Тема: Решение логических задач на уроках информатики

Переверзева Т.В.

МОБУ «Спасская СОШ»

Введение
Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Без логики – это слепая работа». (П. Анохин) Во всем, что связано с математикой, очень важное место занимает логика – наука о правилах и способах рассуждений. Назначение логических задач – тренировка умения мыслить логически.
Актуальность темы.
Наша жизнь непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато. Есть люди, для которых решение логической задачи - увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом они не могут объяснить, как они пришли к решению. "Ну это же очевидно, ясно", - говорят они. "Ведь если ... " - и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. "Действительно, все ясно", - говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения. Такое же ощущение часто возникает при чтении детективов. Если бы Шерлок Холмс основывался только на прописных истинах, он бы не смог раскрыть ни одного преступления. Однако его умение мыслить является прекрасным примером для подражания людям, которые стремятся к жизненному успеху. Если человек способен самостоятельно провести анализ ситуации и сделать соответствующие выводы, то он всегда сможет найти из неё выход. Логика учит человека мыслить четко, лаконично, правильно. Один из самых мощных инструментов развития мышления и интеллекта – логические задачи. Поэтому я выбрал эту тему.
Основная часть

1. Логика и его основоположники
Логика - очень древняя, важная и непростая наука. Слово "логика" греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем 1
(384-320 гг до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является скорее частью философии, но эта часть - основа всех наук. В своем выдающемся произведении "Аналитики" Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений. Процитируем самое известное рассуждение: "Сократ - человек; все люди смертны; значит Сократ смертен". Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать снова свое будущее, то он последовал бы совету Платона и "принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное то, что вытекает как следствие из доказанного". Основоположником математической логики считают немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница. Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: "Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо". Говоря простым языком, можно найти специальные методы решения логических задач . И он был прав.
2. Решение логических задач


