Среднее

значение массы

(класса), г

Частота

Условное

отклонение

4,20

4,15

4,10

4,05

4,0

3,95

3,90

3,85

3,80

3,75



142

Выборочное среднее, являющееся несмещенной оценкой генеральной средней,

вычисляют по формуле

где

– среднее значение класса с

;

– интервал соответствующих гра-

ниц (или средних значений) смежных классов; в примере

г;



алгебраическая сумма чисел столбца;

– условный момент;

– общее число измерений

Тогда выборочное среднее

г.

Смещенная оценка среднего квадратического отклонения по первичным ре-

зультатам выборки

где

– условный момент;

Смещенная оценка среднего квадратического отклонения по формуле (1.3)

Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения согласно фор-

муле (1.2)

Квадратическая неровнота материала партии, %:

смещенная оценка по формуле (1.6.1)

несмещенная оценка по формуле (1.6.2)

1.2 Доверительные интервалы оценок параметров нормального

распределения. Объем выборки

Всякая статистическая оценка параметра, определенная по результатам выбор-

ки, может быть только приближенной. Поэтому она имеет определенный смысл

лишь при указании границ возможной погрешности оценки. Эти границы обра-

зуют доверительный интервал, про который с принимаемой вероятностью

можно утверждать, что он показывает значение оцениваемого параметра гене-

ральной совокупности.

В зависимости от задачи анализа вычисляют односторонние и (или) двусто-

ронние доверительные интервалы.

При несимметричном доверительном интервале для оценки его границ исполь-

зуют односторонние доверительные вероятности

Двусторонний доверительный интервал вычисляют при двусторонней довери-

тельной вероятности

Доверительные вероятности связаны соотношениями:

(1.7)

при

(1.8)

Доверительный интервал имеет нижнюю и верхнюю границы вероятного нахо-

ждения внутри них генеральных характеристик.

1.2.1. Доверительный интервал и ошибка среднего. Объем выборки

при определении среднего

Последовательность расчета:

вычисляют выборочное среднее

по формуле (1.1) и выборочное среднее

квадратическое отклонение по формуле (1.3) при объеме

выборки;

определяют по таблице 1.2 в соответствии с

квантиль

и (или)

рас-

пределения Стьюдента при

или



квантиль нормального рас-

пределения при

(в таблице 1.2

);

вычисляют нижнюю доверительную границу

для генеральной средней:

при

(1.9)

при

(1.9.1)

вычисляют верхнюю доверительную границу

для генеральной средней при

(1.10)

при

(1.10.1)

где



соответственно нижняя и верхняя абсолютные ошибки сред-

него, которые можно ожидать с односторонней доверительной вероятностью

соответственно

Абсолютная ошибка среднего при

для одностороннего доверительного

интервала

(1.11)

Относительная ошибка среднего, %,

(1.12)

где



квантили распределения Стьюдента, определяемые по таблице

1.2, при оценке генерального среднего по данным выборки.

Значения

для значений

, не указанных в таблице 1.2, определяют путем

линейной интерполяции по

(1.13)

где

для

при линейной интерполяции имеет место соотношение

(1.14)

где



квантиль нормального распределения, соответствующий односто-

ронней доверительной вероятности

При большем объеме выборки

при доверительной вероятности

или

квантиль

в соответствии с формулами

(1.11) и (1.12):

абсолютная доверительная ошибка среднего значения

(1.15)

относительная доверительная ошибка, %,

(1.16)

Статистическая надежность

того, что среднее значение

генеральной

совокупности окажется в соответствующей односторонней области рассеива-

ния средних значений

отдельных исследованных выборок (серий измере-

ний):

(1.17)

Нижняя

и верхняя

доверительные границы образуют доверитель-

ный интервал для генерального среднего при двусторонней доверительной ве-

роятности

, где

определяют по формуле (1.7).

Если принята двусторонняя доверительная надежность

и задано равенство

односторонних надежностей

, значения

вычисляют по формуле (1.8).

Статистическая надежность

того, что среднее значение

генеральной сово-

купности окажется в двусторонней области рассеивания средних значений

исследованных выборок выражается условием

(1.18)

Такая вероятность связана с границами

интервала, которые определяют-

ся случайностью выборки, а не числовым значением параметра

, которое не

может быть случайным. На самом деле, если



постоянная величина, то не-

равенство (1.18) или достоверно, когда параметр

лежит в интервале, т.е. име-

ет вероятность, равную 1, или невозможно, когда

лежит вне интервала нера-

венства (1.18), т.е. имеет место вероятность 0.

Если в выборке получено определенное значение

, то все значения

можно

разделить на две категории. К первой категории можно отнести такие значения

, для которых соответствующие интервалы

покрывают полученное значе-

ние

(1.19)

ко второй категории – те значения

, для которых указанные интервалы не со-

держат

Значения

первой категории можно назвать согласующимися с данными вы-

борки, а значения

второй категории – не согласующимися с этими данными.

Интервал

представляют собой область, попадание в которую

гарантируется заданным уровнем вероятности, т.е. область при данном

практически возможных значений

с данным уровнем статистической надеж-

ности.

При малом объеме выборки

для определения среднего значения нор-

мального распределения совокупности вычисляют ошибки по приближенным

формулам:

абсолютная доверительная ошибка среднего значения

(1.20)

относительная доверительная ошибка среднего значения, %,

(1.21)

где



квантиль распределения Стьюдента случайной величины,

определяемый по таблице 1.2.

Таблица 1.2

Квантили распределения при односторонней

и двусторонней

доверительной вероятности

Квантиль

распределения Стьюдента при односторонней доверительной

вероятности

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,9990

100

200

1,3751

1,061

0,978

0,941

0,833

0,861

0,854

0,851

0,849

0,848

0,845

0,843

3,078

1,886

1,638

1,533

1,383

1,328

1,311

1,303

1,298

1,296

1,290

1,286

6,314

2,920

2,353

2,132

1,833

1,729

1,699

1,684

1,676

1,671

1,660

1,653

12,71

4,303

3,182

2,776

2,262

2,093

2,045

2,021

2,009

2,0

1,984

1,972

31,82

6,965

4,541

3,747

2,821

2,539

2,462

2,423

2,403

2,390

2,364

2,345

63,66

9,925

5,841

4,604

3,250

2,861

2,756

2,704

2,678

2,660

2,626

2,601

127,3

14,09

7,453

5,598

3,690

3,174

3,038

2,971

2,937

2,915

2,871

2,838

318,3

22,33

10,21

7,173

4,297

3,579

3,396

3,307

3,261

3,232

3,174

3,131

Квантиль

нормального распределения при двусторонней доверительной

вероятности

0,60

0,80

0,90

0,95

0,98

0,99

0,995

0,998

0,842

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

2,807

3,090

При малом объеме выборки с доверительной надежностью

можно утвер-

ждать, что истинное среднее значение нормально распределенной случайной

величины

заключено в симметричном доверительном интервале

т.е.

(1.22)

где значение

(1.23)

может быть вычислено при любых n и заданной доверительной вероятности

либо при

; число

может быть найдено по таблицам [приложение 6].

Доверительный объем измерений в соответствии с заданной относительной

ошибкой

и доверительной вероятностью

при определении среднего значе-

ния нормальной генеральной совокупности определяются по формулам:

для большой выборки

(1.24)

для малой выборки при

(1.25)

а при

можно

определять по таблице [3, приложение 6].

Пример 3. По результатам

испытаний рассчитана выборочная ха-

рактеристика

г и выборочное среднее квадратическое отклонение

г. Вычислить абсолютную

, г, и относительную

, %, ошибки вы-

борки и двусторонний доверительный интервал для генеральной средней при

двусторонней доверительной вероятности

Решение

Доверительная ошибка

выборки для оценки генеральной средней

при выборочной

определяется по формуле (1.15) с заменой квантиля

кван-

тилем

нормального распределения из таблицы 1.2.

При равенстве односторонних доверительных вероятностей

согласно

формуле (1.8)

Для

находят по приложению 1

Абсолютная ошибка выборки для оценки

по формуле (1.11)

г.

Относительная ошибка для оценки

по формуле (1.12)

Нижняя граница доверительной области по формуле (1.9.1)

г,

верхняя граница доверительной области по формуле (1.10.1)

г,

а двусторонний доверительный интервал I при статистической надежности

Пример 4. По результатам взвешивания 60 отрезков ленты

опреде-

лены выборочные характеристики: средняя

= 4 г и среднее квадратическое

отклонение

г. Вычислить при двусторонней доверительной вероятности

доверительный интервал и ошибки выборки для оценки генеральной

средней.

Решение

При симметричном доверительном интервале для генеральной средней

нахо-

дят одностороннюю доверительную вероятность

Так как генеральная дисперсия

неизвестна, то доверительную ошибку

среднего

определяют, используя квантиль распределения Стьюдента. В

таблице 1.2 для

не приведена величина

Поэтому

квантиль вычисляют, используя линейную интерполяцию, по формуле (1.13)

Абсолютная ошибка определения средней

по формуле (1.11)

г.

Относительная ошибка выборки для оценки параметра

по формуле (1.12)

Двусторонний доверительный интервал для оценки параметра

по формуле

(1.18)

Пример 5. По результатам

испытаний в малой выборке из нормально рас-

пределенной совокупности масс отрезков ленты рассчитаны выборочные харак-

теристики: средняя

= 3,98 г и среднее квадратическое отклонение

г.

Вычислить доверительный интервал и ошибки для генеральной средней при

двусторонней доверительной вероятности

Решение

Односторонняя доверительная вероятность при условии

по формуле

(1.8)

Доверительные ошибки выборки для оценки параметра

при неизвест-

ной генеральной дисперсии вычисляют по формуле (1.11), в которой квантиль

распределения Стьюдента

, определяемый по приложению 1,

Абсолютная ошибка

г.

Относительная ошибка по формуле (1.12)

Двусторонняя доверительная вероятность того, что интервал в пределах дове-

рительных границ будет накрывать значение параметра

, равна

Пример 6. По девяти пробам определена средняя эффективность очистки хлоп-

ка чесальной машиной

и квадратическая неровнота определяемого по-

казателя эффективности очистки

. Вычислить абсолютную

и отно-

сительную

доверительные ошибки среднего значения

, а также его дове-

рительные интервалы при двусторонней доверительной вероятности

Решение

Для вычисления

используем формулы (1.20) и (1.21), в которых квантиль рас-

пределения Стьюдента по приложению 1 равен

Доверительный интервал средней эффективности очистки по формуле

(1.22), %,

Необходимое число проб для определения эффективности очистки при

, т.е. при

по формуле (1.25)

проб.

1.2.2. Доверительный интервал и ошибка среднего квадратического

отклонения. Объем выборки при определении среднего квадратического

отклонения

Доверительные границы интервала для среднего квадратического отклонения

по выборке объема

определяются следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность

;

вычисляют выборочную смещенную оценку

по формуле (1.3);

определяют коэффициент

для

по таблице 1.2 или, если

, вычисляют по формуле

(1.26)

задают одностороннюю доверительную вероятность

;

определяют коэффициент

для

по таблице 1.3 или, если

, вычисляют по формуле

(1.27)

где

– квантили нормального распределения, определяемые из та-

блицы 1.2 при

и односторонних доверительных вероятностях соот-

ветственно

Значения

для

, которые не приведены в таблице 1.3, могут

быть получены путем линейной интерполяции значений

по

(1.28)

где

вычисляют нижнюю

и верхнюю

доверительные границы для

по

формулам:

нижняя доверительная граница параметра

(1.29)

верхняя доверительная граница параметра

(1.30)

Вероятность нахождения среднего квадратического отклонения

в пределах

доверительных границ

определяется по формулам

(1.31)

Вероятность того, что в двусторонний доверительный интервал входит величи-

на

выражается формулой

(1.32)

Доверительные границы для дисперсии

равняются квадратам доверитель-

ных границ для среднего квадратического отклонения

(1.33)

(1.34)

Доверительные ошибки при определении

вычисляют:

при

по формулам:

абсолютная доверительная ошибка выборки

(1.35)

относительная доверительная ошибка выборки, %

(1.36)

при

по формулам:

абсолютная доверительная ошибка нижней и верхней границ интервала

(1.37)

относительная доверительная ошибка нижней и верхней границ интерва-

ла, %,

(1.38)

Доверительный объем выборки при определении

(1.39)

при

или

по таблице 1.2 квантиль

при

или

квантиль

Пример 7. В генеральной совокупности нормально распределенных масс отрез-

ков определена масса каждого из 60 отобранных отрезков, по которым установ-

лены выборочные характеристики: средняя масса

и среднее квадратиче-

ское отклонение

г. Вычислить с двусторонней доверительной вероятно-

стью

доверительный интервал для генерального

Решение

Так как

, то, согласно стандарту [12], границы доверительного интер-

вала среднего квадратического отклонения



вычисляют по формулам (1.29) и

(1.30) с выбором коэффициентов

по таблице 1.3, входом в которую яв-

ляются односторонняя доверительная вероятность

По формуле (1.8) вычисляют

Величина

В таблице 1.3 не даны значения

для

поэтому, интерполируя их по формуле (1.28), получают

Нижняя

и верхняя

доверительные границы интервала для

по форму-

лам (1.29) и (1.30)

г.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

по фор-

муле (1.32)

Доверительный интервал для дисперсии

по формуле (1.34)

Таблица 1.3

Значения

для расчета границ доверительного интервала

при оценке среднего

квадратического отклонения

При односторонней доверительной вероятности

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

100

0,788

0,804

0,817

0,859

0,891

0,907

0,919

0,932

0,946

2,12

1,73

1,56

1,29

1,18

1,14

1,11

1,09

1,07

0,659

0,693

0,717

0,782

0,836

0,859

0,879

0,898

0,919

3,08

2,27

1,94

1,47

1,27

1,22

1,17

1,14

1,10

0,578

0,620

0,649

0,729

0,794

0,823

0,847

0,871

0,897

4,42

2,92

2,37

1,65

1,37

1,29

1,23

1,18

1,13

0,521

0,566

0,599

0,688

0,760

0,794

0,821

0,849

0,879

6,28

3,73

2,87

1,83

1,46

1,35

1,28

1,22

1,16

0,466

0,514

0,549

0,645

0,725

0,762

0,792

0,824

0,858

9,97

5,11

3,67

2,08

1,58

1,44

1,34

1,27

1,19

0,434

0,483

0,519

0,618

0,702

0,741

0,774

0,808

0,845

14,13

6,47

4,40

2,28

1,67

1,50

1,39

1,30

1,22

0,408

0,457

0,493

0,594

0,681

0,723

0,757

0,793

0,832

19,98

8,19

5,20

2,49

1,75

1,56

1,43

1,33

1,24

0,380

0,420

0,465

0,568

0,658

0,702

0,738

0,776

0,818

31,60

11,10

6,64

2,79

1,87

1,64

1,49

1,37

1,27

Пример 8. Решить задачу примера 7 при условии, что выборочные характери-

стики вычисляют по результатам

измерений.

