Бюджетное общеобразовательное учреждение Сокольского муниципального

района «Средняя общеобразовательная школа №3»

Проект

Задачи на игры и стратегии

Авторы проекта:

учащиеся 9 «А» класса

Руководитель проекта:

учитель математики

Ершова Е.Н.

г.Сокол

2018

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………………2

1.Занятие№1.Игры-шутки…………………………………………………….................3-4

2.Занятие№2.Выигрышные и проигрышные стратегии…………………….................5-6

3.Занятие№3.Решение игр при помощи симметричной стратегии…………………...7-8

4.Занятие№4. Решение задач с помощью переключения рядов……………………..9-11

Заключение……………………………………………………………………...................12

Список используемой литературы……………………………………………………….13

ВВЕДЕНИЕ

Дети любят играть! Поэтому у школьников, не только младших классов, большой интерес

вызывают задачи – игры. С их помощью учитель может внести в урок или занятие элемент

развлечения: устроить турнир, сеанс одновременной игры, наконец, просто дать ребятам поиграть.

В то же время такие задачи содержательны. При изложении их решения школьники обычно

испытывают большие трудности. Поэтому задачи-игры очень полезны для развития разговорной

математической культуры и четкого понимания того, что означает «решить задачу».

Такие виды задач очень интересны и полезны школьникам, их можно использовать на

различных занятиях внеурочной деятельности, факультативах, ну и конечно в школьных

олимпиадах.

Мы представляем проект по математике на тему «Задачи на игры и стратегии».

Тема нашего проекта достаточно актуальна в настоящее время и вот почему.

Задачи на игры и стратегии являются неотъемлемой частью олимпиадной математики в школе. Мы

заметили, что эти задачи вызывают интерес не только у нас, но и у взрослых людей, например, у

наших родителей. Но при изложении решений игровых задач возникают затруднения. Да,

действительно. Ведь необходимо, во-первых, придумать и грамотно сформулировать стратегию, а

во-вторых, доказать, что она действительно ведёт к выигрышу. Логика нужна любому специалисту,

будь он математик, медик или биолог. Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от

лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно

человеку.

Целью нашего проекта было разработать несколько занятий внеурочной деятельности по

математике для учеников 7 классов по теме «Задачи на игры и стратегии», подобрать конкретные

задачи по данной теме и показать способы их решения.

В соответствии с обозначенной выше целью, проект имеет следующие задачи:

-изучить литературу по теме работы;

-систематизировать теоретический материал, связанный с играми и стратегиями;

-разработать 4 занятия внеурочной деятельности по математике по каждому типу для учеников 7

классов;

-отобразить решение задач

Под понятием математической игры мы понимаем состязание двух соперников,

проходящие по определённым правилам. В каждый момент игры состояние характеризуется

позицией, которая может изменяться только в зависимости от ходов игроков. Для каждого из

игроков некоторые позиции объявляются выигрышными. Добиться выигрышной для себя позиции

и есть цель каждого. Иногда игры допускают ничью. Например, шахматы, шашки, крестики-нолики

и многие другие являются математическими играми.

В математических играх существует понятие выигрышной стратегии, т.е. набора правил

(можно сказать, интуиции и алгоритма), следуя которым, один из игроков обязательно выиграет

(независимо от того как играет его соперник), и ничейной стратегии, следуя которой один из

игроков обязательно добьется либо выигрыша, либо ничьей.

Мы осознали, что соображения типа «если он ходит так, то я хожу так» не являются, как

правило, решением игры. Образцы правильных рассуждений мы приведём в данном проекте.

Сделаем ещё несколько терминологических замечаний. Во всех играх предполагается, что играют

двое, ходы делают по очереди (игроки не могут пропустить ход). Ответить всегда надо на один и

тот же вопрос – кто побеждает: начинающий (первый) или его партнёр (второй)?

Все задачи на игры и стратегии мы разделили на 4 темы.

