Интегрированный урок математики с физикой

Урок алгебры в 11 классе.

Учебник. Алгебра и начала анализа 11 класс. УМК А.Г. Мордкович.

Тема «Приложение интеграла в физике».

Цели урока:

Образовательные: формирование умений применять интеграл при решении физических

задач; научиться составлять текстовые задачи.

Развивающая: развитие внимания, математического мышления, речи, умения творчески

работать с дополнительной литературой.

Воспитательные: формировать

интерес

к

полученным

знаниям,

воспитание

самостоятельности,

активности;

формирование

навыков

групповой,

индивидуальной

деятельности в сочетании с самостоятельностью учащихся.

Тип урока: закрепления знаний

Средства

обучения:

презентация,

дидактический

материал,

компьютер,

интерактивная доска.

Структура урока: организационный момент, мотивация, актуализация, закрепление

учебного материала, информация о домашнем задании, рефлексия (подведение итогов

урока).

1. Вступление.

Мы изучили тему «Интеграл и его приложения». На протяжении нескольких недель

вы учились составлять текстовые задачи по данной теме и применять интеграл при решении

физических задач. То, что сказано мною в двух фразах включает в себя знания большого

теоретического материала и большую практическую работу, творческую, тесно связанную

с дополнительной литературой. Все это мы увидим и услышим на уроке.

На протяжении всей темы неоднократно мы говорили о том, что многие ученые

работали в области интегрального исчисления. Однако до Ньютона и Лейбница самого

исчисления не было. И только они оформили общий метод. Было сделано главное: создано

дифференциальное и интегральное исчисление.

«Поворотным

пунктом

в

математике

была

Декартова

переменная

величина.

Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому

же

стало

немедленно

необходимым

дифференциальное

и

интегральное

исчисление,

которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено

Ньютоном и Лейбницем» (Ф. Энгельс).

В

развитии

интегрального

исчисления

приняли

участие

и

русские

ученые

Остроградский,

Буняковский,

Чебышев.

Принципиальное

значение

имели

результаты

Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные

функции. Чебышеву принадлежат слова «Сближение теории с практикой дает самые

благотворные результаты, и не она только практика от этого выигрывает, сами науки

развиваются под влиянием ее».

Несмотря на то, что понятие интеграла связано с площадью, использовать его можно

при решении многих задач, не связанных с вычислением площади. Математика – наука

независимая, развивающаяся по своим внутренним законам, не связанным с решением

физических задач, с исследованием природы. Ричард Фейнман, лауреат Нобелевской

премии по физике, говорил по этому поводу: «Когда в физике проблема оказывается

трудной, мы можем заглянуть к математикам – вдруг они имеют готовые доказательства?

Но их может и не оказаться. Тогда нам самим придется изобрести доказательства и потом

передать

их

математикам».

И

в

этом

непрерывном

обмене

идеями,

в

постоянном

взаимодействии двух наук, обогащающем и способствующем развитию обеих, - залог их

плодотворного и успешного развития.

Большая часть явлений физики описывается исключительно дифференциальными

уравнениями. Именно поэтому в условиях безудержного разбухания содержания нашего

образования, учебных

перегрузок мы

проводим

интеграцию математики

и физики и

одновременно работаем над темой «Приложение интеграла в физике».

Цель

урока

сегодня:

творчески

переосмыслить

уже

полученную

информацию,

устранить психологические барьеры, мешающее видеть вам общее в разных областях

знаний, разбудить личный интерес к получаемым знаниям, создать уверенность в своих

силах,

научить

самостоятельному

освоению

совершенно

новых

областей

знаний,

«погрузить» в сотворческую исследовательскую деятельность, которая приведет к зримому

успешному результату – сборнику авторских задач с решениями «Приложения интеграла в

физике».

Поэтому

девизом

сегодняшнего

урока

можно

считать

утверждение

Кузьмы

Пруткова

«Во всем подслушать жизнь стремясь,

Спешат явленья обездушить,

Забыв, что если в них нарушить одушевляемую связь,

То больше нечего и слушать».