Решение

Так как

то для расчета коэффициентов

используют

формулы (1.26) и (1.27)

где

Нижняя

и верхняя

границы доверительного интервала для

;

г;

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения в генераль-

ной совокупности

по формуле (1.32)

Доверительный интервал для дисперсии

по формуле (1.34)

1.2.3. Доверительный интервал и ошибка квадратической неровноты.

Объем выборки при определении квадратической неровноты

При выборке

из нормальной генеральной совокупности для определения

квадратической неровноты

рассчитывают доверительные ошибки этого по-

казателя:

абсолютную по формулам

при

(1.40)

при С < 30 %;

(1.41)

относительную по формуле

(1.42)

Из формул (1.40) и (1.42) находят доверительный объем выборки при определе-

нии

при С



20 %;

(1.43)

при С > 20 %.

(1.44)

Пример 9. При предварительном испытании ленты найдены ее выборочные характе-

ристики: средняя масса однометрового отрезка ленты

г/м, среднее квад-

ратического отклонение

г/м. Вычислить число испытаний,

соответственно для оценки генеральных характеристик

с относи-

тельными ошибками

, не превышающими: а) 2 % и б) 5 %, при дву-

сторонней доверительной вероятности

Решение

Для расчета необходимого числа испытаний необходимо предварительно опре-

делить по таблице 1.3 квантиль (абсциссу) нормального распределения при од-

носторонней доверительной вероятности

В таблице 1.2 при

или при

находят

Вычисляют квадратическую неровноту ленты в выборке

Доверительный объем выборки, число испытаний:

для оценки

по формуле (1.24)

а)

б)

для оценки

по формуле (1.39)

а)

б)

для оценки

по формуле (1.44)

а)

б)

1.3. Оценка партии материала по двухступенчатой выборке

Составной, или общей, совокупностью называется статистическая совокуп-

ность, полученная соединением (смешиванием) нескольких частных совокупно-

стей с одним и тем же признаком (длина, толщина, разрывная нагрузка волокон

смеси, масса отрезков продукта с разных паковок, машины и т.п.), распределе-

ние которого (частоты) в разных паковках может быть, вообще говоря, неоди-

наковым.

Пусть, партия материала состоит из

паковок единиц продукции, и макси-

мально возможное число испытаний по каждой паковке

. При двухступенча-

той выборке отбирают число паковок

и по каждой паковке делают число

измерений

, получая первичные данные, используемые для последующих

расчетов:

Паковка

Результаты испытаний по отдельным паковкам

Среднее

по каждой паковке

1-я

2-я

….

i-я

….

z-я

, х

,…, х

, х

,…, х

…………………….

, x

,…х

,…x

……………………..

., х

,…, х

….

при i = 1, 2,…, z; j = 1, 2,…, n

Выборочное среднее каждой паковки

(1.45)

Общее выборочное среднее из Z паковок

(1.46)

Внутренняя смещенная дисперсия каждой паковки

(1.47)

Средняя смещенная внутренняя дисперсия для всех Z паковок

(1.48)

Средняя внутрипаковочная несмещенная дисперсия, примерно равная средней

внутренней дисперсии всей совокупности, рассчитывается по формуле

(1.49)

при

принимают

тогда

(1.50)

Межпаковочная смещенная дисперсия выборочных средних каждой паковки

(1.51)

Межпаковочная несмещенная дисперсия, соответствующая дисперсии гене-

ральных средних,

(1.52)

а при

(1.53)

Если

получается отрицательной, необходимо повторно определить

при большем числе испытаний

и паковок

Общая выборочная дисперсия, являющаяся оценкой дисперсии всей партии,

(1.54)

а квадратическая неровнота, %,

(1.55)

Для определения доверительного интервала среднего

для всей партии мате-

риала вначале вычисляют ошибку

выборки по формуле

(1.56)

при

принимают

При

можно использовать формулу

(1.57)

С вероятностью

при нормальном распределении и

для любого

распределения первичных результатов определяют двусторонний доверитель-

ный интервал среднего показателя

для всей партии материала

(1.58)

Число паковок

при числе испытаний

по каждой паковке и доверительной

ошибке

или

, %, определяют по формуле

(1.59)

Пример 10. Поточная линия кипа – лента выпускает ленту десятью че-

сальными машинами. Для определения квадратической неровноты лент отбира-

лось по одному тазу с лентой, выпускаемой каждой чесальной машиной. Из

ленты каждого таза нарезали по 10

однометровых отрезков ленты, т.е.

общее число отрезков равнялось 100

. Распределение масс отрезков

приведено в таблице.

Масса отрезков длиной 1 м чесальной ленты является случайной величи-

ной, приближенно следующей закону нормального распределения.

Рассчитать характеристики распределения масс отрезков ленты 10 чесальных

машин поточной линии и доверительный интервал для генеральной средней

массы при доверительной вероятности

Масса отрез-

ков лент в

группе, г

Число отрезков (частота) лент i-й машины

Всего

отрезков

со всех

машин

в классе

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

5,00…5,09

4,90…4,99

4,80…4,89

4,70…4,79

4,60…4,69

4,50…4,59

4,40…4,49

4,30…4,39

4,20…4,29

4,10…4,19

4,00…4,09

3,90…3,99

3,80…3,89

3,70…3,79

–

Объем

выборки

100

Выборочная

средняя

4,695

4,675

4,655

4,605

4,525

4,515

4,455

4,465

4,455

4,195

= 4,524

Решение

Принимая

равным среднему значению границ соответствующего класса рас-

пределения первичных результатов, рассчитывают для первой паковки (таза 1-й

машины):

выборочное среднее для

отрезков ленты таза 1-й машины

по формуле

(1.45)

г;

внутренняя (внутрипаковочная) смещенная оценка дисперсии

для

ленты таза 1-й машины по формуле (1.47)

;

внутренняя (внутрипаковочная) смещенная оценка среднего квадратического

отклонения в ленте каждой из

паковок по формуле

квадратическая неровнота масса отрезков лент каждой паковки (таза)

для ленты таза 1-й машины

г;

квадратическая неровнота ленты таза 1-й машины

общее выборочное среднее из Z = 10 паковок по формуле (1.46)

Аналогично выполняют расчет характеристик выборки для ленты из па-

ковок (тазов) остальных девяти машин:

Номер машины

, г

, %

1-я

2-я

3-я

4-я

5-я

6-я

7-я

8-я

9-я

4,695

4,675

4,655

4,605

4,525

4,515

4,455

4,365

4,455

24,20

22,30

15,70

31,60

26,20

22,31

31,49

45,17

44,76

0,1556

0,1490

0,1250

0,1778

0,1619

0,1494

0,1774

0,2125

0,2116

3,31

3,20

2,69

3,86

3,58

3,30

3,98

4,87

4,75

10-я

4,195

60,87

0,2466

5,88

средняя внутрипаковочная смещенная выборочная дисперсия для всех

паковок по формуле (1.48)

средняя внутрипаковочная несмещенная дисперсия при

по формуле

(1.49)

межпаковочная смещенная дисперсия выборочных средних каждой паковки по

формуле (1.51)

;

межпаковочная несмещенная дисперсия, соответствующая дисперсии генераль-

ных средних при

, а

по формуле (1.53)

;

общая выборочная дисперсия для лент всех десяти машин по формуле (1.54)

;

квадратическая неровнота ленты поточной линии по формуле (1.55)

Ошибка

выборки среднего, вычисленная по формуле (1.57),

г.

Относительная ошибка оценки генерального среднего

Для уменьшения относительной ошибки оценки генерального среднего необхо-

димо вычислять эту ошибку при

, т.е. при

г, с числом испы-

таний

для каждой паковки при числе

паковок, определяемом по формуле

(1.59)

тазов,

а при

число

паковок возрастает до

таза.

Задачи 1.1…1.23

Сводные выборочные характеристики параметров нормального

распределения

1.1. При выборке из 16 испытаний определены массы

, г, отрезков про-

дукта, приведенные в таблице.

Рассчитать выборочные характеристики: среднюю

несмещенные оцен-

ки среднего квадратического отклонения

и квадратической неровноты

ис-

пользуя метод сумм.

Номер отрезка в опыте

Масса отрезков

, г, по вариантам

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

3,15

3,25

2,95

2,88

2,75

2,70

3,30

3,15

2,95

2,85

3,15

2,70

2,80

2,90

2,80

3,10

5,60

5,80

5,30

4,95

4,86

5,95

4,80

5,65

5,35

5,15

5,65

4,85

5,05

5,25

5,08

5,55

16,0

16,9

16,8

16,4

16,5

16,9

15,9

17,0

17,1

16,0

16,8

17,1

16,6

17,5

17,6

100

104

100

108

112

110

106

102

9,8

10,1

11,1

10,2

10,5

10,1

11,2

11,6

10,6

9,9

9,8

11,9

11,3

10,7

11,3

9,7

4,6

4,3

4,8

3,8

3,86

4,6

4,8

4,3

4,7

4,2

4,3

4,6

3,8

4,9

3,8

3,9

2,9

2,7

2,8

3,1

2,7

2,8

3,2

3,1

2,8

3,1

2,9

3,3

2,8

2,9

3,1

8,4

8,6

8,2

9,0

9,4

7,8

8,6

8,2

8,6

8,2

10,2

9,8

8,6

9,0

8,6

9,0

155

154

158

159

150

160

165

158

162

156

152

161

163

149

150

8,0

8,4

8,6

8,3

8,7

8,8

8,0

8,4

8,5

8,2

8,3

8,4

7,8

8,5

8,8

27,5

25,4

26,8

26,5

24,0

27,0

27,7

28,2

26,5

28,4

25,3

27,8

24,6

27,6

26,5

24,7

10,4

9,6

10,0

10,8

9,2

9,6

10,3

9,3

10,2

9,6

10,7

9,8

9,4

9,2

10,3

3,3

4,6

4,3

4,2

4,6

3,8

4,1

4,3

4,1

4,5

3,8

3,9

3,7

3,8

4,1

1.2. Решить задачу 1.1, используя метод произведений.

1.3. Рассчитать квадратическую неровноту ленты по вариантам (см. та-

блицу). В расчете использовать метод произведений.

Ордината

диаграммы

толщины

Число

ординат соответствующей группы толщины по вариантам

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–

1.4. Решить задачу 1.3, используя метод сумм.

1.5. Рассчитать характеристику выборки при исследовании степени раз-

мельчения смеси волокон: выборочную среднюю массу клочка

среднее квад-

ратическое отклонение

и квадратическую неровноту

массы клочков в вы-

борке по приведенным в таблице сгруппированным по классам результатам ис-

пытаний. В расчетах использовать метод произведений.

Масса

клочков

класса, мг

Число

клочков в i-м классе по вариантам

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

22,5

22,0

21,5

21,0

20,5

20,0

19,5

19,0

–

18,5

18,0

17,5

17,0

16,5

16,0

–

1.6. Решить задачу 1.5, используя метод сумм.

1.7. Рассчитать среднюю массу клочка

несмещенное среднее квадратическое

отклонение

и несмещенную квадратическую неровноту масс клочков

по

результатам определения массы, г, приведенным ниже.

9,6

10,6

9,2

10,6

10,7

10,0

10,5

10,6

10,7

12,4

11,5

11,6

10,7

10,9

10,4

12,4

10,2

10,3

10,4

10,8

10,5

10,6

9,2

9,3

11,2

10,8

12,9

8,3

8,8

11,4

9,0

9,1

10,3

10,4

10,0

9,5

9,7

9,8

9,9

10,7

10,1

10,2

8,1

12,1

11,9

12,2

10,1

10,2

10,3

11,9

12,0

8,6

9,7

9,8

9,9

9,5

10,2

10,9

10,5

11,2

9,5

9,6

10,5

10,6

10,7

10,8

10,5

11,3

11,7

11,5

10,8

10,9

10,2

10,3

10,4

10,0

10,2

10,3

9,5

10,5

10,0

10,1

11,2

11,3

11,4

11,1

11,2

11,3

11,4

10,1

11,0

11,1

9,8

9,9

9,5

9,7

9,8

9,9

9,5

10,8.

В решении использовать формулы (1.1)…(1.6.2).

1.8. Решить задачу 1.7, используя метод сумм.

1.9. Решить задачу 1.7, используя метод произведений.

