Формирование исследовательских умений у обучающихся на уроках

геометрии в школе с углубленным изучением математики

Аннотация. В разработке представлены содержательно-дидактические

материалы для учащихся 7 класса, направленные на формирование и развитие

исследовательских

и

экспериментальных

умений

школьников.

Задания

дидактических материалов

даны ко всем тематическим главам курса

геометрии 7 класса под редакцией А. Д. Александрова, А. Л. Вернер, В. И.

Рыжик. Задания могут быть использованы как на уроках так и при выполнении

домашнего задания.

Одним из путей успешного решения стоящих перед школой задач

является приобщение учащихся к исследовательской деятельности и развитие

способностей к ней в процессе обучения. В силу того, что исследовательская

деятельность является одной из форм творческой, то эту задачу следует

рассматривать в качестве составной части проблемы развития творческих

способностей учащихся. Исследовательская деятельность, как одна из форм

творческой деятельности, характеризуется направленностью на получение

новых знаний.

Математика, как учебный предмет, обладает особенностями, создающими

благоприятные условия для приобщения учащихся к исследовательской

деятельности и развитию способностей к ней в процессе обучения.

Основная задача школы с углубленным изучением математики, состоит

не только в том, чтобы дать учащимся глубокие знания, но и в том, чтобы

научить их самостоятельно решать возникающие вокруг задачи и творчески

мыслить. Поэтому учебные предметы, в частности, математику, нужно

преподавать такими приемами и методами, предлагать к решению такие задачи,

чтобы учащиеся стремились самостоятельным путем приобрести определенные

знания, получили навыки самостоятельного и творческого мышления.

Приобщение учащихся к исследовательской деятельности и развитие их

исследовательских способностей — проблема сложная и многоаспектная.

В

методическом

плане

существенным

отличием

учебной

исследовательской деятельности является

то,

что

она

происходит

под

управлением учителя. Это обстоятельство порождает главное противоречие,

которое должно быть разрешено при разработке методики формирования

исследовательских умений. С одной стороны, чтобы деятельность ученика была

исследовательской, он должен действовать самостоятельно, с другой стороны,

обучение (а не стихийное самообучение) предполагает управление учеником со

стороны учителя.

Обучение учащихся общим схемам рассуждения, обобщённым приёмам

решения

задач

особенно

важно

в

условиях

углубленной

подготовки

школьников,

ориентированной

на

учащихся

с

высокими

учебными

возможностями,

устойчивым

интересом

к

математике.

Курс

геометрии

основной школы позволяет включать исследовательские задания в содержание

учебного материала без ущерба для его изучения, что приводит к более

успешному овладению учащимися курсом геометрии.

Система

исследовательских

заданий

по

геометрии

позволяет

формировать такие элементы исследовательской деятельности, как: выбор

подходящего

метода

решения,

организация

полного

или

сокращенного

перебора (различных гипотез решения и возможных вариантов решения),

обобщение полученного результата.

Предложенные методические приемы организации поиска учащимися

решения

исследовательских

заданий

позволяют

активизировать

исследовательскую

деятельность

учащихся.

Решение

исследовательских

заданий позволяет учащимся более глубоко усваивать основные понятия и

факты школьного курса геометрии.

Рассмотрим

систему

исследовательских

задач

на

примере

курса

геометрии 7 класса в школе с углубленным изучением математики. Геометрия

преподается по учебнику под редакцией А. Д. Александрова, А. Л. Вернер, В.

И. Рыжик.

Весь курс седьмого класса разбит на три главы. В каждой главе на

определенных этапах можно включить задачи с элементами исследования.

Глава 1. Начала геометрии.

В данной главе рассматриваются давно знакомые геометрические

фигуры: отрезки, окружности, углы. При помощи элементов исследования

учащиеся дополняют свои знания.

Успех в решении задачи определяется умением извлекать информацию из

ее условия и требования, вычленять отдельные элементы, комбинировать их,

выводить

следствия,

переформулировать

требования

задачи,

соотносить

действия с наглядностью, с необходимыми преобразованиями содержания

задачи.

