Тема урока: «Равносильность уравнений.Гармония природы»

Цели урока: закрепить навыки преобразования данного уравнения в

уравнение-следствие; ввести представление о потери корней и проверки

корней.

Ход урока:

1.

Организационный момент.

2.

Приветствие, сообщение темы и задач урока.

3.

Класс разбивается на группы по 4 человека, между которыми

распределяются соответствующие функции.

4.

Фрагмент фильма о гармонии в природе

.

Учитель: О чем повествует этот фильм? А каков же наш мир? В каких

отношениях находится человек с окружающим миром?

Нет ничего интереснее , чем наблюдать за самим собой: вот гордость в тебе

пошевелилась; пороки шепчутся , а вот зажглось в тебе зарево от святой

глубины существования. И это - ты, один в одном себе объединяющий и в

глубине сам с собой борющийся.

Все компоненты в природе пребывают в равновесии с окружающим миром и

создают гармоничные системы. Необходимость в поддержании баланса

обязывает каждого.

2.Как вы думаете: о чем мы будем сегодня говорить? Учитель сообщает тему

урока.(слайд 2)

Попробуем определить невидимую грань между двумя этими понятиями и

нечто общее, что их объединяет.(слайд 3)

Учитель: В чем единство математики и природы?

-в равновесии (в человеческих отношениях; баланс между потребностями и

их употреблением; между тем, что отдавать и принимать; наличие мужского

и женского начал …)

Так в чем же проблема?( Слайд 4)

Сейчас попытаемся задать себе вопросы, ответы на которые составят

гипотезу для решения данной проблемы.

Вопрос 1: Что такое гармония? Что такое равносильное уравнение и

уравнение следствие?

Гармония- это условия жизни, в которых люди могут свободно следовать

своим желаниям.

Гармония (греч. – связь, стройность, соразмеренность), слияние

различных компонентов объекта в единое органичное целое.

Учитель: На каждом уровне сознания будет свое понимание «Золотой

середины» и стремиться к ней мы будем до тех пор, пока будем

развиваться.

«Золотая середина» – это значимая высота духовного и личностного роста,

которая заключается в умении соблюдать внутреннюю целостность,

спокойствие и мир в большинстве жизненных ситуаций, а не впадая в

крайности.

Вопрос 2: Каковы критерии духовного роста?

Учащиеся:- чистота в мыслях и действиях;

-терпение; смирение; доброта;

-возврат к природе;

-любовь и т. д

Учитель: Но никто не идеален, у каждого есть список вещей , которые

нарушают внутреннюю гармонию, заставляют нас злиться и нервничать.

Вопрос 3: Поговорим о причинах нарушения гармонии.

Все мы стремимся к благам и удовольствиям. Этот мир предлагает нам

разные пути достижения поставленных целей.

Учащиеся: -Отсутствие теплоты во взаимоотношениях - главная причина

нарушения гармонии;

- Любое общество – это конфликт интересов. Всегда найдется тот, кто будет

командовать, завидовать, поучать…

Учитель:

Наш мир можно сравнить с разлаженными часами. Но ведь и их можно

настроить и мир начнет жить в гармоничном ритме и все его элементы будут

взаимодополнять друг друга.

Так как для самореализации личности часто необходимо быть компетентным

в разных сферах человеческой деятельности и творчества, то человек

становится недовольным жизнью.

Вопрос 4: Когда же придет время «Золотой середины?

Чистить мир можно как физическом и духовном уровне. А вот как именно –

это уже от каждого по способностям.



Старая китайская поговорка гласит: «Если есть гармония в доме –

будет гармония в государстве; будет гармония в государстве – будет

мир в мире» (Гипотеза) .



Учитель:

Вновь смотрю я на небо высокое.

Где-то там, в запредельных верхах

Нечто умное, вечное, строгое

Разбирается в наших грехах.

Параллельно с поставленными философскими вопросами задаются и

математические вопросы по предложенной теме, используя ранее

полученные знания или находят ответы из учебника ив интернете.

Вопрос 1. Что такое равносильное уравнение и уравнение следствие?

Определение.

Уравнения f (x) = g (x) и f

1

(x) = g

1

(x) называются равносильными, если любой

корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот,

или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения

равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Если каждый корень уравнения f (x) = g (x) (1) является в тоже время корнем

уравнения f

1

(x) = g

1

(x) (2) , то уравнение (2) называют следствием уравнения

(1).

Вопрос 2.Как узнать , является ли переход от одного уравнения к другому

равносильным преобразование?

Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и

методов решения уравнений, а именно:



преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя,

приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную

натуральную степень и т. д.),



разложения на множители (формально этот приём относится к

преобразованиям,

но,

так

как

он

довольно

часто

встречается

самостоятельно, мы его выделяем особо),



введения вспомогательных неизвестных,

уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое

главное, равносильному уравнению f

1

(x) = g

1

(x)

Теоремы о равносильности уравнений



Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в

другую с противоположным знаком, то получится уравнение,

равносильное данному:

или

;



Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же

отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное

данному:

;



Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то

получится уравнение, равносильное

данному:

;



Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение,

имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то

получится уравнение, равносильное

данному:

,

;



Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же

выражение

, имеющее смысл для любого x из области

определения, то получится уравнение, равносильное

данному:

если

;

,

если

.