1)

Игры-шутки

2)

Задачи на симметрию

3)

Выигрышные и проигрышные стратегии

4)

Переключения рядов

Занятие 1. Тема занятия: Игры-шутки.

Ход занятия

Сначала мы пояснили, какие вообще задачи мы можем отнести к играм-шуткам и как мы будем их

решать?

«Игры-шутки» - это игры, исход которых не зависит от того, как играют соперники. Поэтому для

решения этой игры не нужно указывать выигрышную стратегию. Достаточно лишь доказать, что

выигрывает тот или иной игрок (независимо от того, как будет играть!)

Разберём несколько задач этого типа. Итак, первая задача!

Задача 1. Двое по очереди ломают шоколадку 6 x 8. За ход можно сделать прямолинейный разлом

любого из куска вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: Основное соображение: после каждого хода количество кусков увеличивается ровно на 1.

Сначала был один кусок. В конце игры, когда нельзя сделать ни одного хода, шоколадка разломана

на маленькие дольки. А их 48! Таким образом, игра будет продолжаться 47 ходов. Последний, 47-й

ход (так же, как и все другие ходы с нечётными номерами) сделает первый игрок. Поэтому он в

этой игре побеждает, причём независимо от того, как будет играть.

Задача 2. В мешке лежат 73 конфеты. Двое берут из мешка по очереди конфеты от 1 до 10. Когда

разобраны все конфеты, игроки подсчитывают, кто сколько набрал конфет. Если эти числа взаимно

просты, то выигрывает первый игрок, в противоположном случае выигрывает второй.

Решение:

Число 73-простое. Все конфеты разделили на две кучки по a и b конфет каждой, т.е. a + b =73.

Могут ли а и b быть всегда взаимно простыми? Т. е. может ли, НОД(а: b) =1

Не знаем.

А могут ли а и b не взаимно простыми?

Если НОД (a:b) = c: c не равно 1, то (a + b) делится на с, но тогда 73 должно делится на с, 73 – это

простое число. Поэтому возникает противоречие. Следовательно, при любом разбиении 73 на два

слагаемых, они взаимно простые. Всегда выигрывает первый.

Задача 3. На доске написано 20 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры.

Если они одинаковые – написать 2.

Если разные – написать 1.

Если последняя, оставшаяся на доске цифра – 1, то выиграл первый игрок, если 2, то второй. Кто

выигрывает при правильной игре?

Решение: Чётность числа единиц на доске после каждого хода не изменяется.

Если стёрли разные цифры и вместо них написали 1, то число единиц не изменилось.

Если стёрли 2 одинаковые цифры и написали двойку, то число единиц либо не изменилось, либо

уменьшилось на 2. Это значит, что независимо от того, как будут ходить игроки, число единиц не

будет увеличиваться и будет чётно.

Значит, когда останется одна цифра, то это будет двойка. Поэтому выигрывает второй игрок(число

цифр при каждом ходе уменьшается).

Задача 4. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное

число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась.

Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

НОД(25;36) = 1

Следовательно, выписываем все числа от 1 до 36.

Так как два числа были написаны сначала, поэтому игра будет продолжаться 34 хода.

В итоге выиграет второй игрок.

Занятие №2. Тема занятия: Выигрышные и проигрышные стратегии.

Ход занятия.

Задача 1. Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть её на любое число клеток вправо или

на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

Решение: Стратегия второго игрока: каждым своим ходом он возвращает ладью на большую

диагональ a1-h8. Первый игрок каждый раз будет вынужден уводить ладью с этой диагонали, а

второй игрок будет иметь возможность вернуть ладью на линию a1-h8. Так как h8 принадлежит

диагонали , то на него сумеет встать именно второй игрок. Он и побеждает в этой игре.

Выделили класс выигрышных позиций( ладья стоит на одной из клеток диагонали a1-h8,

обладающих следующими свойствами:

1) завершающая позиция игры - выигрышная.

2) За ход из одной выигрышной позиции нельзя попасть в другую.