Предлагаемая система

задач

поможет учащимся

овладеть такими

навыками.

Задача1. На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С

лежит между точками А и В?

Эта задача может быть рассмотрена при изучении основных свойств

откладывания отрезков. Этап анализа содержания задачи включает выяснение

условия, выполнения рисунка. Далее между учителем и учеником может

произойти примерно следующая беседа:

Учитель

Ученик

Нам

известно,

что

отрезок

АС

отложен на луче АВ. Что можно сказать о

расположении точек А, В, С, если точки В

и С не совпадают?

Либо точка С лежит между

точками А и В, либо точка В лежит

между точками А и С.

Что нам надо установить?

Надо найти такое условие,

которое

вместе

с

данным

позволило бы сделать вывод: точка

С лежит между точками А и В.

Что

еще

нужно

знать,

чтобы

утверждать, что точка С лежит между

Отрезок АС меньше отрезка

АВ.

точками А и В?

Какое же утверждение мы должны

включить в условие?

АС < АВ

Задача2. Что нужно знать, чтобы утверждать, что концы отрезка АВ

принадлежат разным полуплоскостям, на которые разбивает плоскость прямая

а?

Задача 3. Точки А, В, С принадлежат одной прямой. При каком условии

точка С лежит между точками А и В?

Следующие задачи ориентированы на то, чтобы учащиеся могли

выделить следствия из данного условия. Эти задачи могут быть предложены

учащимся на этапе закрепления основных понятий.

Задача 4. Точка С принадлежит отрезку АВ и не совпадает ни с точкой А,

ни с точкой В. Что следует из этого?

При решении данной задачи учащимися может быть выделено три

следствия:1) точка С лежит между точками А и В; 2) по свойству измерения

отрезков АС + СВ = АВ; 3) по свойству величин АС < АВ, ВС < АВ.

Задача 5. Точка С лежит между точками А и В, а точка Х между точками

А и С. Докажите, что точки А, В, С, Х принадлежат одной прямой.

Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

Кроме того, при решении таких задач учащимся можно предложить составить

свою задачу используя данные утверждения и их следствия.

Пример такой задачи: «Точка М принадлежит отрезку АВ. Докажите, что

АМ < АВ».

Для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно сформулировать

некоторые аксиомы об отрезках, им можно предложить следующие задачи:

Нарисуйте отрезок АВ.

1) Продолжите его за точку В. Точку, в которой вы остановились,

обозначьте буквой С. Сколько отрезков с концами в точках в точках А, В, С на

этом рисунке?

2) Продолжите теперь отрезок АВ за точку А. Точку, в которой вы

остановились, обозначьте буквой D. Сколько отрезков с концами А, В, С, D на

рисунке теперь?

При решении этих двух задач учителем могут быть поставлены

следующие вопросы: сколько точек необходимо для построения отрезка?

Может ли иметь отрезок более двух концов? Что можно сказать о точках,

которые принадлежат отрезку, но не являются его концами? Данные вопросы

учителя

и

исследовательская

работа

учащихся

при

решении

задачи

способствует тому, что они смогут сделать определенные выводы, которые

подводят их к аксиомам:

1.

Существуют по крайней мере две точки (аксиома

существования

точек).

2. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов, т. е. для

каждого отрезка АВ

существует содержащий его отрезок АС

с концом С,

отличным от конца В (аксиома продолжения отрезка).

3. Каждые две точки можно соединить отрезком (аксиома существования

отрезка).

4. У каждого отрезка есть два и только два конца, а также существуют

другие принадлежащие ему точки (аксиома концов отрезка).

О точках отрезка, отличных от концов, говорят, что они лежат внутри

этого отрезка.

3) Пересечением каких построенных отрезков является отрезок АВ?

4) Объединением каких построенных отрезков является отрезок CD?

Перед тем как учащиеся ответят на эти вопросы, можно задать вопрос о

том, как они понимают слова «пересечение» и «объединение».

Эти

задачи

помогают

учащимся

сформулировать

следующие

две

аксиомы.