Вопрос 3: Откуда появляются посторонние корни? Что

приводит к потере корней?

Ответ: 1. Причины расширения области определения:

- освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей,

содержащих переменную величину;

- освобождение от знаков корней четной степени;

- освобождение от знаков логарифмов.

2.Причины потер корней:

- деление обеих частей уравнения на одно и тоже выражение, содержащее

переменную величину;

- сужение ОДЗ в процессе решения уравнения;

- применение обратных функций.

Вопрос 4: как перейти к равносильному уравнению или системе?

-

проверка корней;

-возможности ОДЗ.

Учитель предлагает учащимся изобразить модель «гармонии природы и

равносильности уравнения»

Проверочная работа.

Учащиеся работают по карточкам.

Карточка 1

Карточка 2

1. Докажите, что уравнение не имеет корней.

2. Решите уравнение, применяя теоремы о равносильности уравнений:

Карточка 3

Карточка 4

1. Докажите, что уравнение не имеет корней.

2. Решите уравнение, применяя теоремы о равносильности уравнений:

Модель в стихах:

Гармония важное свойство в природе,

Гармония в людях или в погоде.

Гармония-это огонь и вода,

Гармония – это Земля и луна.

Бывают гармонии в небе и в море,

Мир наступает и в радости, в горе.

Есть гармоничность в восходе, в закате,

Бывает гармония даже в зарплате.

Сотни гармоний во всех поколеньях,

Но есть равносильность и в уравнениях.

Как сохранить гармонию в них,

Линейных, квадратных и многих других…

Деление – это одна из идей,

Но это ведет к потере корней.

Умножить все части – тоже решенье,

Но это добавит корней в уравнение.

Возведение в степень – изумительный путь.

Но сделать проверку, ученик, не забудь.

Перенос из частей, больше никак,

Но помни: при этом меняется знак!

Есть варианты, куча решений…

Выбирай ученик на свое усмотренье.

Но помни, товарищ, всегда и везде,

Не решить уравнения без ОДЗ!

(Казакевич Павел, 11б класс)

Приложение 1. Карточки с заданиями для работы в группах по закреплению полученных знаний.

Гармония природы

Равносильность

уравнений.

Содержание

1.Понятие гармонии

1. Понятие равносильности

уравнений и уравнения-

следствия.

Уравнения равносильны, если они

имеют одно и то же множество корней.

Если каждый корень уравнения

f (x) = g (x) (1) является в тоже время

корнем уравнения f

1

(x) = g

1

(x) (2) , то

уравнение (2) называют следствием

уравнения (1).

2.Каковы критерии

духовного роста и

внутренней гармонии?

2.Как перейти к более

простому уравнению или

системе, сохранив

равносильность?

Четыре правила сведения уравнения к

равносильному.

Теоремы о равносильности уравнений.

3. Каковы причины

нарушения гармонии?

3.

Что способствует

нарушению равносильности

уравнений ?

Причины расширения области

определения.

Появление посторонних

корней.

Причины потери корней при решении

уравнений

Проверка корней.

ОДЗ.

1. Уравнения, содержащие модуль

Пример 1.1

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Пример 1.2

Решите уравнение 2|x

2

+ 2x – 5| = x – 1.

Пример 1.3

Решите уравнение

2. Показательные уравнения.

Пример 2.1

Решите уравнение

Пример 2.2

Решите уравнение

Пример 2.3

Решите уравнение

3. Логарифмические уравнения

Пример 3.1

Решите уравнение

Пример 3.2

Решите уравнение

Пример 3.3

Решите уравнение

4. Тригонометрические уравнения

Пример 4.1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Пример 4.2

Решите уравнение sin

2

x – 6 sin x cos x + 5 cos

2

x = 0.

Пример 4.3

Решите уравнение arccos x = arctg x.

5. Иррациональные уравнения.

5.Иррациональные уравнения:

Пример 5.1

Решите уравнение

Пример5. 2

Решите уравнение

Пример 5.3

Решите уравнение

Приложение 2.

Проверочная работа.

Учащиеся работают по карточкам.

Карточка 1

Карточка 2

1. Докажите, что уравнение не имеет корней.

2. Решите уравнение, применяя теоремы о равносильности уравнений:

Карточка 3

Карточка 4

1. Докажите, что уравнение не имеет корней.

2. Решите уравнение, применяя теоремы о равносильности уравнений:

Приложение3. Решения заданий.

1. Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с

модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример 1

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –

4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:

1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5.

Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На

рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на

каждом из трёх промежутков.