А нам сегодня есть, что слушать, так как мы сегодня представляем панораму ваших

авторских задач. Вы работали в течении месяца, и сегодня можно уверенно сказать, что вы

не обманули наших ожиданий. Входящие в сборник исследовательские задачи имеют

разный уровень сложности, ясную и интересную постановку, которая сама мотивирует к

решению. Каждая задача прорецензирована, и мы можем отметить самые интересные и

сложные задачи. (называются авторы этих задач).

2. Выступление учащихся составивших наиболее интересные задачи.

Приложение 1.

3. Самостоятельная работа по сборнику составленных задач. Заполнение аттестационного

листа (работа в парах). Приложение 2.

4. Домашнее задание учащиеся получают в ходе выступления одного из учащихся.

5. Ваша деятельность на протяжении этих недель включала в себя выдвижение гипотез,

математическую

и

компьютерную

обработку

данных,

анализ

информационных

источников,

коммуникативные

умения.

Приоритетами

являются

основные

умения

и

навыки исследовательской индивидуальной деятельности.

Мы поздравляем вас, вы справились с очень трудным заданием, так как умение

составлять задачу – высшая музыкальность в области мысли. (Сообщаются оценки за урок.)

Приложение 1.

Некоторые примеры составленных учениками задач.

1. Египетские пирамиды (Пирамида Хефрена)

«Семь чудес Света» - так в античном мире названы семь знаменитейших в те времена

памятников зодчества и ваяния. Одним из чудес были пирамиды Гизэ. Самые знаменитые

из них и самые значительные по размерам – это пирамиды трех фараонов IV по счету

египетской царской династии, и среди них выше всех и величественней – пирамида фараона

Хуфу, или Хеопса, как называли его греки. Во всем мировом искусстве нет, быть может,

памятника

зодчества,

в

котором

великий

замысел

нашел

бы

более

точное,

более

могущественное и в то же время более лаконичное воплощение. Трепет восхищения

вызывали эти усыпальницы в форме гигантских кристаллов у древних египтян, и те же

чувства испытываем мы сейчас перед ними. Пирамиды воздвигались во славу царей, но в

них нашла выражение могучая, хотя, быть может, и бессознательная творческая воля целого

народа. Знаем мы имя создателя пирамиды фараона Джосера, самой ранней из египетских

пирамид, воздвигнутой около пяти тысяч лет назад. Его звали Имхотеп. Древние египтяне

навсегда сохранили память о нем, почитая его не только как зодчего, но и как врача,

астронома и мудреца.

Самой

большой

и

известной

является

пирамида

фараона

Хуфу

(Хеопса),

построенная в первой половине III тысячилетия до н.э. Не менее знаменитая пирамида –

усыпальница фараона Хефрена (сына Хеопса).

Высота пирамиды, сложенной из блоков известняка плотностью 2,5 г/см, составляет

215 метров, а длина стороны основания равна 143,5 метра. Строили саму пирамиду 20 лет,

а дорогу для доставления каменных глыб из каменоломен на берегах Нила – 10 лет. Найдем

работу, затраченную на постройку пирамиды.

Дано:

𝜌

= 2,5

г

см

3

= 0,0025

/

кг м

3

;

Н = 215 м;

𝑎

= 143,5

;

м

g = 9,8 Н/м

Найти : А.

Решение.

Пусть OS = Н. Сторона основания –

𝑎

, а сторона сечения – у, расстояние от

основания до сечения – х.

Составим отношение

−

Н х

Н

=

у

𝑎

, откуда

=

у

𝑎

(

−

Н х

)

Н

.

Получим функцию

𝑓

(

𝑥

)

=

=

у

𝑎

(

−

Н х

)

Н

.

Тогда работа будет равна

А =

∫

𝜌

Н

0

g

у

2

𝑑𝑑

= 𝑑g

хх

∫

(

𝑎

(

−

Н х

)

Н

)

2

𝑑

=

х х

Н

0

𝜌

g

𝑎

2

Н

2

∫

(

Н

2

− 2

+

Нх

х

2

)

𝑑

=

х х

Н

0

𝜌

g

𝑎

2

Н

2

∫

(

хН

2

− 2

Нх

2

+

х

3

)

𝑑

х

Н

0

=

g

𝜌

𝑎

2

Н

2

(

Н

2

х

2

2

−

2

Нх

3

3

+

х

4

4

) 𝑑

0

Н

=

𝜌

g

𝑎

2

Н

2

12

=

=

0,0025 ∙ 9,8 ∙ 143,5

2

∙ 215

2

12

= 1943414,9

≈ 1,94

Дж

МДж

Итак, для постройки пирамиды было затрачено

1,94

МДж

.