Оценка партии материала по однократной одноступенчатой выборке

1.10. Из генеральной совокупности нормального распределения случайных ве-

личин малая выборка имеет объем

, по которой определены массы отрез-

ков продукта (ленты, ровницы) и рассчитаны выборочные характеристики:

средняя масса

г, среднее квадратическое отклонение

, г, приведенные в

таблице. Рассчитать при двусторонней доверительной вероятности

абсолют-

ные и относительные ошибки, доверительный интервал для оценки генераль-

ных характеристик (средней

, среднего квадратического отклонения

, дис-

персии

и квадратической неровноты

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

0,10

0,30

0,35

0,44

0,95

1,4

0,998

0,99

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

0,40

0,30

0,08

0,15

0,28

0,30

0,90

0,96

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

0,42

0,46

0,60

0,70

0,98

0,90

7-й

8-й

0,98

0,40

0,99

15-й

16-й

0,30

0,38

0,96

23-й

24-й

0,65

0,60

0,90

Для оценки

использовать значения

, приведенные в

таблице 1.3.

1.11. По условиям задачи 1.10 рассчитать доверительный интервал, абсолют-

ную и относительную ошибки для оценки среднего квадратического отклоне-

ния

, дисперсии

и квадратической неровноты

1.12. В генеральной совокупности нормально распределенных случайных ве-

личин извлечена большая выборка объемом

, по которой определены

массы отрезков ровницы и рассчитаны выборочные характеристики: средняя

масса

г, среднее квадратическое отклонение

, г, приведенные в таблице.

Рассчитать при двусторонней доверительной вероятности

абсолютные и от-

носительные ошибки, доверительные интервалы для оценки генеральных ха-

рактеристик средней

, среднего квадратического отклонения

, дисперсии

и квадратической неровноты

Вариант

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

0,02

0,04

0,07

0,10

0,12

0,15

0,18

0,90

0,98

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

0,22

0,20

0,24

0,28

0,26

0,25

0,96

0,98

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

0,25

0,20

0,18

0,16

0,12

0,998

0,96

1.13. По выборке объемом n отрезков продукта (ленты, ровницы) определена

выборочная средняя масса

г, отрезка. Распределение масс отрезков соответ-

ствует нормальному распределению с известным генеральным средним квадра-

тическим отклонением

, г. Рассчитать с двусторонней доверительной вероят-

ностью

доверительные абсолютные и относительные ошибки. Довери-

тельные интервалы генеральных характеристик (среднего

, среднего квадра-

тического отклонения

, дисперсии

и квадратической неровноты

Выборочная средняя масса

и известное среднее квадратическое отклонение

приведены в таблице.

Вариант

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

0,15

0,12

0,14

0,10

0,08

0,14

0,12

0,15

0,006

0,004

0,006

0,004

0,003

0,006

0,005

150

200

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

0,36

0,60

0,80

0,90

1,20

1,40

1,60

400

300

200

150

200

300

400

200

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

0,05

0,13

0,10

0,20

0,08

0,06

0,15

0,09

350

200

400

300

150

400

200

300

1.14. Используя данные, приведенные в задаче 1.10, рассчитать довери-

тельный объем выборки для вычисления выборочных характеристик в качестве

оценок характеристик генеральной совокупности

с относительной

ошибкой, не превышающей

1.15. Используя данные, приведенные в задаче 1.12, рассчитать доверительный

объем выборки для вычисления выборочных характеристик в качестве оценок

характеристик генеральной совокупности

с относительной ошиб-

кой, не превышающей

Оценка партии материала по двухступенчатой выборке

1.16. Для оценки качества ровницы, полученной с двух ровничных машин,

было отобрано

катушки с ровницей и с каждой катушки нарезано и взве-

шено по

отрезков длиной 3 см ровницы. Вычислением получены несме-

щенные характеристики для ровницы с каждой из четырех катушек: средние

массы отрезков

мг, средние квадратические отклонения масс

от средней

(выборочные характеристики приведены в таблице).

Вычислить выборочные характеристики

и доверительные ин-

тервалы для оценки характеристик

генеральной совокупности при

двусторонней доверительной вероятности

Вариант

Катушка 1

Катушка 2

Катушка 3

Катушка 4

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

2,98

4,0

4,97

5,98

7,0

7,95

8,95

9,3

9,8

11,6

13,0

13,9

7,0

8,07

14,0

3,0

4,97

8,95

2,0

3,98

10,0

4,98

10,9

5,95

0,27

0,34

0,43

0,53

0,62

0,71

0,82

0,84

0,86

1.10

1,10

1,25

0,61

0,72

1,15

0,26

0,44

0,81

0,16

0,33

0,91

0,43

0,97

0,56

3,0

4,02

4,96

6,0

6,95

8,0

8,97

9,5

9,75

12,0

12,9

14,0

6,95

8,05

13,9

3,02

5,0

8,92

1,99

4,0

10,07

4,97

11,0

5,98

0,26

0,32

0,43

0,51

0,62

0,72

0,81

0,85

0,83

1,15

1,05

1,18

0,62

0,74

1,18

0,25

0,45

0,80

0,17

0,34

0,89

0,44

0,98

0,54

3,02

3,98

5,0

6,10

6,98

8,06

9,0

9,9

10,0

11,95

12,9

14,07

7,07

8,0

13,9

2,98

5,03

9,0

2,01

3,97

9,98

5,0

11,1

6,0

0,28

0,31

0,42

0,53

0,60

0,69

0,82

0,85

0,84

1,08

1,15

1,16

0,59

0,75

1,20

0,27

0,46

0,79

0,18

0,32

0,88

0,42

1,15

0,52

3,01

3,97

5,01

6,0

7,01

8,03

9,07

10,0

10,5

12,05

13,1

13,9

7,9

8,06

14,07

2,97

5,04

9,04

2,01

4,03

9,96

5,04

11,0

6,03

0,27

0,30

0,41

0,51

0,61

0,70

0,83

0,86

0,82

1,05

1,10

1,20

0,60

0,72

1,22

0,27

0,47

0,79

0,19

0,34

0,87

0,43

1,10

0,53

1.17. Для оценки равномерности ленты, выпускаемой четырьмя чесальны-

ми машинами поточной линии «кипа – лента» с каждой чесальной машины

было взято по одному тазу с лентой, из каждого таза нарезано и взвешено по

отрезков длиной 1 м ленты. Вычислением получены выборочные харак-

теристики ленты из одного таза каждой из четырех машин: средние массы от-

резков

, г, несмещенные средние квадратические отклонения отрезков

, г,

приведенные в таблице.

Вычислить выборочные характеристики: общее выборочное среднее

и доверительные интервалы для оценки характеристик

гене-

ральной совокупности, характеризующей чесальную ленту поточной линии,

при двусторонней доверительной вероятности

Вариант

Таз 1

Таз 2

Таз 3

Таз 4

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

2,2

5,1

3,2

4,8

3,7

4,1

4,7

2,4

4,4

4,3

4,1

4,7

4,5

4,1

5,4

3,6

5,1

4,5

4,7

3,4

2,1

4,5

3,9

3,3

0,04

0,10

0,07

0,08

0,50

0,08

2,3

4,9

3,4

4,7

3,9

4,0

4,8

2,3

4,6

4,5

4,3

4,5

4,6

4,2

5,3

3,7

5,2

4,8

4,5

3,7

2,2

4,7

3,9

3,2

0,05

0,09

0,08

0,09

0,08

0,05

0,08

0,07

0,09

0,05

2,0

4,9

3,3

4,8

3,8

3,9

4,9

2,2

4,7

4,4

4,2

4,6

4,7

4,2

5,1

3,8

5,4

4,7

4,8

3,8

2,4

4,4

4,0

3,4

0,04

0,08

0,06

0,08

0,09

0,10

0,08

0,10

0,08

0,06

0,07

1,9

4,7

3,1

4,6

3,6

3,9

4,7

2,5

4,4

4,2

4,0

4,6

4,4

4,1

5,2

3,5

5,3

4,4

3,7

2,3

4,6

4,1

3,1

0,03

0,08

0,05

0,08

0,10

0,09

0,05

0,07

1.18. Для оценки качества пряжи отдельной партии использована двух-

ступенчатая выборка: от партии массой до

отобрано

паковок пряжи

для определения физико-механических свойств пряжи. По результатам испыта-

ния пряжи определены: выборочная средняя масса 100 отрезков пряжи каждый

длиной 100 м

г, в i-й паковке и внутрипаковочная смещенная дисперсия с i-

й паковки

, г, приведенные в таблице.

Вычислить из

паковок выборочную среднюю

массу

отрезка, линей-

ную плотность пряжи

, среднюю внутрипаковочную несмещенную диспер-

сию

межпаковочную смещенную дисперсию выборочных средних каждой

паковки

, межпаковочную несмещенную дисперсию

, общую диспер-

сию масс отрезков

, квадратическую неровноту их

Ва-

ри-

ант

Па-

ра-

метр

Номер паковки

1-й

0,5

0,018

0,49

0,019

0,48

0,018

0,5

0,020

0,49

0,014

0,53

0,019

0,51

0,010

0,5

0,012

0,52

0,015

0,5

0,017

2-й

0,78

0,022

0,72

0,020

0,71

0,025

0,76

0,019

0,73

0,018

0,75

0,019

0,74

0,022

0,73

0,023

0,75

0,023

0,74

0,022

3-й

0,82

0,022

0,81

0,025

0,80

0,026

0,79

0,026

0,81

0,028

0,80

0,022

0,78

0,020

0.83

0,024

0,80

0,026

0,79

0,028

4-й

1,1

0,027

0,98

0,025

0,96

0,024

1,0

0,024

1,2

0,028

1,1

0,026

0,98

0,024

0,97

0,026

1,1

0,027

1,2

0,029

5-й

1,18

0,029

1,16

0,028

1,10

0,027

1,15

0,028

1,10

0,028

1,15

0,027

1,08

0,029

1,12

0,028

1,14

0,027

1,12

0,029

6-й

1,43

0,036

1,41

0,038

1,40

0,039

1,41

0,038

1,42

0,036

1,45

0,039

1,36

0,037

1,4

0,038

1,35

0,039

1,38

0,038

7-й

1,68

0,040

1,60

0,042

1,64

0,047

1,62

0,048

1,68

0,044

1,65

0,041

1,70

0,048

1,68

0,045

1,65

0,048

1,65

0,048

8-й

1,83

0,035

1,78

0,032

1,78

0,038

1,80

0,039

1,81

0,038

1,81

0,041

1,78

0,042

1,80

0,032

1,80

0,030

1,81

0,035

9-й

2,10

0,045

2,10

0,040

2,08

0,042

1,98

0,046

1,96

0,048

2,15

0,040

2,15

0,043

2,08

0,040

2,15

0,040

2,09

0,042

10-й

2,42

0,061

2,38

0,065

2,41

0,060

2,43

0,062

2,42

0,060

2,38

0,068

2,41

0,063

2,42

0,064

2,39

0,062

2,41

0,062

Окончание таблицы

Ва-

ри-

ант

Па-

ра-

метр

Номер паковки

11-й

2,51

0,052

2,52

0,054

2,48

0,048

2,49

0,050

2,51

0,050

2,49

0,051

2,51

0,055

2,52

0,052

2,49

0,053

2,48

0,050

12-й

3,10

0,068

2,95

0,065

3,10

0,060

2,98

0,061

3,05

0,062

2,95

0,068

3,02

0,067

3,05

0,063

2,90

0,060

2,90

0,060

13-й

3,40

0,060

3,38

0,063

3,25

0,068

3,38

0,061

3,44

0,060

3,36

0,058

3,42

0,052

3,40

0,064

3,65

0,060

3,42

0,061

14-й

4,0

0,068

3,96

0,062

3,98

0,069

4,04

0,069

3,95

0,061

4,02

0,062

4,0

0,060

4,05

0,058

3,98

0,064

4,05

0,061

15-й

4,55

0,092

4,58

0,098

4,6

0,098

4,63

0,091

4,56

0,094

4,60

0,098

4,57

0,090

4,65

0,092

4,62

0,098

4,64

0,091

16-й

5,10

0,10

4,92

0,98

4,90

0,98

4,96

0,12

4,98

0,14

5,04

0,11

5,02

0,98

4,95

0,12

5,08

0,11

5,05

0,12

17-й

5,62

0,14

5,52

0,11

5,64

0,12

5,56

0,15

5,58

0,15

5,62

0,12

5,60

0,14

5,68

0,11

5,58

0,12

5,6

0,14

18-й

6,0

0,12

5,90

0,13

5,96

0,11

6,04

0,14

5,95

0,11

6,05

0,12

6,10

0,14

6,0

0,11

6,04

0,11

6,05

0,12

19-й

7,28

0,14

7,22

0,15

7,2

0,13

7,22

0,11

7,20

0,13

7,18

0,15

7,18

0,12

7,12

0,14

7,20

0,11

7,0

0,12

20-й

8,45

0,15

8,43

0,14

8,37

0,11

8,35

0,11

8,37

0,12

8,50

0,15

8,54

0,16

8,43

0,15

8,26

0,14

8,30

0,15

21-й

9,16

0,19

9,28

0,18

9,16

0,19

9,24

0,19

9,15

0,18

9,18

0,18

9,12

0,19

9,25

0,18

9,24

0,19

9,22

0,19

22-й

9,0

0,22

9,05

0,21

9,0

0,21

9,05

0,19

9,04

0,20

8,90

0,20

8,96

0,19

8,95

0,17

9,0

0,18

9,05

0,20

23-й

10,0

0,22

10,05

0,21

9,95

0,19

9,96

0,18

9,90

0,20

10,04

0,21

10,05

0,21

10,0

0,17

10,05

0,20

10,0

0,21

24-й

8,50

0,15

8,52

0,14

8,48

0,11

8,80

0,12

8,60

0,14

8,72

0,15

8,80

0,17

8,68

0,16

8,55

0,14

8,65

0,18

1.19. По данным задачи 1.18 вычислить с двусторонней доверительной

вероятностью

доверительный интервал генеральной средней

массы

отрезка и линейной плотности пряжи в партии.

