Методическая разработка

«Исследование функции и построение графиков с помощью

производной»

Цели и задачи урока:

Учебная цель.

Научить

строить

график

функции,

используя

производную для ее исследования,

Развивающая

цель.

Развитие творческой стороны мышления и навыков

аналитической

работы

при

выполнении

проектной

деятельности.

Формировать

навыки

оформления

результатов умственного труда.

Воспитательная

цель.

Воспитывать

умение

работать

в

группе

и

индивидуальную

ответственность

за

достижение

результата.

Задачи.



Научить применять производную для реализации

схемы исследования функции.



Научить

строить

график

функции

на

основе

проведённого исследования.

Оборудование урока:



аппаратное: компьютерный класс, проектор, экран;



программное: авторские презентации учителя и учащихся,

Ход урока:

Величие человека – в его

способности мыслить.

Б. Паскаль

1.

Психологически организационный момент

.

Ребята, ни для кого не секрет, что каждая наука оперирует своей

лексикой. Увлекшись изучением с вами последней темы по алгебре, я в

беседе с учителем литературы сказала: «Неважно сколько ученик знает, но

важно, чтобы у него была положительная производная». Коллега не поняла

1

меня. А вы можете прояснить мою фразу? (Это означает: важно, чтобы

скорость приращения знаний у ученика была положительна – это залог того,

что его знания возрастут). Подумайте, как бы вы могли охарактеризовать три

разные кривые роста знаний, изображённые на рисунке.

Какую

аналитическую

деятельность

вы

сейчас

осуществляли

относительно функций? (Исследование). Для чего нужно исследование

функций? (Для построения графиков). Так какова тема нашего урока?

Тема нашего занятия – исследование функции и построение графиков

с помощью производной.

Давайте запишем дату и тему урока в тетрадь. Как вы думаете, ребята,

какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)

Цель

урока

–

научиться

строить

график

функции,

применяя

производную для исследования функции.

Актуализация опорных знаний (работа в Графере )

В классе заранее были определены 3 группы учащихся, каждая группа

получила задание для мини-проекта

Построить

графики

функций

и,

используя

графики,

найти

точки

экстремума (заполнить таблицу):

№ Функция

Точки минимума

Точки максимума

2

Х

min

Х

max

1)

У=

√

2 х

−

х

2

−

2

2)

у=х

3

-9х

3)

у=х

3

-6х

2

+9х-4

4)

У=

1

4

х

4

-2х

3

-3

5)

у=

2

х

+

х

2

2.

Представление мини-проектов учащихся

(Далее учащиеся представляют результаты своих проектных работ)

Проект №1 «Построение графика функции на компьютере»

Трудно найти черную кошку в тёмной

комнате, особенно если ее там нет.

Задание: построить график функции

f

(

x

)

=

√

2 х

−

x

2

−

2

с помощью

виртуальной лаборатории «Графики функций».

Мы сейчас ввели эту функцию в редактор формул Графера. При

выполнении задания возникла проблема, мы столкнулись с тем, что графика

не видно. Мы пытались найти ошибку

в записи функции и

изменять

масштаб, но график не отображался.

Почему

же

компьютер

не показывает

график?

Мы

поняли,

что

необходимо исследовать, поведение функции. Начали традиционно с

выяснения

области

определения

функции

и

получили

неожиданный

результат. Подкоренное выражение отрицательно при всех значениях

аргумента. Следовательно, график заданной функции не отображался из-за

того, что ни при каком действительном значении х функция не определяется.

Вывод:

для уточнения графика, важно использовать все этапы

исследования функции.

Нахождение области определения

функции далеко

не формальный этап

исследования. Он поможет

3

вам не оказываться в роли человека, ищущего черную кошку в тёмной

комнате.

Проект №2 «Нахождение точек экстремума по графику функции»

Точность – вежливость королей.

Задание: построить графики функций на компьютере с помощью

Графера и определить по графику их точки экстремума:

а)

f

(

x

)

=

x

3

−

9 x

;

б)

f

(

x

)

=

x

3

−

6 x

2

+

9 x

−

4

Один из учащихся работает на компьютере с проектором. Он

представляет своё решение классу и отмечает, что при определении точек

экстремума возникла проблема: для функции б) найти точки экстремума с

помощью построения графика на компьютере можно точно, а для функции а)

– лишь приближённо.

а)

x

max

=−

1,7 ; x

min

=

1,7

;

б)

x

max

=

1; x

min

=

3

Группа учащихся пришла к выводу, что точки экстремума не всегда

можно

определить

точно,

используя

графический

метод.

Разрешить

проблему можно, применяя аналитический метод. Найдем точки экстремума

предложенных

функций,

используя

производную

(учащиеся

приводят

аналитическое

решение

проблемы)(ученик

на

интерактивной

доске

выполняет вычисления и заносит их в таблицу)

а)

x

max

=−

√

3 ; x

min

=

√

3

;

б)

x

max

=

1; x

min

=

3

Вывод:

аналитический способ нахождения точек экстремума более

совершенный по сравнению с графическим. Использование аналитического

способа поможет нам быть точными, как короли.

Ранее мы уже рассматривали вопросы об исследовании функций,

основным объектом исследования для нас

был график, по нему мы

определяли свойства функции.

Но в рассмотренных примерах

4

мы убедились, что график не всегда даёт исчерпывающую информацию о

функции.