3) Из любой проигрышной позиции за один ход можно попасть в какую-то выигрышную.

Следовательно, к победе ведёт стратегия – ходи в выигрышную позицию. Если исходная позиция

выигрышная, то, как в разобранной задаче, выигрывает второй. В противном случае выигрывает

начинающий.

В играх, которые допускают ничью, может существовать ничейная стратегия – правило,

позволяющее игроку свести любую партию к ничьей или выиграть.

Задача 2. Вася и Петя записывают 14-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего

разряда. Начинает Вася: он выигрывает в том случае, когда получившееся число не делится на 9. В

противном же случае, выигрывает Петя.

Решение: Число 14-значное, содержит чётное число цифр, поэтому последнюю цифру в нём

напишет Петя. Чтобы выиграть, Пете надо позаботиться о делимости числа на 9. Если он будет

дополнять каждую цифру Васи до 9, т.е. когда Вася пишет 0, то Петя пишет 9 и т.д. Следовательно,

после каждой такой пары ходов двух игроков сумма цифр увеличивается на 9, и у 14-значного

числа она равна 7 ∙ 9 = 63. То есть, число разделится на 9. Таким образом, выигрывает Петя.

Применяется стратегия – дополнение до фиксированного числа.

Задача 3. В кучке 2005 спичек. Двое игроков берут по очереди спички от 1 до 9. Выигрывает тот,

который, возьмёт последнюю спичку.

Решение: Чтобы выиграть первому игроку, надо, чтобы перед его последним ходом осталось число

спичек, меньшее 10. Тогда ему следует первым ходом взять 5 спичек, чтобы осталось число,

кратное 10.

После этого, какое бы число от 1 до 9 не взял второй игрок, первый будет это число дополнять до

10. Таким образом, после двух ходов число спичек уменьшается на 10. Игру выигрывает первый

игрок.

Задача 4. Двое играют в игру. Ходы, которые делаются по очереди, заключаются в том, что из кучки

26 камней убирается число камней от 1 до 5. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень. Кто

выиграет в данной игре?

Решение: Чтобы выиграть первому игроку, надо, чтобы перед его последним ходом осталось число

камней, меньшее 6. Тогда ему следует первым ходом взять 2 камня, чтобы осталось число, кратное

6.

После этого, какое бы число от 1 до 5 не взял второй игрок, первый будет это число дополнять до 6.

Таким образом, после двух ходов число камней уменьшается на 6. Игру выигрывает первый игрок.

Задача 5. Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья, которую

они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причём ходить разрешается

только вверх или влево(на любое количество клеток). Кто не может сделать хода, тот проиграл.

Кили ходит первым. Кто выиграет при правильной игре?

Решение: Выигрывает тот, кто ходит вторым, то есть Фили. Для этого ему нужно после каждого

хода Кили ходить так, чтобы ладья возвращалась на главную диагональ, ведущую из правого

нижнего угла в левый верхний. В таком случае после каждого хода Фили ладья будет стоять на этой

диагонали, причём выше, чем после предыдущего хода Фили. Это значит, что рано или поздно

после хода Фили ладья окажется в левом верхнем углу, а значит, Кили будет некуда ходить.

Занятие №3. Тема занятия: Решение игр при помощи симметричной стратегии.

Ход занятия.

Очень простой, но мощный и красивый метод решения игровых задач - симметричная стратегия.

Суть его - делать каждый раз ход, симметричный ходу противника или дополняющий его до чего-

либо. Доказательство правильности нашей стратегии будет пользоваться тем, что после каждого

нашего хода позиция симметрична: раз так, то если противник сумел сделать свой ход, то и мы

сможем сделать ход, симметричный ему.

Во многих задачах применяется одна из основных идей нахождения выигрышных стратегий – идея

осевой или центральной симметрии.

