МЕТОД МАЖОРАНТ (метод математической оценки)

Успешное

изучение

математики

невозможно

без

умения

решать

разнообразные уравнения и неравенства. А если учесть, что на экзамене в

одиннадцатом классе они занимают одно из важных мест, то очень важно

научить

учащихся

решать нестандартные задачи и задачи повышенной

сложности.

Способов решения довольно много: один из них – это метод мажорант,

суть которого в комплексном применении знаний и умений по теме «Решение

рациональных, иррациональных, тригонометрических и логарифмических

уравнений и неравенств». Например, этим методом можно решать уравнения и

неравенства, в левой и правой части которого находятся разнородные функции;

уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных

превышает количество уравнений; задачи с параметрами. Этот метод можно

встретить под другими названиями, такими, как: «метод математической

оценки», «свойство ограниченности функции», «метод mini-max», задачи

«встреча на краю», «функционально-графический метод», «метод сравнения

множеств значений».

Метод

мажорант

–

метод

выявления

ограниченности

функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции.

В словаре дано, что «Мажоранта и миноранта (франц. majorante и

minorante, от majorer — объявлять большим и minorer — объявлять меньшим)

(матем.), две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не

больше

соответствующих

значений

данной

функции

(для

всех

рассматриваемых значений независимого переменного).

Суть метода мажорант, заключается в том, что одна часть уравнения (или

неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения

(или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется

мажорантой.

Существует несколько способов определения мажоранты.

I способ: связан с нахождением области значений заданных функций.

Рассмотрим мажоранты для известных элементарных функций:

1. f(x)= sin x, E(f)=[-1; 1], М = –1, М.= 1

2. f(x)= cos x , E(f)=[-1; 1], М = –1, М.= 1

3. f(x)= ах

2

+ bx + с, E(f)=[ув ;

) , при а≥0 или E(f)= (-

;ув], при а≤0

М = ув, М = (4ас–

b

2

)

.

4а

4. f(x)= |x| , E(f)=[0;

), М=0

5. f(x)=

, E(f)=[0;

), М=0

6. f(x)=х

, E(f)=[0;

), М=0

II способ: связан с применением опорных базовых неравенств.

1) Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического

, при а≥0, b≥0 равенство достигается при a=b .

2) Оценка однородного тригонометрического многочлена

3) Оценка двух взаимообратных чисел:

а)

, а> 0 равенство достигается при а = 1

б)

, а< 0 равенство достигается при а = ─1

III

способ:

нахождения

мажоранты

связан

с

нахождением

производной.

Пример. Найдем мажоранту функции

Ее областью

определения является промежуток [2; 4]. С помощью производной нетрудно

найти максимум функции, которая

дифференцируема для любого x из

интервала (2; 4).

g(3) = 2. Имеем

Таким образом, для того, чтобы найти мажоранту нужно выполнить одно

или несколько действий:

а) найти D(f) функции;

б) найти E(f) функции;

в) исследовать функцию на экстремум;

г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и

наименьшее значения;

д) применить известные опорные неравенства.

Как начинать решать такие задачи?

1.

Привести уравнение или неравенство к виду

2.

Сделать оценку обеих частей.

3.

Пусть существует такое число М, из области определения такое

что

4.

Решить систему уравнений

(

)

.

(

)

,

g x

М

f

x

М











Умение оценивать левую и правую части, входящих в уравнения и

неравенства, которое позволяет успешно решать нестандартные задачи и задачи

повышенной сложности, необходимо развивать постепенно.

Например:

В 5 классе.

При решении задач, примеров (где это возможно) можно

ориентировать детей на оценку результата: «Сколько примерно

получится?» или «Оцените результат». То есть нужно учить

«прикидывать» результат и приучать к слову «оцените».

В 6 классе.

При изучении темы «Модуль числа» важно, чтобы ученики

знали и понимали, что модуль – это расстояние (ключевое слово в

определении), поэтому 0 ≤ │x│ < +∞. Для осознания этого можно

предлагать, например, такие задания.

1.

Сравните с нулем 2. При каком a верно

а) │x│ а) −│ a│≤ 0

б) │x│+│y│ б) │a│≥ 1

в) − │y│ в) │ a│+2 < 0

г) │y│× │x│ и т.д. г) │−a│> 0 и т.д.

(

)

(

)

f

x

g x



(

)

(

)

и

g x

М

f

x

М





В 7 классе.

1.При изучении темы «Формулы сокращенного умножения»

особое внимание надо обратить на формулы квадрата суммы и

квадрата разности выражений. Ученики должны уметь их

“собирать”.

2. В темах «Линейная функция» и «Квадратичная функция»

важны такие задания как, например, « Какие значения принимает

переменная y(x), если переменная x(y) принимает значения от 3 до

7?».

Первоначально задания такого типа учим решать с помощью

графиков, но постепенно подводим их к аналитическому решению

через понятие возрастающей, убывающей функций.

В 8 классе.

Выделение полного квадрата, свойства неравенств.

В 9-11 классах.

Область значения, определения, возрастание, убывание

изучаемых функций.

Т.о., вырабатывая полезную привычку оценки, прикидки результата, к 11

классу

учащиеся

и

при

решении

сложных

задач

становятся

более

внимательными к условию задачи, критически относятся к конечному

результату, что безусловно влияет на конечный результат.