Ответ:

1,94

МДж

.

2. Пусть работают приливы.

В современных условиях, когда используется огромное количество электрической

энергии, встает вопрос поиска и применения дешевых, экологически чистых и более

𝑎

х

у

О

S

маневренных, возобновляемых природных источников энергии. Однако все эти огромные

генераторы

электрического

тока

являются

сложными

и

дорогими

устройствами,

и

себестоимость

1 кВт/час энергии на них высока. Следовательно, перед ученными возникла проблема, как

удешевить

и

наиболее

полно

использовать

энергию

природы.

Очень

выгодно

и

перспективно

добывать

электроэнергию

из

морских

приливов.

КПД

приливных

электростанций

составляет

целых

90%.

И

они

экологически

чистые, практически

не

загрязняют окружающую среду.

Не так давно построена совсем принципиально новая конструкция гидроагрегата,

отличающаяся от традиционной тем, что ось рабочего колеса в ней не параллельна, а

ортогональна (перпендикулярна) поступающему потоку воды, благодаря чему гидроагрегат

и сопрягающиеся с ним узлы станции существенно упростились и подешевели почти в два

раза, по сравнению с обычной ПЭС. Новая конструкция колеса позволила настолько

упростить изготовление его лопастей, что их можно производить уже практически в любой

механической мастерской.

В нашем округе бывают проблемы с электроэнергией. А что если такую ПЭС

расположить у нас, например, в Обской губе. Площадь нашего небольшого моря целых

55000

кв.

км.

Приливы

достаточно

высоки.

Новейшая

ПЭС

может

обоспечить

электроэнергией весь Приуральский район, а также Салехард и Лабытнанги. Ведь такая

ПЭС экологически чище, чем конденсационные, газотурбинные или тем более тепловые

электростанции, и дешевле. Ведь ее не нужно строить, а достаточно на буксирах перегнать

по морю к нам. Но к сожалению, река вскрывается полностью 1 июня, а в середине ноября

– осенний ледоход. Значит, Обская губа останется открытой всего 152-171 день, то есть

2

5

года. А что же в остальные

3

5

года электроэнергию не получать? Следовательно, такая

электростанция не рентабельна в наши дни.

Рассмотрим

задачу.

В

приливной

гидроэлектростанции

ось

рабочего

колеса

перпендикулярна поступающему потоку воды и равна 12м.Радиус цистерны, в которую

вода поступает с плоскости основания, равна 4 м. Найти работу, произведенную водой.

Дано:

Н= 12 м;

R = 4 м;

g = 9,8 Н/м;

𝜌

= 1000

/

кг м

3

;

Н

0

= 0 .

м

Найти: А.

Решение.

Работа, затраченная водой на заполнения цистерны будет равна

А =

∫

𝜌

12

0

g S

𝑑𝑑

= 𝑑g S

НН

Н

2

2

𝑑

0

12

= 1000 ∙ 9,8 ∙ 3,14 ∙ 4

2

∙

12

2

2

= 35449344

≈ 35,45

.

Дж

МДж

Ответ:

35,45

.

МДж

Приложение 2. Аттестационный лист.

Интегрирующая цель: после изучения темы должны

Знать

Баллы

1

Определение первообразной

2

Геометрический смысл интеграла

3

Формулы интегрирования

4

Формулу Ньютона-Лейбница

5

Законы физики, используемые при интегрировании

Уметь

1

Применять интеграл для нахождения:

Перемещения тела

Механической работы

Работы газа

Работы против силы тяжести

Работы ЭП по перемещению заряда

Заряда конденсатора колебательного контура

2

Составлять текстовые задачи

3

Объективно

оценивать

свои

знания

и

знания

одноклассников

Сумма баллов

Оцените свою работу на уроке: «5» - 12 баллов; «4» - 11 баллов; «3» - 10-7 баллов.