1.Точка С, лежащая внутри отрезка АВ, разбивает его на два отрезка АС и

СВ, т. е. АВ есть объединение отрезков АС и СВ, которые имеют лишь одну

общую точку С (аксиома разбиения отрезка).

2.

Объединение двух отрезков, имеющих две общие точки, является

отрезком; его концами служат два из концов этих отрезков (аксиома

объединения отрезков).

Следующая задача помогает сделать вывод учащимся о разбиении

прямой.

Задача: нарисуйте прямую АВ и поставьте на ней точку С. Сколько лучей

с началом в точке С вы видите на этом рисунке?

Учащиеся определяют количество лучей – 2 и делают вывод, что точка

разбивает прямую на два луча (две полупрямые).

Задача: через две данные точки проведите прямую.

При помощи этой задачи учащиеся формулируют утверждение о том, что

через две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

В этой же главе можно рассмотреть и другие задачи, которые содержат

элементы исследования.

Примеры таких задач:

Задача 1. Нарисуйте отрезок АВ и возьмите точку С вне прямой АВ.

Пусть точка Х движется по отрезку АВ от одного конца к другому. Какую

фигуру образуют все отрезки СХ?

Задача 2. На плоскости заданы четыре точки. Через каждые две из них

можно провести прямую. Сколько может быть таких прямых?

Задача 3. В пространстве заданы четыре точки. Через каждые две из них

можно провести прямую. Сколько может быть таких прямых? Сравните

результат этой задачи с результатом предыдущей.

Задача 4. Нарисуйте отрезок АВ, длина которого равна 12см. Точка С

лежит на прямой АВ. Найдите расстояние СА и СВ, если СА = 2СВ.

Данная задача может быть рассмотрена на этапе закрепления материала.

Она хороша тем, что учащиеся на практике убеждаются в том, что необходимо

рассмотреть различное расположение точки С.

Задача 5. На сфере провели три большие окружности. На сколько частей

при этом разбилась сфера? Что это за части? Нарисуйте. Сравните свои

наблюдения с аналогичной ситуацией на плоскости.

Учащиеся дают различные ответы, так как каждый проводит эти

окружности по-разному. Обсуждая результаты, приходят к выводу, что если

окружности проходят через одну точку, то получится 6 частей, а если не

проходят через одну точку, то 8 частей. Кроме того можно заметить

закономерность при прибавлении по одной окружности и вывести формулу для

общего случая. Три большие окружности, не проходящие через одну точку,

разобьют сферу на 8 частей. Если провести ещё одну, четвёртую окружность,

то три предыдущие разобьют её на 6 дуг, и к восьми частям добавится ещё

шесть, т. е. станет 14 частей. И далее, добавляя к n

уже имеющимся

окружностям ещё одну, получаем, что они разбивают её на 2n частей, а потому

добавляется к уже имеющимся 2n

частей. Формула получится такая:

2 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = 2 + n(n + 1).

После

изучения

темы:

«Вертикальные

углы»

целесообразно

рассмотреть задачу с элементами исследования следующего содержания:

Задача 6. Нарисуйте прямую и отрезок ВС на этой прямой. Внутри отрезка ВС

отметьте точку А. Нарисуйте угол ВАК. С другой стороны от прямой ВС

постройте угол САМ, равный углу АВК. Как расположены, лучи АК и АМ? Как

вы можете это объяснить?

На этапе изучения нового материала по теме: «Действия с углами»

можно предложить им построить сумму двух углов.

Задача 7. Дано угол А и угол В (см. рисунок). Постройте сумму этих

углов.

А

В

Учащиеся делают вывод о том, что углы можно складывать подобно

тому, как складываются отрезки, только отрезки прикладываются друг к другу

концами, а углы – сторонами. Причем, необходимо подчеркнуть, что все

действия необходимо проводить в одной полуплоскости.

На этапе закрепления можно предложить уже более сложную задачу.

Задача 8. Нарисуйте треугольник АВС. Возьмите на его стороне АВ точку

D. Постройте сумму углов АВС и DСВ и сравните ее с углом АDС. Что вы

заметили?

Задача 9. Нарисуйте какой-нибудь треугольник и постройте сумму его

углов. Что вы заметили?