Рисунок 3.1.8.1

1.

x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно,

С

учётом этого уравнение принимает вид

x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.

2.

–4 < x ≤ 5.

Этот

корень

удовлетворяет

нужным ограничениям.

3.

3.

x > 5.

Этот корень не удовлетворяет нужным

ограничениям.

Ответ. −25; 3.

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты

(линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее

уравнение с модулем вида

|f (x)| = g (x),

(9)

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе

уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие

равносильности можно переписать так:

Пример 2

Решите уравнение 2|x

2

+ 2x – 5| = x – 1.

Решение

Этому уравнению соответствуют два

уравнения 2(x

2

+ 2x – 5) = x – 1 и 2(x

2

+ 2x – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно

отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем:

1.

Корни этого уравнения

и x = –3, из которых подходит первый

корень.

2.

Корни этого уравнения

Опять подходит только

первый корень, так как второй заведомо отрицателен.

Ответ.

В случае вложенных знаков модуля применим этот метод несколько раз. Здесь тоже можно

рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений

которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных

решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

которые можно переписать в виде

(*)

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

что приводит к четырём уравнениям:

Отсюда получаем 4 решения:

среди которых содержатся

корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это

проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при

этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень

должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть

отрицательна.

Ответ. 3.

2. Показательные уравнения.

Пример 1

Решите уравнение

Решите уравнение

Пример 3

Решите уравнение

Пример 1

Решите уравнение

Решение

Так как

то, делая

замену

получаем квадратное уравнение

корни которого

и

Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t > 0.

Получаем уравнение 1-го типа:

Ответ.

Уравнения вида a

f (x)

= a

g (x)

, a > 0, a ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно

уравнению f (x) = g (x).

Пример 2

Решите уравнение

Решение

Так как

и

то уравнение

можно записать в виде

Следовательно, исходное уравнение

равносильно иррациональному уравнению

Имеем:

Отсюда следует, что

то есть x = 25; во втором случае

− решений нет.

Ответ. 25.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид

что равносильно

уравнению

Ответ. 1, –1.

3.Логарифмические уравнения

Пример 1

Решите уравнение

Пример 2

Решите уравнение

Пример 3

Решите уравнение

Пример 1

Решите уравнение

Решение

ОДЗ данного уравнения:

Выполним цепочку преобразований,

равносильных в ОДЗ.

1) 3x – 4 = 0,

− входит в ОДЗ.

2)

(x + 1 > 0 в ОДЗ),

x = 0 − не входит в ОДЗ.

x = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3,

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Очевидна замена 6 sin x + 4 = t > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся

логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:

Ответ.

Пример 2

Решите уравнение

Решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения:

или

Потенцируя по основанию 10, имеем

откуда x = –8, x = –

10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x = –10 является

корнем.

Ответ. x = –10.

4. Тригонометрические уравнения

Пример 1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Пример 2

Решите уравнение sin

2

x – 6 sin x cos x + 5 cos

2

x = 0.

Пример 3

Решите уравнение arccos x = arctg x.

Пример 1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Решение

Воспользуемся формулой приведения

получаем

По формуле разности синусов имеем

Следовательно, либо

то есть

либо

то

есть

Ответ.

Пример 4

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Решение

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для

этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так

как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1.

Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0,

имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn,

Ответ. x = arctg 2 + πn,

Пример 2

Решите уравнение sin

2

x – 6 sin x cos x + 5 cos

2

x = 0.

Решение

Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно

убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos

2

x,

получим

tg

2

x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x:

t

2

– 6t + 5 = 0.

Корни этого уравнения:

и

Уравнение

имеет

решения

Уравнение tg x = 5 имеет решения

Ответ.

Решите уравнение arccos x = arctg x.

Решение

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем

Так как область определения данного уравнения − множество

то:

Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение:

Так как x > 0, то

Ответ.

5. Иррациональные уравнения.

Пример 1

Решите уравнение

Пример 2

Решите уравнение

Пример 3

Решите уравнение

Пример 1

Решите уравнение

Решение

Совершенно понятно, что поиск ОДЗ в данном примере сопряжён с огромными

трудностями. Однако попробуем решить это уравнение непосредственно. Поскольку мы

будем лишь возводить в квадрат, то ОДЗ может лишь расшириться, то есть могут

появиться посторонние корни. Однако эти корни мы можем отсеять проверкой. Имеем:

Проверкой убеждаемся, что из двух найденных корней подходит только 1. Так как при

возведении в квадрат мы не могли потерять решения, а могли только их приобрести, то

1 и есть окончательный ответ.

Ответ. 1.

Пример 2

Решите уравнение

Решение

В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит

несомненную пользу. В самом деле, ОДЗ:

Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ

решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два

числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно

полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является

решением уравнения, а x = 1− является.

Ответ. 1.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Перейдём сразу к равносильной системе.

Ответ.