Нужно помнить, что если очередному симметричному ходу может помешать ход, сделанный

противником, то стратегия не может считаться выигрышной. Например, если игрок предлагает

осевую симметрию, а его соперник может своим ходом занять две клетки, симметричные

относительно этой оси. Или если по правилам игры предыдущий ход соперника запрещает сделать

симметричный ход.

Задача 1. Двое по очереди разламывают шоколадку 5 x 10. За ход можно сделать прямолинейный

разлом любого из кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 x 1. Кто

выиграет при правильной игре с обеих сторон?

Решение: Применим симметрию. Ломаем шоколадку пополам, а потом первый из играющих

«повторяет» ход второго игрока на равном куске, который не тронул своим ходом его соперник.

И так будет повторяться до тех пор, пока после хода второго игрока не получится полоска вида 1 x

k. Тогда после этого, первый отломает от него кусочек 1 x 1 и выигрывает.

Задача 2. На столе лежат в один ряд а) 37 пирожных; б) 34 пирожных. Оля и Петя играют в игру: за

один ход разрешается съесть одно пирожное или два лежащих рядом. Выигрывает тот, кто съест

последнее пирожное. Кто выиграет при правильной игре в каждом из пунктов, если первой ходит

Оля?

Решение: а) Выигрывает Оля. Первым ходом она должна съесть центральное (19-е) пирожное, а

после этого ходить - брать пирожные – центрально симметрично, т. е. Оля должна брать пирожные

столько же и на таком же расстоянии от центрального, что и Петя, только с другой стороны.

Б) Выигрывает Оля. Первым ходом она должна взять два центральных пирожных (17-е и 18-е, если

считать слева (или справа)), а затем ходить центрально симметрично. Во всех случаях, согласно

такой стратегии, после каждого хода Оли пирожные будут расположены симметрично, но в любой

симметричной паре они не будут лежать рядом и их нельзя будет взять одним ходом. Значит,

последнее пирожное достанется Оле.

Задача 3. Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном двадцатиугольнике. Из одной

вершины можно проводить не более одной диагонали. Запрещается проводить диагонали,

пересекающиеся с нарисованными ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто

выигрывает при правильной игре?

Решение:

Выигрывает первый игрок. Первым ходом он проводит диагональ, соединяющую

диаметрально противоположные вершины двадцатиугольника. Тогда двадцатиугольник разбивается

на две части, в каждой из которых 9 вершин, причём из одной части в другую диагонали идти не

могут, так как они не должны пересекать первую диагональ. Поэтому теперь первому игроку

достаточно отвечать на ходы второго игрока симметричными ходами в другой половине

двадцатиугольника.

Задача 4. Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так,

чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: В этой игре выигрывает первый игрок, независимо от размеров и формы стола! Первым

ходом он кладет монету так, чтобы ее центр и центр симметрии стола совпали. После этого на

каждый ход своего противника отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что

при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если

возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого.

Следовательно, он побеждает.

Задача 5. На окружности взято 20 точек. Можно за один ход соединить две точки отрезком,

который не пересекает другие отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Решение: Первым ходом провести отрезок, соединяющий 2 точки, разделив количество точек

пополам, а далее отвечать симметричным ходом на каждый ход соперника.

Задача 6. Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход можно взять любое количество камней,

но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Решение: Несложно понять, как действовать игроку, делающему второй ход, чтобы победить в

данной игре: он должен делать точно такие же ходы, как и первый, но только убирать камни он

должен из той кучки, которую не тронул последним ходом его противник. То есть, у победителя

всегда есть ход после хода противника.

Понятна и общая стратегия выигрывающего, когда в кучках произвольное число камней:

-если число камней в кучках равное, то необходимо уравнивать число камней в кучках после хода

начинающего, выполняя симметричные ходы. Выигрывает второй игрок;

-если же число камней в кучках не равное, тогда начинающий своим ходом уравнивает число

камней в кучках и далее действует так же как и в первом случае. Здесь побеждает игрок, делающий

первый ход.