1.20. По данным задачи 1.18 рассчитать необходимое число

паковок пряжи

при числе испытаний

с каждой паковки и доверительной относительной

ошибке

от выборочной средней

1.21. В испытаниях определены массы

отрезков ровницы длиной по 10 м с

каждой из

катушек, рассчитаны и приведены в таблице: общая выборочная

средняя масса отрезка

; сумма внутрипаковочных смещенных дисперсий

сумма квадратов отклонений средних

для каждой катушки массы от-

резка от общей выборочной средней

сумма средних смещенных выбо-

рочных дисперсий для всех

паковок.

Вариант

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

200

156

132

100

200

300

400

500

100

200

300

400

100

200

1,25

1,1

0,90

0,095

0,1

0,080

0,070

0,060

0,070

0,080

0,090

0,1

0,11

0,1

0,090

0,081

0,070

0,060

0,070

0,080

0,090

0,095

0,1

0,11

0,1

0,090

0,210

0,220

0,230

0,220

0,210

0,200

0,190

0,180

0,170

0,180

0,190

0,200

0,210

0,220

0,230

0,240

0,250

0,240

0,230

0,220

0,210

0,200

Рассчитать: 1) линейную плотность ровницы; 2) среднюю внутрипаковоч-

ную несмещенную дисперсию

; 3) межпаковочную несмещенную диспер-

сию выборочных средних каждой паковки

4) общую дисперсию

; 5)

квадратическую неровноту ровницы

, %.

1.22. По условиям задачи 1.15 рассчитать с вероятностью

доверитель-

ный интервал генеральной средней массы отрезка ровницы.

1.23. По условиям задачи 1.15 рассчитать необходимое число паковок при чис-

ле испытаний

по каждой паковке для вычисления средней массы отрезка

ровницы с доверительной относительной ошибкой

оценке средней, не пре-

вышающей 1 %.

1.4. Статистическая проверка гипотез

Допуская, что результаты экспериментальных измерений могут рассмат-

риваться как независимые выборки из нормально распределенных генеральных

совокупностей, можно с определенной статистической надежностью, или дове-

рительной

вероятностью

различие

значений

и т.д. считать либо случайным, либо не

случайным.

Для получения информации о влиянии некоторых изменений в технологии, со-

ставе сырья на производственный процесс и свойства (качество) продукции ис-

пользуют выборки из генеральных совокупностей, получаемых при некотором

числе испытаний, проводимых до и после внесения изменений.

При этом высказывается гипотеза, что все группы результатов представ-

ляют собой выборки из генеральных совокупностей с одинаковыми средними

значениями и дисперсией. Если изменение условий испытания вызвало измене-

ние признака, то высказанная гипотеза не состоятельная.

Проверку высказанной гипотезы (нулевой гипотезы) в математической

статистике называют критерием. Критериями могут являться критерий

Фи-

шера, критерий

Стьюдента, критерий

Хельмерта-К. Пирсона и др.

Статистической гипотезой

в законах распределения называется лю-

бое предположение о свойствах генеральной совокупности, из которой для ис-

следования берется выборка.

Выдвигаемые гипотезы подразделяют на два типа:

исходная, или нуль-гипотеза,

;

конкурирующая гипотеза

; конкурирующих гипотез может быть

несколько.

При оценке проверяемой гипотезы могут быть допущены две взаимосвя-

занные ошибки:

отвергнуть правильную гипотезу (ошибка первого рода);

принять неправильную гипотезу (ошибка второго рода).

Вероятность допущения ошибки первого рода равна уровню значимости

Для технологических экспериментов часто принимают

или 5 %.

Вероятность допущения ошибки второго рода обозначается

, а величи-

на

называется мощностью критерия.

1.4.1. Сопоставление двух дисперсий

Для сопоставления двух дисперсий используют критерий Фишера

. Если взя-

ты две независимые и случайные выборки объемом

из нормально рас-

пределенной генеральной совокупности и вычислены оценки

для дис-

персий, то рассчитывают дисперсионное отношение – расчетное значение кри-

терия Фишера

(1.60)

где в числителе – большая из двух оценок.

Определяют

по

приложению

табличное

значение

критерия

Фишера

при двусторонней доверительной вероятности

и степенях

свободы

Если имеет место неравенство

то исходная гипотеза о равенстве дисперсий

не отвергается, т.е. два

ряда измерений равнозначны.

Если

, то гипотеза

может быть отвергнута с доверительной вероят-

ностью

, т.е. два ряда измерений неравнозначны.

Для сопоставления более двух дисперсий используют критерий Кохрена при

равном числе степеней свободы для всех дисперсий, а при неравном числе сте-

пеней свободы, но большем шести, можно использовать критерий Бартлетта.

Пример 11. Для оценки степени различия линейной плотности лент, выпускае-

мых первой (А) и последней (В) чесальными машинами поточной линии, опре-

деляли массы отрезков лент длиной 5 м. Было установлено:

Машина А

Машина В

Объем выборки

Среднее значение массы отрезка, г

Стандартное отклонение, г

Решение

Согласно формуле (1.60) расчетное значение критерия Фишера

По приложению 3 находим табличное значение критерия Фишера

Следовательно,

и гипотеза о том, что обе выборки взя-

ты из генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями не отвергается

при уровне значимости

, т.е. различие между

незначимо.

1.4.2. Сопоставление среднего арифметического значения параметра

с заданным значением

Две средние арифметические величины можно сопоставлять только при выпол-

нении условия

(см. п. 1.4.1).

При отклонении среднего значения

, рассчитанного по результатам, получен-

ным из выборки объема

, от заданной величины

признака необходимо

определить возможность принятия гипотезы о равенстве средних

либо считать, что анализируемое различие средних значимо с уровнем значимо-

сти

. Для этого используют критерий Стьюдента

, расчетное значение кото-

рого определяют по формуле

(1.61)

По приложению 1 рассчитанное значение

сравнивают с табличным

значением критерия Стьюдента

Если

, то анализируемая разница

находится в

пределах случайного отклонения от заданного значения

Если

, то имеет место существенное систематическое от-

клонение среднего значения от заданного значения

Пример 12. Проверить, существенно ли различие выборочной средней ли-

нейной плотности чесальной ленты, выпускаемой первой (А) и последней (В)

чесальными машинами поточной линии. Ниже приведены статистические дан-

ные по результатам взвешивания пятиметровых отрезков лент (заданное значе-

ние

г).

Машина А

Машина В

Объем выборки

Средняя масса отрезка, г

Стандартное отклонение, г

Решение

Для ленты машины А расчетное значение критерия по формуле (1.61)

Табличное значение критерия по приложению 1

следовательно, нет основания отвергнуть нулевую гипотезу

Для ленты машины В

т.е. расчетное значение критерия

намного превышает его табличное значение,

следовательно, различие

здесь значимо.

1.4.3. Сопоставление двух средних из нормально распределенных

совокупностей

Различие двух средних значений

, вычисленных по результатам измере-

ний в двух независимых выборках из нормально распределенных генеральных

совокупностей тем меньше, чем больше перекрываются доверительные интер-

валы, соответствующие средним

Гипотезу о равенстве средних, найденных по независимым малым выборкам,

проверяют, используя критерий Стьюдента, расчетное значение которого в дан-

ном случае рассчитывают по формуле

(1.62)

где

среднее квадратическое отклонение разности

или ошибка раз-

ницы;

(1.63)

при

Степень свободы составляет

Пример 13. Определено число пороков в гребенном прочесе до (1) и после (2)

внесения изменений в процесс для улучшения чистоты прочеса; получены дан-

ные о числе пороков в 1 г прочеса:

;

Необходимо определить, являются ли обе группы опытов выборками одной и

той же генеральной совокупности.

Решение

Расчетное значение критерия

по формуле (1.60)

По приложению 3 табличное значение критерия

Так как

, принимают гипотезу о равенстве выборочных дис-

персий, что позволяет вычислить по формуле (1.63) среднее квадратическое от-

клонение или ошибку разницы

Затем вычисляют расчетное значение критерия

по формуле (1.62)

и находят по приложению 1 критическое значение

и так как

, то гипотезу о равенстве выборочных средних можно

отвергнуть при уровне значимости

. Следовательно, изменение,

внесенное в процесс гребнечесания улучшило чистоту прочеса.

1.4.4. Сопоставление двух средних значений статистической совокупности

для случаев, когда

или когда равноточность двух рядов измерений

не доказана

Нулевую гипотезу о равенстве средних проверяют по критерию Стьюдента

приближенное значение которого вычисляют по формуле

(1.65)

или по формуле (1.62), или при

по формуле (1.64).

Табличное значение двустороннего критерия определяется при заданном уров-

не значимости

и числе степеней свободы

(1.66)

где

(1.67)

и получают формулу для вычисления новой степени свободы

(1.68)

Если

, то разница

незначима, а если

, то эта разни-

ца значима.

1.4.5. Сопоставление двух коэффициентов вариации

При коэффициентах вариации

, вычисленных по

результа-

там измерений в двух больших выборках, различия между коэффициентами ва-

риации оценивают по критерию

, расчетное значение которого

(1.69)

где

(1.70)

Критерий

определяется по приложению 4 при условии, что

. Если

, то гипотеза о значимости различия между коэффициентами

подтверждается.

Можно в рассматриваемой задаче использовать также критерий Стьюдента,

расчетное значение которого

(1.71)

Различие между коэффициентами вариации

значимо (неслучайно)

при

, а при

различие коэффициентов не является статистически зна-

чимым.

Если

, значения

, значимость различия между коэффициентами

вариации двух выборок проверяют, используя критерий Фишера

, расчетное

значение которого вычисляют по формуле

(1.72)

где числитель больше знаменателя. Табличное значение критерия определяют

по приложению 3 при условии, что

Если

, то гипотеза о равенстве коэффициентов вариации не отвергается,

т.е. принимают однородность случайных величин двух выборок одинаковой.

1.4.6. Сопоставление выборочных долей

Если выборочные доли

в двух совокупностях (выборках) незначитель-

но отличаются от 0,5, то различие между долями оценивают по критерию

Стьюдента t, расчетное значение которого вычисляют по формуле

(1.73)

В случаях, когда сравниваемые доли значительно отличаются от 0,5, использу-

ют преобразование

и находят расчетное значение критерия

(1.74)

которое сравнивают с табличным значением критерия (приложение 9) при чис-

ле степеней свободы

Если

, то различие между долями считается значимым.

При упрощенном расчете используют квадрат критерия Стьюдента

который численно равен критерию Фишера:

(1.75)

Табличное значение

, где

– степень свободы большей дис-

персии определяют по приложению 3. Различие признают существенным (не

случайным), если

Задачи 1.24…1.31

1.24. Исследовалось влияние крутки пряжи на дисперсии

разрывной

нагрузки пряжи по двум выборкам с числом испытаний соответственно

, приведенным ниже.

Вариант

Па-

ра-

метр

1-й

2-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

120

150

130

120

100

150

100

200

150

100

150

200

100

120

150

120

200

250

200

150

180

Оценить значимость или несущественность различия между

при уров-

не значимости

1.25. По данным двух групп опытов получено соответственно

ре-

зультатов и рассчитаны средние квадратические отклонения масс отрезков про-

дукта

, г.

Па-

ра-

метр

Вариант

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

100

120

0,70

0,80

0,40

0,30

60,8

50,0

0,12

0,14

0,30

0,40

100

160

50,7

58,0

200

0,14

0,13

0,8

0,6

120

100

Оценить однородность дисперсий по критерию Фишера

при уровне значи-

мости 5 %.

1.26. Для повышения средней разрывной нагрузки пряжи была увеличена ее

крутка. По результатам испытаний

до изменения крутки и

по-

сле увеличения крутки средняя разрывная нагрузка пряжи изменилась с

сН до

сН при коэффициентах вариации разрывной нагрузки

пряжи

. Можно ли считать при уровне значимости 5 %,

что на увеличение средней разрывной нагрузки пряжи существенно повлияло

изменение крутки или это увеличение может быть случайным ?

1.27. В результате испытаний

образцов пряжи на разрыв до и после из-

менения технологии вычислена средняя разрывная нагрузка пряжи

сН, при среднем квадратическом отклонении

, сН. Вычислить с вероят-

ностью

, можно ли считать изменение (увеличение) средней разрыв-

ной нагрузки пряжи случайным.

Па-

ра-

метр

Вариант

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

200

150

220

240

11,3

11,1

180

220

200

220

10,5

9,8

150

200

225

245

11,5

10,5

220

150

225

245

11,2

10,8

150

250

190

210

10,2

9,9

120

150

220

240

11,2

10,8

200

300

225

250

11,0

10,0

300

250

252

270

12,4

11,0

160

100

230

245

10,4

10,8

150

200

253

275

12,3

10,0

120

222

230

8,4

8,5

100

160

302

324

14,9

13,2

120

180

230

238

8,7

8,8

250

300

260

278

12,4

11,0

Если увеличение окажется не случайным, то при каких объемах выборок

это увеличение можно было бы считать не случайным?

1.28. Взвешено по 20 отрезков длиной 3 см лент, выработанных на двух

сравниваемых чесальных машинах поточной линии, и вычислены средние мас-

сы отрезков

мг и

мг, стандартные отклонения

мг и

мг. Используя критерий Стьюдента, установить наличие или отсут-

ствие различия в исследованных выборках.

1.29. Для улучшения чистоты прочеса было проведено некоторое измене-

ние технологии кардочесания. Для определения эффективности такого меро-

приятия проведено

измерений до и

измерений после осуществления из-

менения технологии. Можно ли с вероятностью 0,954 считать, что вычисленное

уменьшение числа пороков в 1 г прочеса с

до

при стандартном

отклонении соответственно

и числе опытов

обу-

словлено изменением технологии, т.е. неслучайно ? Проверку гипотезы о ра-

венстве средних и конкурирующей гипотезы

сделать при

условии, что равноточность двух рядов измерений

не доказана.