Логические задачи - это задачи, решаемые путем рассуждений. Они составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. К классу логических задач относятся также задачи на переливание и взвешивание. Среди других «крепостей царства смекалки» логические задачи стоят особняком. С одной стороны, они отличаются от обычных задач – загадок тем, что в них никакой игры слов. С другой стороны, они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения нужна в основном сообразительность, а не запас каких-то специальных знаний. Каждая из таких задач – математическая миниатюра, побуждающая к самостоятельному исследованию. В ходе работы я изучил несколько основных методов решения логических задач: метод рассуждений, метод графов, метод таблиц, метод кругов Эйлера и метод математического бильярда. Остановимся отдельно на каждом из методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.
2.1. Решение логических задач методом рассуждений
Способ рассуждений – самый простой способ. Он подходит абсолютно для всех задач. Чтобы решать этим способом, нужно просто логически рассуждать и последовательно использовать условия задачи. В конце рассуждений мы придем к определенному выводу, являющемуся ответом к решаемой задаче. По сути, этот метод сводится к использованию следующего 2
приема: мы делаем некоторые допущение и смотрим, что при этом получается, т.е. не противоречит ли наше предположение условиям задачи. Идея метода: в ходе решения используются рассуждения, последовательно учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.
Задача.
Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решени
е. Имеются три утверждения. 1. Вадим изучает китайский. 2. Сергей не изучает китайский. 3. Михаил не изучает арабский. Верно одно из этих утверждений, два ложных. Нужно определить, какой язык изучает каждый из молодых людей. Допустим, что верно первое утверждение: Вадим изучает китайский. Тогда ложно второе, т.е. Сергей изучает китайский. Это противоречит условию задачи, что они изучают разные языки. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что Сергей не изучает китайский, Вадим не изучает китайский, Михаил изучает арабский. Получили противоречие: никто не изучает китайский. Остается считать верным третье утверждение, тогда первое и второе – ложные. Сергей изучает китайский, Михаил - японский, Вадим – арабский. Все условия задачи выполняются, противоречий нет. Методом таких рассуждений мы легко нашли ответ к задаче.
Ответ:
Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
2.2. Решение логических задач методом графов
При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить решение задачи в виде единой целой. На помощь могут прийти графы. Рассмотрим следующие три задачи: 1. Кто играет в Ляпкина-Тяпкина? В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина. - Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена. 3
- Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима. – С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене. - Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена. - А мне – Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима. - Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова. - Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, - добавили они одновременно. Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?
Ответ
: Гена – Ляпкин-Тяпкин Алик – Городничий Боря –Хлестаков Вова – Земляника Дима - Осип
2.3. Решение логических задач методом таблиц
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Приглашаем познакомиться с примером решения конкретной задачи методом таблиц.
Задача.
Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?
Решение.
Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов (буквами К, З и С обозначены красный, зеленый и синий цвета). Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Ставим знак + в клетку 2-й строки и 5-го столбца, и знак - в клетку 2-й строки и 2-го столбца. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными. Отметим все это в таблице (см. табл. 1). Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком – . Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл.1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего 4
цвета Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавливаются цвета туфель и рубашек клоунов (см. табл. 2): Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета. Таблица №2. Рубашки Туфли БИМ + - - + - - БАМ - - + - + - БОМ - + - - - + К З С К З С Ответ: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях
2.4. Решение логических задач методом кругов Эйлера
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условие задачи. Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой для наглядного представления можно изобразить отношения между подмножествами. «Они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления» писал Эйлер, изобретатель данного способа. Для решения задач Эйлер предложил изображать разные группы объектов с помощью кругов. Одним большим кругом изображают множество всех объектов или субъектов условия задачи (всех учеников, все деревья и т.п.). Внутри этого круга размещают меньшие круги – подмножества, изображающие подгруппы объектов, характеризующиеся определенными свойствами (отличники и ударники, мальчики и девочки и т.п.). Круги подмножества могут пересекаться друг с другом, если объекты, входящие в них, могут обладать соответствующими свойствами одновременно (девочки отличницы). После изображения всех кругов – подмножеств из условия задачи на схему переносятся все числовые значения, отображающие размеры этих подмножеств, т.е. количество объектов, входящих в эти подмножества, либо их пересечения. 5
Алгоритм для решения задач с помощью кругов Эйлера: 1. Читаем условие задачи. 2. Выполняем рисунок, изображая множества в виде кругов 3. Записываем данные в круги, сначала внесем условие, которое содержит больше свойств. 4. Анализируем, рассуждаем, рассчитываем, записываем результаты в части круга. 5. Ищем ответ на вопрос задачи. Покажу применение этого метода на самой распространенной задаче о туристах. Задача. В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 %, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там? Решение А — множество учеников, которые ходили в поход В — множество учеников, которые были на экскурсии 100 % – 80 % = 20 % 60 % – 20 % = 40 % Ответ: 40 %
2.5. Решение логических задач методом математического бильярда
Я приведу ещё один изящный метод решения логических задач, а именно, задач на переливание, это метод математического бильярда Способ бильярда следует из теории траекторий. Для решения задачи необходимо нарисовать бильярдный стол в виде параллелограмма. Тогда борта нашего стола будут символизировать имеющиеся у нас сосуды, а длины бортов будут соответствовать в абсолютном выражении емкости сосудов. Для удобства нанесем вдоль бортов координатную сетку через равные целочисленные интервалы – это объемы жидкости, получаемые при переливании. Первоначально запустим шарик вдоль одного из бортов нашего 6
стола. Движение шарика вдоль борта – это изменение расстояния по одной координате – символизирует наполнение соответствующего сосуда жидкостью, при этом количество жидкости во втором сосуде не изменяется – вторая координата шарика не меняется. При достижении борта шарик отскакивает от смежного бортика и начинает двигаться обратно, но при этом изменяются уже обе его координаты: первая уменьшается, а вторая увеличивается - это движение символизирует переливание жидкости из первого сосуда во второй. Прослеживая всю траекторию движения и записывая значения в точках соударения в отдельную таблицу, мы зафиксируем все варианты объемов жидкости, получаемых при её переливании с помощью данных сосудов.
Задача.
Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.
Решение
: В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали - в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (рис.5). Рис. 5 Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Таблица 2. 3 литровая 0 3 0 3 1 1 0 3 0 5 литровая 0 0 3 3 5 0 1 1 4 Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.2), в конце концов, мы попадаем в точку, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана 7
последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице 2.
3. Сравнительный анализ методов
Я изучал логические задачи. Распространенные логические задачи можно разделить на следующие основные виды: истинностные задачи; количественные задачи с множествами объектов; задачи о правдолюбцах и лжецах; задачи на взвешивание и переливание. Я рассмотрел способы решения этих задач. Таких приемов оказалось несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Одну и ту же задачу можно решать разными способами, но для каждого типа задач можно подобрать наиболее эффективный метод. Самый тривиальный способ – способ рассуждений. Примеры решения логических задач с использованием графов подкупают своей естественностью и простотой, избавляют от лишних рассуждений, во многих случаях сокращают нагрузку на память. С одной стороны, графы позволяют проследить все логические возможности изучаемой ситуации, с другой, благодаря своей обозримости, помогают в ходе решения задачи классифицировать логические возможности, отбрасывать неподходящие случаи, не доводя до полного перебора всех случаев. Способ таблиц, применяемый при решении текстовых логических задач, позволяют наглядно представить условие задачи, контролировать процесс рассуждений и помогают сделать правильные логические выводы. Он также прост и нагляден, но его можно использовать, когда требуется установить соответствие между двумя множествами, имеющими по 5-6 элементов. Преимущества метода бильярд состоит в привлекательности идеи, наглядности, возможности обобщить метод на широкий класс задач. Как известно, видение рождает мышление. Следует отметить, что все методы решения призваны упорядочить процесс рассуждений, направить его в нужном направлении для получения решения. Сравним таблицу методов решения и видов задач. Из таблицы 3 видно, что в основном рассмотренные методы, кроме метода рассуждений, разработаны для решения одного вида задач.
Заключение
Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде нет никакой математики – нет ни чисел, ни треугольников, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики чувствуется в них ярче всего. Логика помогает доказывать истинные суждения, отвергать ложные, она учит мыслить четко, лаконично, правильно. То, о чем говорит эта наука, знакома и близка каждому. Но войти в её мир, почувствовать его внутреннюю 8
согласованность и динамику, проникнуться его своеобразным духом непросто. Очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Решение таких задач — хорошая гимнастика для ума, в результате которой человек становится находчивее и сообразительнее. Логические задачи на взвешивание, переливание, переправы, задачи на нестандартное логическое мышление помогут и в повседневной жизни решать житейские проблемы нестандартным образом. 9