Данная задача может быть взята и перед тем как начать изучать теорему о

сумме внутренних углов треугольника.

Задача 10. Нарисуйте острый угол: а) через вершину угла проведите два

луча, перпендикулярные сторонам угла, так, чтобы угол между ними был

острый. Докажите, что построенный угол равен данному. б) Перпендикуляры к

сторонам данного угла проведите так, чтобы они были сторонами тупого угла.

Установите зависимость между данным и получившимся углами.

Задача 11. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей,

взяв за исходный тупой угол. Сравните полученные результаты с результатами

предыдущей задачи и сформулируйте их в одном предложении.

Задача

12.

Нарисуйте

три

прямые

одной

плоскости

так,

чтобы

пересекались любые две из них, причем в разных точках. На сколько частей

разбилась плоскость этими прямыми? Теперь проведите четвертую прямую так,

чтобы

число

получившихся

частей

плоскости

стало

по

возможности

наибольшим. Чему равно это число? А теперь проведите пятую прямую с тем

же условием. Заметьте некую закономерность и попытайтесь доказать ее.

Глава 2. Треугольники.

Глава начинает изучение геометрии треугольников, которое продолжится

в 8 классе. В ней два параграфа. § 4. Первые теоремы о треугольниках. § 5.

Сравнение сторон и углов треугольника.

Перед изучением признаков равенства треугольников выполняется

упражнение, целью которого является «открыть» этот признак. Например,

перед введением признака по двум сторонам и углу между ними выполняется

упражнение: «Постройте два треугольника АВС и А

1

В

1

С

1

, у которых

АВ=А

1

В

1

=6 см, АС=А

1

С

1

=5 см, угол А равен углу А

1

равен 50

0

. Равны ли

треугольники АВС и А

1

В

1

С

1

?»

Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, учащиеся должны измерить

стороны ВС и В

1

С

1

, углы В, С, В

1

, С

1

и сравнить результаты. Упражнение

приведет к выводу, что треугольники равны. Так как выполнение данного

упражнения требует от учащихся выполнить построения и измерения, то

данную задачу лучше дать в качестве домашнего задания на уроке,

предшествующему изучению признака, а на уроке обсудить результаты его

выполнения.

После

обсуждения

результатов

учащиеся

самостоятельно

сформулируют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу

между ними.

Можно привести еще пример задачи после изучения темы: «Серединный

перпендикуляр».

Постройте точку равноудаленную от всех вершин равнобедренного

треугольника, если этот треугольник: 1) остроугольный; 2) прямоугольный; 3)

тупоугольный.

Как

расположена

полученная

точка

по

отношению

к

треугольнику? Можете ли вы обосновать свою гипотезу?

Учащиеся выполняют необходимые построения и делают вывод о том,

где будет расположена точка.

Свои предположения о том, что точка, равноудалённая от всех вершин

треугольника, лежит внутри остроугольного треугольника, на гипотенузе

прямоугольного треугольника и вне тупоугольного треугольника, ученики пока

обосновать не могут – для этого нужна аксиома параллельности или какой-либо

её эквивалент (например, утверждение о том, что сумма углов треугольника

равна 180°). Хотя, учащиеся могут попытаться обосновать свои выводы, так как

с теоремой о сумме углов в треугольнике они познакомились еще в шестом

классе, хотя и не доказывали ее.

Рассмотрим примеры задач в данной главе.

Задача 1. Известно, что у треугольника два угла равны. Каким может

быть такой треугольник и какие у него могут быть эти углы? А если у

треугольника все три угла равны?

Данная задача помогает закрепить классификацию треугольников по

углам и кроме того применить свои знания в ситуации рассмотренной на

практике, так как учащиеся могут строить такие углы при рассуждении.

Так как сумма любых двух углов треугольника меньше 180°, то эти углы

могут быть лишь острыми. Третий угол треугольника может быть любым

углом. Если же все углы треугольника равны, то эти углы острые.

Задача 2. Нарисуйте отрезок АВ и через точку В проведите несколько

прямых. Опустите из точки А перпендикуляры на эти прямые и измерьте

расстояние от их оснований до середины отрезка АВ. Что получилось?