1.30. В целях уменьшения неровноты полуфабриката и пряжи внесены из-

менения в технологический процесс. Проведено

измерений неровноты про-

дукта до изменения и

после изменения технологии. В результате обработки

результатов измерений получены значения квадратической неровноты

, %, представленные ниже

Па-

ра-

метр

Вариант

100

200

8,2

7,5

150

6,2

5,6

140

120

4,8

4,2

180

140

7,6

5,8

100

140

8,5

7,6

160

7,8

6,8

200

170

7,2

5,8

300

250

6,1

5,0

240

200

7,7

6,6

200

150

5,8

6,3

180

140

7,1

5,9

180

150

4,9

4,3

250

230

6,0

4,8

160

100

6,4

5,8

Можно ли считать с вероятностью 0,95, что уменьшение неровноты не-

случайно, если распределение генеральной совокупности соответствует закону

нормального распределения?

1.31. По данным двух групп экспериментов, проведенных до изменения (индекс

1) технологии и после изменения (индекс 2) получены характеристики выборок

Пара-

метр

Вариант

119

110

5,18

7,65

106

102,5

5,5

4,75

2500

950

161,1

166,9

26,0

25,25

0,42

0,30

180

100

400

350

6,0

3,5

20,5

21,3

0,03

0,04

200

150

8,3

8,0

5,4

5,1

150

110

7,8

6,0

7,7

5,8

150

100

8,3

8,0

120

2,5

2,4

3,7

2,8

100

2,8

2,7

Необходимо: 1) выяснить, являются ли сопоставляемые в задаче группы опытов

каждого варианта, выборками из одной и той же генеральной совокупности (ис-

пользовать критерий Фишера

); 2) принять или отвергнуть при уровне значи-

мости 5 % гипотезу о равенстве выборочных средних (использовать критерий

Стьюдента

2. ИЗМЕНЕНИЕ НЕРОВНОТЫ ПРОДУКТА ПРЯДЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ

ВЫТЯГИВАНИЯ И СЛОЖЕНИЯ

В прядильном производстве сложением называют соединение двух или

нескольких однотипных или сходных видов полуфабриката (лент, ровниц и др.)

в один продукт.

Целью сложения является выравнивание продукта, а также смешивание воло-

кон компонентов.

В результате сложения двух или нескольких видов полуфабриката, выработан-

ных независимо один от другого, различные по свойствам участки полуфабри-

ката соединяются в самых разных комбинациях, в результате чего в определен-

ной степени и происходит выравнивание.

Рассмотрим изменение неровноты продукта в результате сложения двух лент.

Разделим каждую ленту на

отрезков равной длины

, причем

– достаточ-

но большое число. Массы отрезков длиной

первой ленты обозначим через

, а второй ленты –

Средняя масса отрезков:

первой ленты

второй ленты

Средние квадратические отклонения масс отрезков длиной

для первой ленты

для второй ленты

Квадратическая неровнота соответственно первой и второй лент, %,

В результате сложения масса каждого участка нового продукта равна сумме

масс соответствующих отрезков складываемых лент:

(2.1)

Дисперсия суммарного ряда случайных величин

(2.2)

где

– коэффициент корреляции между величинами

, показывающий

степень линейной связи между ними и принимающий значение

Квадратическая неровнота суммарного продукта, %,

(2.3)

и соответственно

(2.4)

Тогда

(2.5)

При сложении продуктов одинаковой средней линейной плотности, т.е. при

(2.6)

Если при этом

то

(2.7)

и при r = 0

(2.8)

Всегда на ленточных, гребнечесальных машинах и при дублировании на ров-

ничных и кольцевых прядильных машинах каждый продукт сначала вытягива-

ется в вытяжном приборе, а затем уже вытянутые мычки складываются для

формирования цельного продукта.

Неровнота продукта, получающегося при вытягивании и последующем сложе-

нии,

(2.9)

где

– неровнота, возникающая в продукте при вытягивании в вытяж-

ном приборе.

Квадрат неровноты продукта, полученного в результате вытягивания в

раз

волокон линейной плотности

и последующем их сложений в

раз,

(2.10)

или

(2.11)

где

– квадратическая неровнота продукта до вытягивания;



средняя

линейная плотность волокон;

– квадратическая неровнота гипотетического

продукта до вытягивания;

(2.12)

Из формулы (2.11)

(2.13)

Задачи 2.1…2.5

2.1. Рассчитать квадратическую неровноту продукта, полученного сложением

двух продуктов линейной плотности

, характеризующихся квадратиче-

ской неровнотой

, коэффициентом корреляции

при параметрах, при-

веденных ниже.

Вари-

ант

ктекс

Вари-

ант

ктекс

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

4,98

3,0

4,04

5,04

4,96

3,05

5,02

3,03

4,0

5,02

4,04

3,02

7,0

6,5

5,0

4,0

5,0

4,5

6,5

6,3

5,4

4,05

5,0

4,7

+1,0

+0,75

+0,65

+0,50

+0,33

+0,20

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

1200

1380

1420

720

430

132

1250

1440

750

445

145

7,0

8,5

6,1

6,8

7,4

8,1

7,2

8,0

6,4

6,5

7,4

7,9



1,0

+1,0

+0,75

+0,65

+0,50

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

3,95

2,95

3,15

4,3

4,0

3,9

4,07

3,0

3,02

3,92

3,95

4,0

3,2

3,8

5,0

6,2

7,9

5,9

3,0

3,5

5,3

6,0

8,1

6,1



0,20



0,33



0,50



0,65



0,75

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

128

4,3

3,8

2,5

134

4,4

3,9

2,7

7,3

6,5

7,8

8,1

7,9

8,2

7,7

6,6

7,5

8,4

8,1

8,5

+0,33

+0,20

+0,10

-0,1

+0,1

2.2. В результате оптимизации параметров процессов на ленточных, ров-

ничных и прядильных машинах, перерабатывающих одинарную ровницу, сни-

жена квадратическая неровнота по прибору «Устер»: ровницы с

до

и неровнота от вытягивания на прядильной машине с

до

. Средняя линейная плотность перерабатываемых волокон

текс. Рассчитать изменение неровноты получаемой пряжи абсолютное и в про-

центах от первоначальной величины.

2.3. Рассчитать и изобразить графически зависимость эффективности выравни-

вания в виде отношения

от числа сложений

, равного: 1) 2; 2) 4; 3) 6; 4)

8; 5) 10; 6) 12; 7) 14; 8) 16; 9) 25; 10) 36; 11) 64; 12) 100; 13) 125.

2.4. Рассчитать квадратическую неровноту продукта

, полученного в ре-

зультате вытягивания продуктов с квадратической неровнотой

при вытяги-

вании в

раз, и последующем числе их сложений

при условии, что неров-

нота гипотетического продукта до вытягивания равна

, а неровнота

вследствие вытягивания, возникающая в каждом вытягиваемом продукте, зна-

чения которых приведены в таблице.

Вариант

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

120й

9,5

1,7

1,6

1,8

1,6

1,5

1,6

1,5

1,6

0,6

0,9

3,9

6,2

4,0

5,6

3,9

6,5

6,9

10,6

9,1

12,5

9,5

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

0,7

0,6

0,8

0,7

0,6

0,7

0,6

0,7

0,6

0,7

13,4

16,6

21,0

22,3

20,5

12,7

16,5

20,6

17,8

23,8

25,4

20,2

2.5. Рассчитать неровноту

вследствие вытягивания, общую неровноту

продукта, полученного в результате вытягивания в

раз и последующего сло-

жения в

раз вытянутых продуктов, а также коэффициенты

при параметрах, приведенных ниже, где

– неровнота продукта

перед вытягиванием;

– линейная плотность соответственно волокон и

продукта перед вытягиванием; коэффициент корреляции толщины складывае-

мых продуктов

Вари-

ант

ктекс

текс

Вари-

ант

ктекс

текс

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

28,6

23,8

4,0

3,5

3,0

4,0

3,5

4,0

3,0

0,4

0,5

0,8

0,1

0,18

0,17

0,16

0,17

0,16

0,17

0,16

0,15

0,16

0,14

5,8

6,4

4,8

6,0

5,5

5,0

7,0

8,5

9,0

9,5

10,0

6,2

6,8

14,7

15,8

16,4

18,2

17,5

19,0

26,0

21,0

23,5

26,0

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

22,5

30,0

17,6

35,7

25,0

29,4

14,0

40,0

23,3

40,0

25,0

30,0

0,45

0,15

0,6

0,15

0,75

0,1

1,0

0,1

1,25

0,15

0,75

0,15

0,18

0,14

0,17

0,13

0,17

0,13

0,14

0,12

0,17

0,12

0,13

0,12

11,0

11,5

12,0

11,5

10,0

9,0

10,0

11,0

12,0

9,0

10,0

24,4

27,0

23,0

28,0

22,0

25,8

17,3

28,0

27,4

27,2

24,8

26,6

3. ГРАДИНЕТ НЕРОВНОТЫ, ИНДЕКС НЕРОВНОТЫ И УРОВЕНЬ

НЕРОВНОТЫ ПРОДУКТОВ ПРЯДЕНИЯ

3.1. Градиент неровноты

Для оценки эффективности влияния на равномерность толщины или структуры

продуктов разных технологических переходов определяют градиенты неровно-

ты: градиент внешней неровноты и градиент внутренней неровноты. Квадраты

градинетов неровноты внешней

, внутренней

и общей

связаны

соотношениями

(3.1)

(3.2)

при этом

(3.3)

(3.4)

где



среднее выборочное значение исследуемого свойства.

Для анализа характера неровноты продуктов прядения чаще используют гради-

ент внешней неровноты

и график функции

, т.е. по оси абсцисс от-

кладывают длину

отрезка в логарифмическом масштабе.

Градиент внешней неровноты масс отрезков гипотетического продукта со слу-

чайным расположением волокон, имеющих разную длину и разную площадь

поперечных сечений, можно рассчитать по формуле Г. Нинхиша

для

(3.5)

где

– квадрат неровноты по сечениям продукта или общей его неровно-

ты

;

(3.6)

где коэффициент

(3.7)

– квадратическая неровнота волокон по площади поперечных

сечений;

– то же по их диаметру;



неровнота волокон по их длине;



средняя массодлина волокон.

Для оценки неровноты смешивания волокон, различающихся по своим свой-

ствам, используют разные показатели, в том числе градиент полноты смешива-

ния

и градиент неровноты смешивания.

Градиент полноты смешивания

или

характеризует изменение относи-

тельного (%) отклонения реального состава смеси в единицах объема

или

отрезке длиной

продукта от нормированного рецептом в зависимости от чис-

ла единиц объема

или длины отрезка

Градиент полноты смешивания

компонентов

, %,

или

;

(3.8)

где



или

(3.9)

– доля i-го компонента в смеси или в продукте, нормированная рецеп-

том;



средняя выборочная i-го компонента в единицах объема

смеси или

в отрезках длиной

продукта.

Градиент неровноты смешивания

или

(3.10)

где

или

(3.11)

или

(3.12)

(3.13)

где

– число компонентов в смеси;

или

– квадратическая внешняя

неровнота распределения i-го компонента в единицах объема

или отрезках

длиной

продукта; при

– квадратическая неровнота рас-

пределения i-го компонента по сечениям продукта;

или

– средний

квадрат отклонения доли

компонента смеси от средней его доли

в едини-

цах объема

или отрезках длиной

3.2. Индекс неровноты и уровень неровноты

Индексом неровноты называется отношение неровноты действительного про-

дукта к неровноте гипотетического продукта

(3.14)

где

– квадратическая неровнота действительного продукта с прибора

«Устер»;

– неровнота гипотетического продукта по площади его попереч-

ных сечений;

(3.15)

– для хлопка при

;

– для вискозного волокна;

– неровнота волокон по площади поперечных сечений;

– неровнота волокон

по диаметру;



среднее число волокон линейной плотности

в поперечном

сечении продукта линейной плотности

;

(3.16)

Неровнота гипотетической пряжи из смеси разнородных волокон

(3.17)

где



доли компонентов в смеси по массе; значения

опреде-

ляют по формуле (3.7).

В таблице 3.1 приведена квадратическая неровнота по прибору «Устер» полу-

фабриката хлопкопрядения.

Для сравнения по ровноте пряжи различных техники и технологии произ-

водства, а также неодинаковой линейной плотности Г.М. Барнет предложил по-

казатель уровня неровноты (таблица 3.2)

(3.18)

где

– среднее число групп волокон в сечении пряжи;

(3.19)

где

– число волокон в поперечном сечении продукта;

(3.20)

Формулу (3.2) можно использовать при

волокон.

Таблица 3.1

Квадратическая неровнота полуфабриката прядения, определенная

по прибору «Устер»

№

п/п

Массовая

доля

полуфа-

бриката

в общей

выра-

ботке, %

Линейная плотность, текс

ленты

ровницы

с чесаль-

ных ма-

шин;

=3690…

4910

с гребне-

чесаль-

ных ма-

шин

=2950…

4910

с ленточ-

ных ма-

шин 1-го

перехода

=3280

…4910

с ленточ-

ных ма-

шин 2-го

перехода

=2460

…4910

590

295

148…

196

Кардная система прядения

2,6

2,9

3,7

4,5

5,1

5,7

6,0



2,9

3,1

3,7

4,7

6,3

7,5

8,1

3,0

3,4

3,7

4,6

6,1

7,2

8,0

5,4

5,8

6,9

7,9

9,4

11,0

11,6

5,9

6,3

7,4

8,4

10,3

12,0

12,7

6,3

6,8

7,9

9,1

11,0

13,0

13,9

Гребенная система прядения

2,5

2,9

3,7

4,5

5,1

5,7

6,0

2,6

3,0

3,9

4,4

5,9

6,9

7,9

2,1

2,3

2,6

3,2

4,1

5,8

6,4

1,7

2,0

2,4

3,0

3,8

4,8

5,9

3,5

3,8

4,3

5,1

6,4

8,0

8,6

3,6

4,0

4,5

5,4

6,8

8,5

9,1

3,7

4,3

4,7

5,6

7,1

9,0

9,8

Таблица 3.2

Неровнота пряжи по Г.М. Барнету

Оценка

ровноты

Пряжа

хлопчатобумажная

вискозная и

ацетатная

териленовая и

найлоновая

гребенная

шерстяная

кардная

гребенная

Отличная

Очень хорошая

Хорошая

Удовлетворительная

Плохая

< 1,7

1,7…2,0

2,0…2,3

2,3…2,6

> 2,6

< 1,4

1,4…1,6

1,6…1,8

1,8…2,0

> 2,0

< 1,5

1,5…1,7

1,7…1,9

1,9…2,1

> 2,1

< 1,4

1,4…1,5

1,5…1,6

1,6…1,7

> 1,7

< 1,2

1,2…1,3

1,3…1,4

1,4…1,5

> 1,5

Задачи 3.1…3.5

3.1. Рассчитать и построить график квадрата внешней неровноты пряжи

по данным, приведенным ниже; среднюю массу отрезков длиной

принять равной

, г.