Промежуточное подведение итогов

Одним из важнейших этапов построения графика функции является

определение экстремумов функции и, как вы знаете, это удобно делать с

помощью производной. Т.е построить график задав его формулу

и

проанализировать функцию не достаточно.

Возвращаемся к нашим знаниям по исследованию функции

(на экране презент.Алгоритм исследования)

(слайды перепутаны……….)

Сформулируем пункты алгоритма исследования функции на наличие

экстремумов. В презентации «Алгоритм исследования функции на наличие

экстремумов»

слайды

перепутаны

в

последовательности.

Используя

функцию сортировщик слайдов, расставьте слайды в порядке необходимом

для исследования. Мы вспомнили план исследования функции.

Проект №3 «Построение графика функции на основании ее исследования»

Если в конце исследования не видно

следующего – значит, исследование не

доведено до конца

Задание: исследовать на наличие экстремумов функцию f(x)=

1

4

х

4

−

2

х

2

−

3

и построить эскиз её графика.

(Это детская презентация)

1.

D

(

f

)

=

R

.

2.

f

'

(

x

)

=

x

3

−

4 х

=

х

(

x

2

−

4

)

3

f '

(

x

)

=

0

при х=0, х=2, х=-2

(

−∞

;

−

2

)

–2

(

−

2; 0

)

0

(

0 ; 2

)

2

(

2;

+∞

)

f

'

_

0

+

0

_

0

+

5

f



-7



-3



-7



min

max

min

Нанесли полученные точки на координатную плоскость. Возникает

проблема: какой линией соединить имеющиеся точки графика, чтобы она

более точно передавала свойства заданной функции? Мы нашли 4 варианта

соединения точек. Какой из них верный?

1

2

3

4

6

Ответить на вопрос, можно вспомнив, что во всех найденных точках экстремумов

производная равна нулю. Значит, касательные к графику функции в этих точках должны

быть параллельны оси ОХ. Это возможно только на рисунке 4. Таким образом, линия

представленная на рисунке 4 наиболее точно отражает свойства заданной функции.

Проверить наш вывод можно, построив график предложенной функции на компьютере

Далее: f(x)=

1

4

х

4

−

2

х

2

−

3

f (4)=1/4*256-32-3=29

f (-4)=29,т.к. : f(x)=

1

4

х

4

−

2

х

2

−

3

------четная

Вывод: строить график можно, исследуя функцию с помощью производной, при

этом нужно использовать не только координаты точек экстремума, но и всю

аналитически найденную информацию.

3.

Углубление изучаемой темы.

(объяснение учителя)

Аппарат производной позволяет определить, как соединить две полученные точки –

по прямой, выпуклостью вниз или выпуклостью вверх.

Для этого используют вторую производную функции.



Если вторая производная в точке х

о

равна 0, то х

о

-

точка перегиба.



Если вторая производная на интервале больше 0, то

на этом интервале график обладает выпуклостью вниз.



Если вторая производная на интервале меньше 0, то

на этом интервале график обладает выпуклостью вверх.

Продолжим уточнение построения графика рассматриваемой функции f(x) : f(x)=

1

4

х

4

−

2

х

2

−

3

Так как

f

'

(

x

)

=

x

3

−

4 х

, то

f left (x right )={}} {

¿

3х

2

-4,

f left (x right )=0} {

¿

при х=-

2

√

3

, х=

2

√

3

7

Причём, при х< -

2

√

3

и х >

2

√

3

вторая производная больше 0, то есть на этих

интервалах график обладает выпуклостью вниз.

При -

2

√

3

< х <

2

√

3

вторая производная меньше 0, то есть на этом интервале график

обладает выпуклостью вверх. (презентация «Выпуклость»)

4.

Первичное закрепление (работа в Гравере)

Постройте график функции у=х

2

Назовите точку минимума, промежутки возрастания и убывания этой функции.

Постройте

график

производной

этой

функции,

подтвердите

по

признакам,

сделанные выводы.

Что можно сказать о выпуклости графика функции у=х

2

? Постройте график второй

производной этой функции, подтвердите по признаку, сделанный вывод.

(Самостоятельно работая на компьюторе, исследуйте особенности функции )

5.

Итог урока.

Какие выводы мы сделали сегодня на уроке:



для уточнения графика, важно использовать все этапы исследования

функции



аналитический способ исследования функции более совершенный по

сравнению с графическим



при построении графика при помощи исследования функции с помощью

производной

нужно

использовать

всю

аналитически

найденную

информацию

сам. работа показала неплохой результат нашей работы на уроке.

Повторили способы исследования функции ,которые помогли построить сам

график

Чтобы приращение ваших знаний по теме было положительным, работая дома,

постарайтесь выполнить максимально посильную для себя работу.

6.

Домашнее задание.

8

Исследуйте

любую

из

предложенных

функций,

на

основе

проведённого

исследования постройте графики этой функции в тетради, затем проверьте посторенние

графика с помощью компьютера.

Задания а) – среднего уровня,

б)- уровня выше среднего,

в) – высокого уровня1 вариант

а) у=(х+1)

2

(х-2)

б) у=

х

2

+

5

2

−

х

в) у=

х

2

√

1

−

2 х

Закончить наш урок я хочу словами идеолога современной информатизации

обучения

Андрея

Петровича

Ершова:

«Ум

компьютера

–

это

ум

человека,

воплощенного в программу».

Никакая машина не заменит труд человека, но

компьютер может сделать его более эффективным и интересным.

С такой приятной мыслью мы заканчиваем урок.

Всем спасибо. Всего хорошего!

9