Ученики на практике убеждаются в том, что эти расстояния будут равны.

Можно предложить объяснить этот вывод.

Задача 3. Два отрезка перпендикулярны третьему отрезку. Каким может

быть их взаимное расположение?

Данная задача ценна тем, что необходимо рассмотреть случаи не только

на плоскости, но и в пространстве.

Задача 4. Нарисуйте произвольный треугольник АВС. Измерьте стороны

и углы данного треугольника. Что вы заметили?

Данная задача уместна перед изучением теоремы о сравнении сторон у

углов треугольника. Учащиеся смогут самостоятельно сделать вывод о том, что

против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит

большая сторона.

На этапе закрепления этой темы уместны следующие задачи.

Задача 5. Можно ли определить, какой из углов треугольника АВС

наибольший и какой наименьший, если а) АС < ВС и АВ = ВС; б) АВ > АС и

АВ > ВС; в) АС > ВС и АВ = ВС?

Задача 6. Можно ли назвать наибольшую и наименьшую стороны

треугольника АВС, в котором: а) угол А равен углу В и угол В больше угла С;

б) угол А больше угла В и угол А меньше угла С?

Задача 7. Укажите наибольший и наименьший отрезки с концами в

вершинах: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5?

Признаки равенства треугольников – это одна из основных тем геометрии

7 класса, поэтому применение данных признаков – их отработка может быть

также проведена на задачах с элементами исследования.

Задача 8. Равны ли два треугольника, у которых равны: а) две стороны и

угол против одной из них; б) два угла и сторона против одного из них; в) две

стороны и медиана на третью сторону; г) две стороны и высота на третью

сторону; д) три высоты; е) одна сторона , один из прилежащих к ней углов и

медиана из вершины, противолежащей этой стороне; ж) сторона, высота на эту

сторону и медиана на другую сторону; з) сторона, один из углов, прилежащий к

этой стороне и биссектриса этого угла; и) сторона, медиана к ней и медиана на

другую сторону; к) высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной

вершины?

В

задаче

ставится

вопрос

о

нескольких

признаках

равенства

треугольников. Ответ будет отрицательным, если приводится пример двух

треугольников, у которых названные элементы (стороны, углы, медианы,

высоты, биссектрисы) соответственно равны, а сами треугольники не равны.

Формулировка этой задачи могла бы быть и такой: единственно ли решение

задачи на построение треугольника по указанным элементам. Если это

построение не однозначно, то признак места не имеет. Далее можно обсудить

эти признаки. Причем, можно в каждом пункте рассматривать дополнительные

условия, которые бы меняли ответ на поставленный вопрос. Например, в

пункте а) пусть угол прямой или тупой.

Глава 3. Расстояния и параллельность.

Перед изучением темы о неравенстве треугольника с учащимися может

быть проведена следующая работа: 1) постройте треугольники со сторонами а)

1 см, 2 см, 3 см; б) 3 см, 4 см, 5 см; в) 2 см, 3 см, 6 см; 2) найдите попарно

сумму сторон в каждом треугольнике; 3) сделайте соответствующий вывод.

Перед изучением теоремы о сумме внутренних углов треугольника

учащимся предлагается карточка с нарисованными на ней различными

треугольниками, можно взять тупоугольный, остроугольный и прямоугольный,

причем у всех учащихся треугольники различны. Задание: при помощи

транспортира измерить углы и найти их сумму для каждого треугольника.

После выполнения задания необходимо обсудить полученные результаты и

предложить сделать вывод о сумме внутренних углов треугольника.

Здесь

уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению,

сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?»

Формируется гипотеза о том, что сумма углов треугольника равна 180

0

.

Доказательство данной теоремы опирается на факты: 1)свойство внутренних

накрест лежащих углов при параллельных прямых; 2) теорема о сумме

внутренних односторонних углов, образуемых двумя параллельными прямыми

и секущей; 3)свойство измерения углов: градусная мера угла равна сумме

градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим

между его сторонами. Учащиеся должны уметь вычленять внутренние накрест

лежащие

углы

и

внутренние

односторонние

углы.

