Центральные и

вписанные углы.

Решение задач

(8 класс)

Центральные и вписанные углы. Решение задач.(8 класс)

Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

. А. Н. Колмогоров.

Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это

геометрия…И. Ф. Шарыгин

Класс: общеобразовательный.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Центральные

и вписанные углы». Урок направлен на проверку знаний теоретического

материала по данной теме и на отработку навыков решения задач.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Методы обучения, применяемые на уроке: сочетание словесных, наглядных и

практических, репродуктивных и проблемно-поисковых; методов работы под

руководством учителя и самостоятельной работы учащихся.

Знания и умения учащихся: ученики знают понятие градусной меры дуги

окружности и полуокружности, определение центрального и вписанного

углов; теорему и следствия о вписанном угле; теорему о произведении

отрезков пересекающихся хорд.

Цели и задачи: Обучающие: обобщить и систематизировать знания учащихся

по теме «Центральные и вписанные углы»; формировать навыки применять

теоретический материал при решении практических задач;

Развивающие: реализация принципов связи теории и практики, развивать

способности анализировать, проводить наблюдения, развитие

познавательного интереса, творческой самостоятельности мышления

учащихся, развитие математической речи;

Воспитательные: воспитание аккуратности, дисциплины, трудолюбия,

ответственного отношения к учёбе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями.

Ход урока

1.

Организационный этап. Проверка готовности учащихся к уроку.

Сообщение темы урока и задач урока. (1 мин)

2 Этап.

ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКОВ СМЫСЛОВОГО ЧТЕНИЯ

Задание «ВЕРНО – НЕВЕРНО» (3 мин) Позволяет быстро включить

учащихся в мыслительную деятельность и логично перейти к изучению темы

урока.

Прочитайте утверждение

Поставьте знак «+»,

если верите, и знак «–»,

если нет

Верите ли вы, что самая простая из кривых линий

– окружность

+

Верите ли вы, что древние индейцы считали

самым важным элементом окружности радиус,

хотя не знали этого слова?

+

Верите ли вы, что впервые термин «радиус»

появился лишь в XVI веке?

-

Верите ли вы, что в переводе с латинского

«радиус» означает «луч»?

+

Верите ли вы, что выражение «ходить по кругу»

когда-то означало «прогресс»?

-

Верите ли вы, что слово «хорда» в переводе с

греческого означает «струна»?

+

Верите ли вы, что длина окружности и радиус

взаимосвязаны?

+

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших

геометрических фигур. Еще вавилоняне и древние индийцы считали самым

важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает

«луч». В Древней Греции круг и окружность считались венцом

совершенства. В русском языке слово «круглый» тоже стало означать высокую

степень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота» и даже «круглый

дурак». Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о

круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы идут,

взявшись за руки. Циклы получаются при движении по кругу. Мы изучаем

циклы Земли, они помогают нам разобраться, когда надо сажать растения и

когда мы должны вставать. Представление об окружности дает линия

движения модели самолета, прикрепленного шнуром к руке человека, также

обод колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности. Термин

«хорда» (от греческого «струна») был введен в современном смысле

европейскими учеными в XII–XIII веках*.

3 Этап. Проверка домашнего задания. Домашнее задание проверяем по

образцам,наиболее сложные моменты обсуждаем. (6 мин).

Задание «Закончите предложение» и покажите на рисунке

1.

Сумма углов треугольника равна…

2.

Внешний угол треугольника равен

3.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен

4.

Высота, опущенная из вершины прямого угла, есть

5.

Прямоугольник, у которого все стороны равны называется

6.

Диаметр окружности всегда (больше, меньше) радиуса в … раз.

7.

Центр окружности для диаметра является…

8.

Диаметр, перпендикулярный к хорде,…

9.

Равные хорды стягивают…

10.

Дуги, заключенные между параллельными хордами,…

11.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы

равны, то…

12.

Угол, составленный касательной и хордой, измеряется…

13.

Квадрат отрезка касательной равен…

14.

Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки,…

15.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых

лежат по разные стороны хорды, составляют

4 этап. Устные упражнения (1 мин)

Учащиеся на слайдах видят только рисунок. Используя данные рисунка,

учащиеся находят неизвестное. И только после выполнения задания учитель

проектирует на экран правильные ответы, учащиеся комментируют решение.

Найти градусную меру угла x.

Решение:

∠

ABC

−

вписанный ,

⇒ ∠

ABC

=

1

2

∪

AC .

∠

AOC

−

центральный ,

⇒ ∠

AOC

=

∪

AC ,

⇒ ∪

AC

=

120

0

, значит

∠

ABC

=

60

0

.

O – центр окружности.

Найти градусную меру угла x.