В данной игре симметрия несколько необычная – вроде бы и не симметрия вовсе, однако равенство

камней в кучках, и «одинаковые» ходы, проводимые игроками, очень её напоминают. На самом

деле, нередкое явление: в зависимости от исходных данных одна и та же стратегия приносит успех

то первому, то второму игроку.

Занятие №4. Тема занятия: Решение задач с помощью переключения рядов.

Ход занятия.

Задача. Все клетки таблицы 8x8 заполнены плюсами и минусами(по одному знаку в клетке). Одной

операцией разрешается выбрать любой ряд (строку или столбец) и в каждой из его клеток поменять

знак на противоположный. Сначала все знаки были плюсами. Может ли после нескольких таких

операций оказаться, что в таблице ровно один минус?

Пример проведения такой операции:

-

-

+

+

+

-

+

-

+

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

-

-

-

+

-

+

-

+

-

-

-

+

+

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

-

+

-

-

-

+

_

-

-

-

-

-

-

+

+

-

-

+

+

+

-

+

-

+

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

-

+

+

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

-

+

-

-

-

+

-

-

-

-

-

-

+

+

Строки и столбцы будем называть рядами. А такую операцию будем называть переключением ряда.

Для решения такой задачи вначале надо разодраться с таблицей маленького размера (2x2), для

которой можно все возможные варианты перебрать вручную.

Всего существует

2

4

=16 способов заполнить клетки таблицы 2x2 плюсами и минусами. Составим

схему из этих способов.

1.

+

+

+

+

2.

-

-

-

-

3.

+

-

-

+

4.

-

+

+

-

5.

+

+

-

-

6.

-

-

-

+

7.

-

+

-

+

8.

+

-

+

-

9.

-

+

+

+

10.

+

-

-

-

11.

-

-

-

+

12.

+

+

+

-

13.

-

+

-

-

14.

+

-

+

+

15.

+

+

-

+

16.

-

-

+

-

Все заполнения разбились на две группы по 8.

Группа- 1-8 заполнения(включительно).

Группа- 9-16 заполнения( включительно).

Заполнения одной группы нельзя получить из заполнений другой.

Заметим, что в заполнениях одной группы чётное количество плюсов, а в заполнениях другой

нечётное. Каждым ходом мы меняем два знака, т. е. либо два плюса меняем на 2 минуса, либо 2

минуса меняем на 2 плюса, либо количество плюсов и минусов не меняется. Значит количество

плюсов при переключениях рядов сохраняет свою чётность.

А что с таблицей размером 8x8? В этом случае чётность количества плюсов во всей таблице

не будет меняться.

Докажем это. Пусть в каком-то ряду x- плюсов, тогда после его переключения в этом ряду

станет (8-x) плюсов, а во всей остальной таблице плюсы останутся на месте. Но числа x и (8-x)

одной чётности. Следовательно, чётность количества плюсов во всей таблице не поменяется.

Таким образом, сначала в таблице было 64 плюса, значит, их количество всегда будет чётным. А

поэтому одного минуса остаться не может.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения проекта мы сделали следующие выводы:

1.

отразили основные виды задач по теме «Задачи на игры и стратегии» и их решения;

2.

разработали 4 занятия внеурочной деятельности, полезных и интересных для детей 7

классов;

3.

решение задач на игры и стратегии очень занимательно для учеников;

4.

в ходе решения этих задач развивается логическое мышление и внимание;

5.

задачи на игры и стратегии – это неотъемлемая часть олимпиадной математики.

6.

провели занятия с ребятами 7 класса по решению задач на игры и стратегии.

Таким образом, считаем, что задачи проекта решены и цель достигнута.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин. Ленинградские математические кружки: пособие для

внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.— 272 с.

2. Физико-математический журнал «Квант»

3. Берлов С.Л., Иванов С.В., Кохась К.П. Петербургские математические олимпиады. 3-е издание,

издательство «Лань», 2005.-608с.

4. Агаханов Н.Х. , Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области.- М.: Изд-во

МФТИ, 2003.