Вариант

текс

Среднее квадратическое отклонение масс отрезков

, г, длиной

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

8,5

10,0

11,8

14,0

15,6

18,5

20,0

24,0

25,0

29,0

34,0

38,0

40,0

44,0

50,0

56,0

60,0

62,0

65,0

68,0

70,0

80,0

90,0

100,0

0,0018

0,0026

0,0024

0,0036

0,0032

0,0040

0,0044

0,0046

0,0050

0,0060

0,0063

0,0080

0,0088

0,0135

0,0140

0,0150

0,0240

0,0250

0,0160

0,0273

0,0312

0,0350

0,0390

0,0042

0,0040

0,0047

0,0055

0,0062

0,0080

0,0088

0,0110

0,0100

0,0110

0,0126

0,0160

0,0260

0,0280

0,0300

0,0370

0,0390

0,0250

0,0420

0,0480

0,0540

0,0600

0,026

0,030

0,035

0,050

0,075

0,061

0,060

0,066

0,075

0,080

0,086

0,095

0,120

0,200

0,210

0,230

0,270

0,285

0,180

0,315

0,360

0,400

0,450

0,35

0,40

0,47

0,65

0,63

0,81

0,39

0,88

1,0

1,10

1,15

1,28

1,30

2,70

2,75

2,95

3,70

3,88

2,47

4,20

4,80

5,40

6,0

3,3

4,0

4,7

5,7

6,3

8,2

8,4

9,8

11,75

10,60

11,50

12,60

16,0

27,0

25,0

27,0

30,0

37,0

38,9

24,7

42,0

48,0

54,0

60,0

3.2. Испытана пряжа из волокон двух компонентов, доли которых по рецепту

смеси составляют соответственно



н1



н2

. Средняя выборочная доля волокон

первого компонента в сечениях пряжи оказалась равной



1выб

, а квадратическая

неровнота содержания волокон каждого компонента, рассчитанная в процентах

от их выборочных долей соответственно С

и С

Рассчитать: а) выборочную долю в сечениях волокон второго компонента; б)

общую квадратическую неровноту смешивания волокон в пряже С; в) полноту

смешивания S волокон компонентов при нижеприведенных условиях.

Вари-

ант



н1

(по ре-

цепту)

(выбо-

рочное)

Вари-

ант



н1

(по ре-

цепту)

(выбо-

рочное)

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

0,125

0,25

0,375

0,50

0,375

0,75

0,875

0,17

0,34

0,51

0,67

0,83

9,8

21,4

25,8

28,5

33,7

41,9

49,6

61,8

68,5

73,1

82,5

91,2

30,0

27,0

26,0

25,0

21,0

18,0

15,0

15,4

13,8

14,0

12,5

11,4

9,8

11,4

13,2

13,7

15,2

16,0

14,3

14,0

13,9

12,9

10,8

10,1

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

0,10

0.15

0,20

0,30

0,35

0,60

0,65

0,70

0,72

0,80

0,85

0,90

0,105

0,145

0,218

0,285

0,345

0,615

0,660

0,688

0,710

0,820

0,830

0,880

30,0

28,1

20,1

19,5

23,1

24,4

23,2

27,1

24,2

17,8

16,4

15,3

8,0

9,4

22,4

14,1

22,8

17,5

17,4

16,7

20,8

26,4

27,9

29,3

3.3. Составить таблицу индексов неровноты полуфабриката хлопкопрядения,

неровнота по прибору «Устер» которых приведена в таблице.

Вари-

ант

Линейная плотность, текс

волокна

ленты последовательных переходов

ровницы

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

0,150

0,160

0,165

0,170

0,175

0.180

0,175

0,180

0,170

0,165

0,160

0,165

0,155

0,126

0,130

0,133

0,140

0,133

0,130

0,126

0,110

0,133

0,120

Кардная система

Принять значения нижних границ диапазона,

указанного в табл. 3.1

Принять значения верхних границ диапазона,

указанного в табл. 3.1

Гребенная система

Принять значения нижних границ диапазона,

указанного в табл. 3.1

Принять значения верхних границ диапазона,

указанного в табл. 3.1

150

160

170

180

190

200

210

220

250

300

350

450

500

550

118

120

125

130

135

140

245

590

3.4. Рассчитать индекс неровноты пряжи из смеси волокон при условиях, при-

веденных в таблице.

Вариант

Компоненты смеси и их доли

Пряжа

Хлопковое

волокно

Химическое волокно

, текс



, текс

С, %

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

0,111

0,125

0,128

0,127

0.140

0,155

0,170

0,160

0,170

0,160

0.178

0,160

0,170

0,65

0,55

0,65

0,70

0,80

0,70

0,55

0,65

0,85

0,55

0,60

0,70

ВВМ 0,13

« 0,13

Полинозное 0,17

ВВМ 0,17

Полинозное 0,17

« 0,17

ВВМ 0,17

Вискозное 0,17

Лавсановое 0,17

« 0,17

Вискозное 0,17

Капроновое 0,17

Лавсановое 0,33

ВВМ 0,17

7,5

8,4

11,8

15,4

18,5

20,0

25,0

29,0

34,0

11,0

12,0

11,0

10,0

16,0

15,0

13,0

16,0

14,0

15,0

12,0

14,0

11,0

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

0,180

0,170

0,180

0,155

0,175

0,180

0,175

0,55

0,45

0,55

0,60

0,70

0,85

0,65

0,55

« 0,17

Полинозное 0,17

Лавсановое 0,33

« 0,33

Вискозное 0,33

« 0,17

Капроновое 0,22

Лавсановое крашеное 0,33

« 0,33

40,0

48,0

50,0

62,0

12,0

15,0

14,0

13,0

15,0

16,0

17,0

15,0

3.5. Оценить равномерность толщины пряжи по уровню неровноты при услови-

ях, приведенных ниже:

Вариант

Волокно

Система

прядения

Пряжа

Вид

, текс

пр

, текс

С, %

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

Хлопок

Вискоза

Хлопок

Вискоза

Хлопок

0,11

0,13

0,14

0,15

0,14

0,15

0,14

0,15

0,16

0,17

0,175

0,180

Гребенная

Кардная

7,5

8,0

10,0

11,5

14,0

15,4

16,5

18,5

20,0

24,0

25,0

28,0

30,0

34,0

40,0

42,0

48,0

50,0

56,0

60,0

80,0

90,0

12,0

13,5

11,0

12,0

13,0

10,0

12,0

13,8

16,2

14,0

14,2

16,0

17,0

15,5

12,5

15,0

14,5

16,0

14,8

17,0

18,2

17,0

16,8

4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ НЕРОВНОТЫ ПРОДУКТА

Для выявления причин комбинированной неровноты продукта находят связь

между изменениями толщины его участков, находящихся на определенном рас-

стоянии друг от друга. Наличие или отсутствие прямолинейной связи между

двумя статистическими признаками выражают коэффициентом корреляции

Для вычисления коэффициента корреляции

при разных интервалах между

сечениями продукта используют разные методы.

При вычислении корреляционной функции по диаграмме толщины продукта,

записанной в масштабе длины (например, 1:10), длину

диаграммы делят на

равных частей

и отмечают середины абсцисс участков

Замеряют ординаты

и вычисляют среднюю ординату

(4.1)

Рассчитывают корреляционную функцию по формуле

(4.2)

или

(4.3)

где

(4.4)

(4.5)

Вычисляют

для разных целых значений интервала корреляции

, выра-

женных в единицах

, т.е. для

при

(4.6)

В формулах (4.4) и (4.5) суммируют от

до

Длина

исследуемого продукта должна быть в несколько раз больше

ожидаемой длины

волны колебаний толщины продукта и тем больше, чем

менее заметна периодичность изменения толщины продукта.

При

;

Для определения корреляционной функции с необходимой точностью выбира-

ют длину

записываемой диаграммы толщины продукта в соответствии с ис-

следуемым значением аргумента

. При любом законе распределения функции

, характеризующей изменение толщины продукта вдоль его длины, можно

использовать приведенные ниже выражения.

Максимальный интервал

принимают таким, начиная с которо-

го корреляционная функция становится практически равной нулю или соверша-

ет небольшие нерегулярные колебания около нуля, не превышая

, т.е.

и, следовательно, максимальная длина волны

на диаграмме толщины про-

дукта не должна превышать максимальное значение аргумента

корреляцион-

ной функции.

Для выражения затухающего компонента в корреляционной функции можно

использовать формулу

(4.7)

а для нормированной корреляционной функции – формулу

(4.8)

где

– корреляционная функция для

, т.е. дисперсия ординат диа-

граммы толщины продукта;



параметр, определяемый в зависимости от раз-

мера максимального интервала по формуле

(4.9)



параметр, значение которого должно удовлетворять условию

(4.10)

где

– соответственно минимальная и максимальная длина волны

на диаграмме.

Длина

записываемой диаграммы должна удовлетворять условию

(4.11)

Максимальное число ординат коррелограммы на участке интервала корреляции

(4.12)

а шаг интегрирования

(4.13)

При масштабе диаграммы записи длины 1:М интервал между исследуемыми се-

чениями в единицах длины продукта

(4.14)

При случайном характере изменения толщины коррелограмма имеет вид кри-

вой с затухающими колебаниями по фазе и амплитуде. При периодическом из-

менении толщины продукта коррелограмма, начиная с определенного значения

, имеет вид периодической функции изменения толщины продукта с длиной

волны, определяемой в единицах длины продукта из выражений:

(4.15)

где

– абсцисса первой точки пересечения коррелограммы с осью абсцисс;

– абсцисса первого отрицательного минимума;

– абсцисса следующего за

отрицательным положительного максимума коррелограммы;

Длина

преобладающей волны колебаний толщины продукта обусловлена

первоначальной ее длиной

и изменением ее вследствие вытягивания

(4.16)

(4.17)

где

– длина волны периодического изменения толщины продукта, возни-

кающей от неравномерного вращения или эксцентриситета рабочего органа ма-

шины;

– диаметр рабочего органа;

произведение вытяжек

в сле-

дующих за местом возникновения периодической волны до места формирова-

ния испытываемого продукта.

При необходимости выявления вытяжных волн в исследуемом продукте прини-

мают длину этой волны после зоны ее возникновения, равной примерно утроен-

ной средней длине волокон продукта

(4.18)

Задачи 4.1…4.3

4.1. Для вычисления корреляционной функции

по диаграмме толщины

продукта, в котором волны колебаний имеют длину от

до

, определить

необходимые для анализа: а) длину

диаграммы толщины; б) число ординат

на коррелограмме на участке

; в) шаг интегрирования

при па-

раметрах, приведенных в таблице:

Вариант

мм

Вариант

мм

Вариант

мм

1-й

2-й

3-й

4-й

9-й

10-й

11-й

12-й

150

100

120

17-й

18-й

19-й

20-й

800

1600

2300

5900

300

700

1000

5-й

6-й

7-й

8-й

160

230

590

100

13-й

14-й

15-й

16-й

900

400

300

100

21-й

22-й

23-й

24-й

2100

450

600

500

900

120

400

300

4.2. Измерены центрированные значения

ординат толщины продук-

та и по формуле (4.4) рассчитаны параметры

;

, приведенные

ниже. Рассчитать 1) коэффициент корреляции

; 2) длину волны гармо-

нических колебаний толщины продукта; 3) построить коррелограмму в осях

Вари-

ант

Пара-

метр

Интервал корреляции

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

142

262

198

396

200

280

100

126

202

–57

140

135

–18

–72

258

248

–55

195

188

–110

391

376

–56

194

189

–36

–160

277

271

–8,8

13,8

13,3

–54

100

–70

125

122

–117

201

192

137

134

257

246

192

188

389

351

196

126

130

275

267

7,8

13,7

12,9

124

120

182

180

–35

133

130

–11

–48

257

245

–46

187

182

–43

389

376

–52

196

189

–80

267

260

–4,5

12,6

–28

–35

120

117

175

171

126

124

250

241

185

181

378

365

191

184

249

227

3,4

12,9

12,7

112

102

164

162

–12

122

118

–9

–28

242

240

–33

183

178

–20

367

359

–19

185

184

–47

228

222

–3,2

11,6

–19

–21

103

100

149

143

119

116

235

238

178

175

356

359

179

177

211

205

2,6

10,4

9,9

134

133

–16

118

115

–3

–18

234

225

–12

177

170

–

–32

179

176

–27

102

1,6

9,8

9,4

–20

–6

123

121

117

114

–

233

224

–

173

165

–

–10

114

113

–

–4

227

220

–

–12

170

160

–

4.3. Для корреляционного анализа неровноты продукта прядильного произ-

водства записана в масштабе 1:10 диаграмма его толщины. По ординатам диа-

граммы вычислена нормированная корреляционная функция и построена кор-

релограмма, на которой первый отрицательный минимум функции

соот-

ветствует интервалу между парными сечениями, равному

Вычислить возможную первоначальную длину

волны периодической неров-

ноты толщины продукта, мм, и выявить рабочий орган машины, создающий

своим неравномерным вращением или эксцентриситетом периодическую

неровноту. Для расчета использовать приведенные ниже значения интервала

коррелограммы, соответствующего первому отрицательному минимуму

интервала

между сечениями продукта, диаметров и частот вращения рабочих

органов оборудования.