Решение:

∠

ABC

−

вписанный и опирается на дугу

∪

AC

=

180

0

(

AC

−

диаметр

)

⇒ ∠

ABC

=

90

0

5 этап. Коллективное

решение задач (10

мин)

2.

Точки А, В, С лежат на одной окружности,

∠

АВС

=

80

0

. Лежит ли центр

окружности на отрезке АС?

Решение: Если центр окружности лежит на отрезке АС, то отрезок АС

является ___________ этой окружности, а дуга АС является

_______________. Тогда вписанный угол АВС опирается на полуокружность, а

потому он

равен , но по условию задачи

∠

АВС

=

80

0

. Следовательно, центр

окружности _______________________на отрезке АС.

Ответ: .

1.

Какие из углов являются HAM, HBM, TCE и

HPM вписанными?

Решение:

Вписанным углом называется угол, вершина

которого лежит на

________________, а стороны

_________________окружность.

Точка А лежит на окружности, а стороны угла

HAM ___________окружность.

Следовательно,угол_______ __

вписанным.

Точка В лежит на , а стороны угла

HBM пересекают ________,

следовательно, угол HBM .

Точка С , а сторона СЕ угла ТСЕ не

пересекает _____________,

следовательно, угол ТСЕ вписанным.

Точка Р на окружности,

следовательно, угол НРМ

________________вписанным.

Ответ: .

3.Измерение вписанного угла.

Дано:

¿

AB:

∪

BC :

∪

AC

=

1 : 6 : 2

.

Найти: углы

Δ ABC

.

4) Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к

гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.

5

) На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. Чему равен угол ADC,

если угол АВС равен α?

6) В четырехугольник ABCD вписана окружность (рис. 26). Точки касания

этой окружности со сторонами делят стороны на отрезки, как показано на

рисунке. Найдите периметр четырехугольника, если LC = 6, BK = 2, AN = 4,

ND = 5.

7) Измерение угла между хордой и касательной.

Дано: АВ – касательная,

∠

C

=

50

∘

.

Найти:

∠

DKB

.

6 этап.Физкультминутка. (1 мин) (Ученики повторяют движения за учителем)

Мы все вместе улыбнемся,

Подмигнем слегка друг другу,

Вправо, влево повернемся (повороты влево- вправо)

И кивнем затем по кругу. (наклоны влево-вправо)

Все идеи победили,

Вверх взметнулись наши руки. (поднимают руки вверх- вниз)

Груз забот с себя стряхнули

И продолжим путь науки. (встряхнули кистями рук)

7 этап. Математическая переменка..(2 мин)

ПРИЕМ «ИСТИННыЕ И ЛОЖНыЕ

УТВЕРЖДЕНИя»

Установите, какие из утверждений истинны, а какие ложны

1. Все точки плоскости, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной

окружности.

2. Все диаметры окружности равны между собой. – Все радиусы окружности

равны между собой.

3. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

4. Около всякого треугольника можно описать более одной окружности.

5. В любой треугольник можно вписать более одной окружности.

6. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения

серединных перпендикуляров.

7. Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке

пересечения биссектрис.

8. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит

на середине гипотенузы.

9. Центр окружности, описанной около треугольника со сторона-ми, равными

3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

10. Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если

он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника

(если он тупоугольный).

11. В равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной

окружностей совпадают.

12.Около любого правильного многоугольника можно описать более одной

окружности.

13. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

14. Центром окружности, описанной около квадрата, является точка

пересечения его диагоналей.

15. Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то

окружности касаются в одной точке.

16. Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то

окружности не имеют общих точек.

17. Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности

равно радиусу.

8 этап.Самостоятельная работа с последующей проверкой (2мин)

Ответы за 2 правильных-«3», 3-«4», 4-«5»

1 вариант

2 вариант

9 этап. Разгрузка.

Назовите тему урока одним словом

окружность

Назовите 2 прилагательных, которые

характеризуют окружность

Замкнутая, круглая

Назовите 3 действия, которые можно

выполнять с окружностью

Чертить, рисовать, проводить

Выразите в одном предложении свое

впечатление о окружности

Все точки равноудалены от

центра

Как иначе можно назвать окружность?

фигура

10 этап . Подведение итогов урока (рефлексия)

Рефлексия.

1.На уроке я работал

2.Своей работой на уроке я

3.Урок для меня показался

4.За урок я

5.Мое настроение

6.Материал урока мне был

7.Домашнее задание мне кажется

активно / пассивно

доволен / не доволен

коротким / длинным

не устал / устал

стало лучше / стало хуже

понятен / не понятен

полезен / бесполезен

интересен / скучен

легким / трудным

интересно / не интересно

1.

Шарыгин И. Ф. Наглядная геометрия. – М.: МИРОС, 1992.