Для

этого

можно

рассмотреть систему упражнений, причем каждое из них должно быть

обосновано.

1)

Укажите на рисунке несколько пар внутренних накрест

лежащих углов и внутренних односторонних.

D

1

M

D

E

1

A

C

E

2)

Известно, что угол BAC равен 60 градусов, угол ACB равен

70 градусов, AC параллельна BD. Найдите угол ABC.

B

D

A

C

Далее можно приступить к доказательству теоремы. После выполнения

таких упражнений доказательство проводят сами учащиеся, лишь в отдельные

моменты учитель направляет их действия по нужному пути. Например, можно

задать

вопрос:

какие

дополнительные

построения

необходимы

для

доказательства теоремы?

В качестве домашнего задания следует предложить учащимся доказать

теорему с использованием других построений. Кроме того можно предложить

решить задачу: «Может ли в треугольники быть : 1) два тупых угла; 2) тупой и

прямой углы; 3) два прямых угла?» Обсуждение этой задачи даст возможность

учащимся сформулировать следствие: «У любого треугольника хотя бы два

угла острые».

При решении задач на применение теоремы о сумме углов треугольника

можно предложить учащимся следующую задачу: Можете ли вы найти третий

угол равнобедренного треугольника, в котором один из углов: 1) 15

0

; 2) 80

0

; 3)

160

0

. При решении данной задачи учащимся могут быть предложены

следующие

вопросы:

1)

Каким

свойством

обладает

равнобедренный

треугольник? Данный вопрос помогает им предположить, что в треугольнике

найдется еще один угол с той же градусной мерой и соответственно сделать

вывод о нахождении третьего угла в треугольнике. 2) Одно ли решение имеет

задача? Какая ситуация еще возможна? Учащиеся предполагают, что данная

градусная мера угла - это угол при вершине равнобедренного треугольника.

После рассмотрения такого предположения, снова делается вывод по задаче.

Примеры задач с элементами исследования в данной главе.

Задача 1. Можно ли восстановить прямоугольник, если на рисунке

остались такие его элементы: а) сторона и вершина вне ее; б) сторона и точка на

противоположной стороне; в) диагональ и точка на другой диагонали; г) хорда

между серединами противоположных сторон и точка на соседней к ним

стороне; д) точка пересечения диагоналей и две точки на противоположных

сторонах?

Задача 2. Вы идете лесом по прямой и вдруг – болото. Как его обойти,

чтобы при этом выйти на ту же прямую, по которой вы шли?

Задача 3. Различные упаковки продовольственных товаров изготовлены

из картонных прямоугольников, которые по краям склеивают и из которых,

перегибая

их,

делают

прямоугольные

параллелепипеды или

тетраэдры.

Выясните, как это делается. Нарисуйте прямоугольник и отметьте участки

склеивания и линии сгибов.

Задача 4. Сколько осей симметрии у квадрата? Как они проходят?

Сделайте рисунки. Сравните расположение осей симметрии квадрата и

произвольного прямоугольника.

Задача 5. Сколько углов на рисунке должно быть известно, чтобы можно

было узнать величину остальных?

Итак, полноценное усвоение математического материала возможно лишь

при активном участии детей в выполнении исследовательской учебно-

познавательной деятельности на математическом материале, особенно это

актуально в школе с углубленным изучением математики.

Развитием творческого мышления учащихся на уроках математики

необходимо управлять. Организация такого управления - создание условий для

качественной учебно-воспитательной работы.

Надо учитывать то, что учебный процесс по развитию творческих

способностей выстраивается с учетом творческой активности учащихся.

Планируемая педагогическая ситуация продумывается с опорой на достижения

учащихся, на то, что они умеют и знают, с учетом их творческих возможностей.

В связи с этим можно выделить некоторые условия формирования творческих

способностей на основе применения элементов исследовательской работы

учащихся: а) положительные мотивы учения; б) интерес учащихся; в)

творческая активность; г) положительный микроклимат в коллективе; д)

сильные эмоции; е) предоставление свободы выбора действий, вариативность

работы.