Машина

Рабочий орган

Диаметр,

мм

Частота

вращения

, мин

-1

Ленточная

машина

1-го перехода

Ленточная

машина

2-го перехода

Ровничная машина

Прядильная машина

Выбирающий вал

Питающий цилиндр

Задний цилиндр вытяжного прибора

Средний « « «

Передний « « «

Уплотняющий «

Валик лентоукладчика

Выбирающий вал

Питающий цилиндр

Задний цилиндр вытяжного прибора

Средний « « «

Передний « « «

Уплотняющий «

Валик лентоукладчика

Задний цилиндр вытяжного прибора

Средний « « «

Передний « « «

Задний цилиндр вытяжного прибора

Средний « « «

Передний « « «

50,5

25+1,8

**)

***)

260,6

495,1

402,3

1148,7

2177,7

2243,8

260,6

495,1

402,3

1148,7

2177,7

2243,8

216

5,7

170

скрытая вытяжка между передним цилиндром и катушкой 1,03;

**)

при толщине ремешка 0,9 мм;

***)

коэффициент укрутки пряжи

Ва-

ри-

ант

Исследуемый продукт

мм

Ва-

ри-

ант

Исследуемый продукт

мм

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

Лента с ленточной ма-

шины 1-го перехода

Лента с ленточной ма-

шины 2-го перехода

Ровница

15,3

14,3

8,0

4,4

10,1

7,4

8,1

3,1

5,7

8,3

4,3

13,6

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

24-й

Пряжа

кольцевых

прядильных машин

23,8

8,5

16,6

4,1

48,7

17,0

17,8

38,5

89,8

12,7

39,7

11,5

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Значения критерия Стьюдента

при оодносторонней доверительной вероятности

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,9990

100

120

150

200

250

300

400

1,375

1,061

0,978

0,941

0,920

0,906

0,896

0,889

0,883

0,879

0,876

0,873

0,870

0,868

0,866

0,865

0,863

0,862

0,861

0,860

0,859

0,858

0,857

0,856

0,855

0,854

0,853

0,852

0,851

0,850

0,849

0,848

0,847

0,846

0,845

0,844

0,843

0,842

3,078

1,886

1,638

1,533

1,476

1,440

1,415

1,397

1,383

1,372

1,363

1,356

1,350

1,345

1,341

1,337

1,333

1,330

1,328

1,325

1,323

1,321

1,319

1,318

1,316

1,315

1,314

1,313

1,311

1,310

1,309

1,307

1,305

1,304

1,303

1,302

1,301

1,300

1,299

1,298

1,297

1,296

1,295

1,294

1,292

1,291

1,290

1,289

1,287

1,286

1,285

1,284

6,314

2,920

2,353

2,132

2,015

1,943

1,895

1,859

1,833

1,812

1,796

1,782

1,771

1,761

1,753

1,746

1,740

1,734

1,729

1,725

1,721

1,717

1,714

1,711

1,708

1,706

1,703

1,701

1,699

1,697

1,694

1,691

1,688

1,686

1,684

1,682

1,680

1,679

1,677

1,676

1,673

1,671

1,669

1,667

1,664

1,662

1,660

1,658

1,655

1,653

1,651

1,650

1,649

12,71

4,303

3,182

2,776

2,571

2,447

2,365

2,306

2,262

2,228

2,201

2,179

2,160

2,145

2,131

2,120

2,110

2,101

2,093

2,086

2,080

2,074

2,069

2,064

2,060

2,056

2,052

2,048

2,045

2,042

2,037

2,032

2,028

2,024

2,021

2,018

2,015

2,013

2,011

2,009

2,004

2,000

1,997

1,994

1,990

1,987

1,984

1,980

1,976

1,972

1,969

1,968

1,966

31,82

6,965

4,541

3,747

3,365

3,143

2,998

2,896

2,821

2,764

2,718

2,681

2,650

2,624

2,602

2,583

2,567

2,552

2,539

2,528

2,518

2,508

2,500

2,492

2,485

2,479

2,473

2,467

2,462

2,457

2,449

2,441

2,434

2,429

2,423

2,418

2,414

2,410

2,407

2,403

2,396

2,390

2,385

2,381

2,374

2,368

2,364

2,358

2,351

2,345

2,341

2,339

2,336

63,66

9,925

5,841

4,604

4,032

3,707

3,499

3,355

3,250

3,169

3,106

3,054

3,012

2,977

2,947

2,921

2,898

2,878

2,861

2,845

2,831

2,819

2,807

2,797

2,787

2,779

2,771

2,763

2,756

2,750

2,738

2,728

2,719

2,712

2,704

2,698

2,692

2,687

2,682

2,678

2,668

2,660

2,654

2,648

2,639

2,632

2,626

2,617

2,609

2,601

2,596

2,592

2,588

127,3

14,09

7,453

5,598

4,773

4,317

4,029

3,832

3,690

3,581

3,497

3,428

3,372

3,326

3,286

3,252

3,222

3,197

3,174

3,153

3,135

3,119

3,104

3,090

3,078

3,067

3,056

3,047

3,038

3,030

3,015

3,002

2,990

2,980

2,971

2,963

2,955

2,949

2,943

2,937

2,925

2,915

2,906

2,899

2,887

2,878

2,871

2,860

2,849

2,838

2,832

2,828

2,823

318,3

22,33

10,21

7,173

5,893

5,208

4,785

4,501

4,297

4,144

4,025

3,930

3,852

3,787

3,733

3,686

3,646

3,611

3,579

3,552

3,527

3,505

3,485

3,467

3,450

3,435

3,421

3,408

3,396

3,385

3,365

3,348

3,333

3,319

3,307

3,296

3,286

3,277

3,269

3,261

3,256

3,232

3,220

3,211

3,195

3,183

3,174

3,159

3,145

3,131

3,123

3,118

3,111

при двусторонней доверительной вероятности

0,60

0,80

0,90

0,95

0,98

0,99

0,995

0,998

∞

0,842

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

2,807

3,090

Приложение 2

Критические значения

0,9

0,95

0,99

0,999

2,705

4,605

6,251

7,779

9,236

10,645

12,017

13,361

14,684

15,987

17,275

18,549

19,812

21,064

22,307

23,542

24,769

25,989

27,204

28,412

29,615

30,813

32,007

33,196

34,382

3,841

5,991

7,815

9,488

11,070

12,591

14,067

15,507

16,919

18,307

19,675

21,026

22,362

23,685

24,996

26,296

27,587

28,869

30,143

31,410

32,670

33,924

35,172

36,415

37,652

6,635

9,210

11,345

13,277

15,086

16,812

18,475

20,090

21,666

23,209

24,725

26,217

27,688

29,141

30,578

31,999

33,409

34,805

36,191

37,566

38,932

40,289

41,638

42,980

44,314

10,828

13,816

16,266

18,467

20,515

22,458

24,322

26,125

27,877

29,588

31,264

32,909

34,528

36,123

37,697

39,252

40,790

42,312

43,820

45,315

46,797

48,268

49,728

51,179

52,620

Приложение 3

Значения критерия Фишера

(

– степень свободы для большей дисперсии,

– степень свободы для меньшей дисперсии)

120



161,4

18,51

10,13

7,71

6,61

5,99

5,59

5,32

5,12

4,96

4,84

4,75

4,67

4,60

4,54

4,49

4,45

4,41

4,38

4,35

4,32

4,30

4,28

4,26

4,24

4,23

4,21

4,20

4,18

4,17

4,08

4,00

3,922

3,84

199,5

19,00

9,55

6,94

5,79

5,14

4,74

4,46

4,26

4,10

3,98

3,89

3,81

3,74

3,68

3,63

3,59

3,55

3,52

3,49

3,47

3,44

3,42

3,40

3,39

3,37

3,35

3,34

3,33

3,32

3,23

3,15

3,07

3,00

215,7

19,16

9,28

6,59

5,41

4,76

4,35

4,07

3,86

3,71

3,59

3,49

3,41

3,34

3,29

3,24

3,20

3,16

3,13

3,10

3,07

3,05

3,03

3,01

2,99

2,98

2,96

2,95

2,93

2,92

2,84

2,76

2,68

2,60

224,6

19,25

9,12

6,39

5,19

4,53

4,12

3,84

3,63

3,48

3,36

3,26

3,18

3,11

3,06

3,01

2,96

2,93

2,90

2,87

2,84

2,82

2,80

2,78

2,76

2,74

2,73

2,71

2,70

2,69

2,61

2,53

2,45

2,37

230,2

19,30

9,01

6,26

5,05

4,39

3,97

3,69

3,48

3,33

3,20

3,11

3,03

2,96

2,90

2,85

2,81

2,77

2,74

2,71

2,68

2,66

2,64

2,62

2,60

2,59

2,57

2,56

2,55

2,53

2,45

2,37

2,29

2,21

234,0

19,33

8,94

6,16

4,95

4,28

3,87

3,58

3,37

3,22

3,09

3,00

2,92

2,85

2,79

2,74

2,70

2,66

2,63

2,60

2,57

2,55

2,53

2,51

2,49

2,47

2,46

2,45

2,43

2,42

2,34

2,25

2,17

2,10

236,8

19,35

8,89

6,09

4,88

4,21

3,79

3,50

3,29

3,14

3,01

2,91

2,83

2,76

2,71

2,66

2,61

2,58

2,54

2,51

2,49

2,46

2,44

2,42

2,40

2,39

2,37

2,36

2,35

2,33

2,25

2,17

2,09

2,01

238,9

19,37

8,85

6,04

4,82

4,15

3,73

3,44

3,23

3,07

2,95

2,85

2,77

2,70

2,64

2,59

2,55

2,51

2,48

2,45

2,42

2,40

2,37

2,36

2,34

2,32

2,31

2,29

2,28

2,27

2,18

2,10

2,02

1,94

240,5

19,38

8,81

6,00

4,77

4,10

3,68

3,39

3,18

3,02

2,90

2,80

2,71

2,65

2,59

2,54

2,49

2,46

2,42

2,39

2,37

2,34

2,32

2,30

2,28

2,27

2,25

2,24

2,22

2,21

2,12

2,04

1,96

1,88

Окончание приложения 3

120



241,9

19,40

8,79

243,9

19,41

8,74

245,9

19,43

8,70

248,0

19,45

8,66

249,1

19,45

8,64

250,1

19,46

8,62

251,1

19,47

8,59

252,2

19,48

8,57

253,3

19,49

8,55

254,3

19,50

8,53

120



5,96

4,74

4,06

3,64

3,35

3,14

2,98

2,85

2,75

2,67

2,60

2,54

2,49

2,45

2,41

2,38

2,35

2,32

2,30

2,27

2,25

2,24

2,22

2,20

2,19

2,18

2,16

2,08

1,99

1,91

1,83

5,91

4,68

4,00

3,57

3,28

3,07

2,91

2,79

2,69

2,60

2,53

2,48

2,42

2,38

2,34

2,31

2,28

2,25

2,23

2,20

2,18

2,16

2,15

2,13

2,12

2,10

2,09

2,00

1,92

1,83

1,75

5,86

4,62

3,94

3,51

3,22

3,01

2,85

2,72

2,62

2,53

2,46

2,40

2,35

2,31

2,27

2,23

2,20

2,18

2,15

2,13

2,11

2,09

2,07

2,06

2,04

2,03

2,01

1,92

1,84

1,75

1,67

5,80

4,56

3,87

3,44

3,15

2,94

2,77

2,65

2,54

2,46

2,39

2,33

2,28

2,23

2,19

2,16

2,12

2,10

2,07

2,05

2,03

2,01

1,99

1,97

1,96

1,94

1,93

1,84

1,75

1,66

1,57

5,77

4,53

3,84

3,41

3,12

2,90

2,74

2,61

2,51

2,42

2,352,

2,24

2,19

2,15

2,11

2,08

2,05

2,03

2,01

1,98

1,96

1,95

1,93

1,91

1,90

1,89

1,79

1,70

1,61

1,52

5,75

4,50

3,81

3,38

3,08

2,86

2,70

2,57

2,47

2,38

2,31

2,25

2,19

2,15

2,11

2,07

2,04

2,01

1,98

1,96

1,94

1,92

1,90

1,88

1,87

1,85

1,84

1,74

1,65

1,55

1,46

5,72

4,46

3,77

3,34

3,04

2,83

2,66

2,53

2,43

2,34

2,27

2,20

2,15

2,10

2,06

2,03

1,99

1,96

1,94

1,91

1,89

1,87

1,85

1,84

1,82

1,81

1,79

1,69

1,59

1,50

1,39

5,69

4,43

3,74

3,30

3,01

2,79

2,62

2,49

2,38

2,30

2,22

2,16

2,11

2,06

2,02

1,98

1,95

1,92

1,89

1,86

1,84

1,82

1,80

1,79

1,77

1,75

1,74

1,64

1,53

1,43

1,32

5,66

4,40

3,70

3,27

2,97

2,75

2,58

2,45

2,34

2,225

2,18

2,12

2,06

2,01

1,97

1,93

1,90

1,87

1,84

1,81

1,79

1,77

1,75

1,73

1,71

1,70

1,68

1,58

1,47

1,35

1,22

5,63

4,36

3,67

3,23

2,93

2,71

2,54

2,40

2,30

2,21

2,13

2,07

2,01

1,96

1,92

1,88

1,84

1,81

1,78

1,76

1,73

1,69

1,67

1,65

1,64

1,62

1,51

1,39

1,25

1,00

1,71

Приложение 4

Нормированная функция Лапласа

Сотые доли

0,0 000

040

080

120

160

199

239

279

319

359

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

398

793

0,1 179

554

915

0,2 257

580

881

0,3 159

413

643

849

0,4 032

192

332

452

554

641

713

772

821

860

996

892

759

918

025

0,4 937

903

953

388

965

330

974

449

981

342

986

501

990

324

438

832

217

591

950

291

611

910

186

437

665

869

049

207

345

463

564

649

719

778

826

864

474

895

559

920

237

939

634

954

729

966

358

975

229

981

929

986

938

990

646

478

871

255

628

985

324

642

939

212

461

686

888

066

222

357

474

573

656

726

783

830

867

906

898

296

922

397

941

323

956

035

967

359

975

988

982

498

987

361

990

957

517

910

293

664

˚019

357

673

967

238

485

708

907

082

236

370

484

582

664

732

788

834

871

263

900

969

924

506

942

969

957

308

968

333

976

726

983

052

987

772

991

260

557

948

331

700

˚054

389

703

995

264

508

729

925

099

251

382

495

591

671

738

793

838

874

545

903

581

926

564

944

574

958

547

969

280

977

443

983

589

988

171

991

553

596

987

368

736

˚088

422

734

˚023

289

531

749

944

115

265

394

505

599

678

744

798

842

877

755

906

133

928

572

946

139

959

754

970

202

978

140

984

111

988

558

991

836

636

˚026

406

772

˚123

454

764

˚051

315

554

770

962

131

279

406

515

608

686

750

803

846

880

894

908

625

930

531

947

664

960

930

971

099

978

818

984

618

988

933

992

112

675

˚064

443

808

˚157

486

794

˚078

340

577

790

980

147

292

418

525

616

693

756

808

850

883

962

911

060

932

493

949

151

962

074

971

972

979

476

985

110

989

297

992

378

714

˚103

480

844

˚190

517

823

˚106

365

599

810

997

162

306

429

535

625

699

761

812

854

886

962

913

437

934

309

950

600

963

189

972

821

980

116

985

588

989

650

992

636

753

˚141

517

879

˚224

549

852

˚133

389

621

830

˚015

177

319

441

545

633

706

767

817

857

889

893

915

758

936

128

952

012

964

274

973

646

980

738

986

051

989

992

886

Окончание приложения 4

Сотые доли для

3,2

3,3

3,4

0,4 993

129

995

166

996

631

993

363

995

335

996

752

993

590

995

499

996

869

993

810

995

658

996

982

994

024

995

811

997

091

994

230

995

959

997

197

994

429

996

103

997

299

994

623

996

242

997

308

994

810

996

376

997

493

994

991

996

505

997

585

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

5,0

997

674

998

409

998

922

999

274

999

519

999

683

999

793

999

867

999

915

999

946

999

966

999

997

759

998

469

998

964

999

305

999

539

999

696

999

802

999

872

999

918

999

948

999

968

997

842

998

527

999

004

999

333

999

557

999

709

999

811

999

878

999

922

999

951

999

969

997

922

998

583

999

043

999

359

999

575

999

721

999

819

999

883

999

925

999

953

999

971

997

999

998

637

999

080

999

385

999

593

999

733

999

826

999

888

999

929

999

955

999

972

998

074

998

689

999

116

999

409

999

609

999

744

999

834

999

893

999

932

999

957

999

973

998

146

998

739

999

150

999

433

999

625

999

755

999

841

999

898

999

935

999

959

999

974

998

215

998

787

999

184

999

456

999

641

999

765

999

848

999

902

999

938

999

961

999

976

998

282

998

834

999

216

999

478

999

655

999

775

999

854

999

907

999

941

999

963

999

977

998

347

998

879

999

247

999

499

999

670

999

784

999

861

999

911

999

943

999

964

999

978

Пример пользования приложением. Требуется определить вероятность того,

что нормально распределенная нормированная величина

примет значение в

интервале 0…3,28.

Имеем:

В таблице записаны лишь три последних десятичных знака из четырех;

первый из них указан в графе «0» данной строки или выше данной. Если перед

последними тремя десятичными знаками стоит точка, то это означает, что пер-

вый десятичный знак надо смотреть в графе «0» следующей строки. Например,

при

имеем:

(а не 0,1019).

Значения функции

приведены в таблице с четырьмя десятичными знака-

ми. Кроме того, для значений

под основными цифрами даются мел-

ким шрифтом еще три десятичных знака. Так, например, при

находим

, т.е.

Приложение 5

Удвоенная нормированная функция Лапласа

Сотые доли

0,0

0,1

0,0 0000

7966

0798

8759

1596

9552

2393

˚0343

3191

˚1134

3988

˚1924

4784

˚2712

5581

˚3499

6376

˚4285

7171

˚5069

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

0,1 5852

0,2 3582

0,3 1084

8292

0,4 5149

0,5 1607

7629

0,6 3188

8269

0,7 2867

6986

0,8 0640

3849

6639

9040

0,9 1087

2814

4257

5450

6427

7219

7855

8360

8758

9068

9307

9489

9627

9730

9806

9863

9903

9933

9953

9968

9978

9986

9990

6633

4344

1819

8995

5814

2230

8206

3718

8750

3300

7372

0980

4146

6696

9260

1273

2970

4387

5557

6514

7289

7911

8405

8793

9095

9327

9505

9639

9739

9813

9867

9907

9935

9955

9969

9979

9986

9991

7413

5103

2552

9694

6474

2848

8778

4243

9227

3729

7754

1316

4439

7149

9477

1457

3124

4514

5662

6599

7358

7966

8448

8826

9121

9347

9520

9650

9747

9819

9872

9910

9937

9957

9971

9980

9987

9991

8191

5860

3280

˚0389

7131

3461

9346

4763

9699

4152

8130

1648

4728

7398

9690

1637

3275

4639

5764

6683

7425

8019

8490

8859

9146

9367

9535

9661

9755

9825

9876

9913

9940

9958

9972

9981

9987

9992

8967

6614

4006

˚1080

7783

4070

9909

5278

˚0166

4571

8502

1975

5013

7644

9899

1814

3423

4762

5865

6765

7491

8072

8531

8891

9171

9386

9549

9672

9763

9831

9880

9916

9942

9960

9973

9982

9988

9992

9741

7366

4729

˚1768

8431

4675

˚0468

5789

˚0628

4986

8870

2298

5294

7886

˚0106

1988

3569

4882

5964

6844

7555

8123

8571

8923

9195

9404

9563

9682

9771

9837

9885

9919

9944

9961

9974

9982

9988

9992

˚0514

8115

5448

˚2452

9075

5275

˚1021

6294

˚1086

5395

9233

2617

5571

8124

˚0309

2159

3711

5000

6060

6923

7618

8172

8611

8953

9219

9422

9576

9692

9779

9842

9889

9922

9946

9963

9975

9983

9989

9992

˚1284

8862

6164

˚3132

9714

5870

˚1570

6795

˚1538

5800

9592

2931

5844

8358

˚0508

2327

3852

5116

6155

6999

7679

8221

8649

8983

9241

9439

9590

9702

9786

9848

9892

9925

9948

9964

9976

9984

9989

9993

˚2052

9605

6877

˚3809

˚0350

6161

˚2114

7291

˚1986

6200

9945

3241

6113

8589

˚0704

2492

3989

5230

6247

7074

7739

8269

8686

9012

9263

9456

9602

9712

9793

9853

9896

9928

9950

9966

9977

9984

9990

9993

˚2818

˚0346

7587

˚4481

˚0981

7047

˚2653

7783

˚2429

6595

˚0295

3547

6378

8817

˚0897

2655

4124

5341

6338

7148

7798

8315

8723

9040

9285

9473

9615

9721

9800

9858

9900

9930

9952

9967

9978

9985

9990

9993

Окончание приложения 5

Пример пользования приложением. Требуется определить вероятность

того, что нормально распределенная нормированная величина

примет значе-

ние в интервале



3,28…+3,28.

Имеем

В графе «

» приведены значения

через 0,1; соответствующие сотые доли за-

писаны в первой строке. Значения

даются с пятью знаками после запятой,

причем в соответствующей графе указаны лишь четыре последние из них, а

первый находится с номером «0» в данной же строке или выше ее. Так, напри-

мер, при

находим

. Если же перед четырьмя цифрами

стоит точка, то это означает, что первую цифру надо взять из графы с номером

«0» одной строчкой ниже. Например, для

имеет

Приложение 6

Значения

(или

) для различных уровней значимости

Число

степеней

свободы

Уровень значимости

Число

степеней

свободы

Уровень значимости

0,10

0,05

0,025

0,01

0,10

0,05

0,025

0,01

1,406

1,645

1,412

1,689

1,414

1,710

1,414

1,723

2,326

2,354

2,493

2,523

2,638

2,670

2,800

2,837

1,791

1,894

1,974

2,041

2,097

2,146

2,190

2,229

2,264

2,297

1,869

1,996

2,093

2,172

2,237

2,294

2,343

2,387

2,426

2,461

1,917

2,067

2,182

2,273

2,349

2,414

2,470

2,519

2,562

2,602

1,955

2,130

2,265

2,374

2,464

2,540

2,606

2,663

2,714

2,759

2,380

2,404

2,426

2,447

2,467

2,486

2,504

2,520

2,537

2,551

2,577

2,600

2,623

2,644

2,664

2,683

2,701

2,717

2,701

2,728

2,754

2,778

2,801

2,823

2,843

2,862

2,880

2,871

2,903

2,932

2,959

2,984

3,008

3,030

3,051

3,071

Приложение 7

Значения

для различных уровней значимости

Число

опытов

Уровень значимости

Число

опытов

Уровень значимости

0,10

0,05

0,01

0,10

0,05

0,01

0,89

0,68

0,56

0,94

0,77

0,64

0,99

0,89

0,76

0,48

0,43

0,40

9,56

0,51

0,48

0,70

0,64

0,58

Список литературы

Виноградов Ю.С. Сборник задач по применению математической стати-

стики и теории вероятностей в текстильной и швейной промышленности.



М.:

Легкая индустрия, 1968.

Дунин-Барковский И.В., Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математи-

ческая статистика в технике.



М.: Гостехтеоретиздат, 1955.

ГОСТ 11.004



74. Прикладная статистика. Правила определения оценок и

доверительных границ для параметров нормального распределения.

ГОСТ 11.006



74. Правила проверки согласия опытного распределения с

теоретическим.

Иванов С.С., Филатова О.А. Технический контроль в хлопкопрядении.



М.: Легкая индустрия, 1978.

Клемм Л., Риль Г.И., Зигель Х., Тролль В. Математические методы стати-

стического контроля в текстильной промышленности (пер. с немецкого). – М.:

Легкая индустрия, 1971.

Кукин Г.Н., Соловьев А.Н., Кобляков А.И. Текстильное материаловеде-

ние.



М.: Легпромбытиздат, 1989.

Прядение хлопка и химических волокон /И.Г. Борзунов, К.И. Бадалов,

В.Г. Гончаров и др. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1982. Легпром-

бытиздат, 1986.

Рузинов Л.П. Статистические методы оптимизации химических процес-

сов.



М.: Химия, 1972.

Севостьянов А.Г. Методы и средства исследований механико-технологи-

ческих процессов текстильной промышленности.



М.: Легкая индустрия, 1980.

Справочник по хлопкопрядению. /В.П. Широков, Б.М. Владимиров и др.

– М.: Легкая и пищевая промышленность, 1985.

Стандарты на хлопчатобумажную пряжу.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Вычисление генеральных характеристик с использованием

выборочных ……………………………………………………………………….3

1.1. Сводные выборочные характеристики параметров нормального

распределения …………………………………………………………………….3

1.1.1. Генеральное среднее и выборочное среднее …………………………….3

1.1.2. Среднее квадратическое отклонение ……………………………………..4

1.2. Доверительные интервалы оценок для параметров нормального

распределения. Объем выборки …………………………………………............7

1.2.1. Доверительный интервал и ошибка среднего. Объем выборки

при определении среднего ……………………………………………………….8

1.2.2. Доверительный интервал и ошибка среднего квадратического

отклонения. Объем выборки при определении среднего квадратичес-

кого отклонения …………………………………………………………………15

1.2.3. Доверительный интервал и ошибка квадратической неровноты.

Объем выборки при определении квадратической неровноты ………………19

1.3. Оценки партии материала по двухступенчатой выборке ………………..21

Задачи 1.1…1.23 ……………………………………………………………….. 27

1.4. Статистическая проверка гипотез …………………………………………37

1.4.1. Сопоставление двух дисперсий …………………………………………37

1.4.2. Сопоставление среднего арифметического значения параметра

с заданным значением …………………………………………………………..39

1.4.3. Сопоставление двух средних из нормально распределенных

совокупностей …………………………………………………………………...40

1.4.4. Сопоставление двух средних значений статистической совокуп-

ности для случаев, когда





или когда равноточность двух

рядов измерений



не доказана ………………………………………...42

1.4.5. Сопоставление двух коэффициентов вариации ………………………...42

1.4.6. Сопоставление выборочных долей ……………………………………...43

Задачи 1.24…1.31 ……………………………………………………………… 44

2. Изменение неровноты продукта прядения в процессах вытягивания

и сложения …………………………………………………………………….... 48

Задачи 2.1…2.5 ………………………………………………………………….51

3. Градиент неровноты, индекс неровноты и уровень неровноты

продуктов прядения …………………………………………………………... 53

3.1. Градиент неровноты ………………………………………………………. 53

3.2. Индекс неровноты и уровень неровноты ………………………………... 55

Задачи 3.1…3.5 ………………………………………………………………… 57

4. Корреляционный анализ неровноты продукта ……………………………… 61

Задачи 4.1…4.3 ………………………………………………………………… 64

Приложения ……………………………………………………………………….. 68

Список литературы ……………………………………………………………….. 78

В раздел образования

Слово педагога

Неровнота продуктов прядения