Авторы: Бурлова Любовь Ивановна, Любовь Ивановна Бурлова
Должность: Преподаватель по классу фортепиано
Учебное заведение: МБУ ДО "ДШИ№7"
Населённый пункт: г. Липецк, Липецкая область
Наименование материала: Статья
Тема: Математика и музыка
Раздел: дополнительное образование
1
Взаимосвязь музыки и математики.
«Музыка есть таинственная арифметика души,
Она вычисляет, сама того не подозревая.»
Г. Лейбниц.
Музыка
(греч.
-
«искусство
муз»),
значит
искусство,
отражающее
действительность в звуках, художественных образах.
Математика (греч. - знание, наука) — царица всех наук, которая изучает
пространственные формы и количественные отношения. Красота математики
является одним из связующих звеньев науки и искусства.
Математика и музыка — два полюса человеческой культуры. Слушая музыку,
мы погружаемся в волшебный мир звуков. Решая математические задачи —
оказываемся в строгом пространстве чисел. И мы не задумываемся о том, как
мир звуков и пространство чисел взаимодействуют друг с другом, издавна
соседствуя.
Родители и дети не принимают во внимание тот факт, что музыкальное
образование
развивает
способности
к
математике.
Учитывая
то,
что
математика является достаточно сложным предметом, ценность музыки и
музыкального
образования
как
вспомогательного
должна,
конечно,
повышаться.
Занимаясь музыкой, человек занимается математикой. Хороший математик -
это всегда хороший музыкант, потому что логика чисел, с которой постоянно
общаются математики, связана с логикой развития фраз.
Многие выдающиеся музыканты блистали математической одаренностью:
Эрнест Ансерме — профессиональный математик и лучший исполнитель
Стравинского, Леонид Сабанеев — выпускник математического факультета
2
Московского университета, прекрасный пианист и композитор. Композитор
Эдисон
Денисов
преподавал
математику
в
Томском
университете.
Виолончелист Карл Давыдов закончил физико-математический факультет.
Взаимосвязь музыки и математики является одной из самых актуальных тем.
Она до сих пор исследуется многими учеными и математиками, но до конца
пока не раскрыта.
На самом деле, люди давно задумывались об этой связи. Так, около III
тысячелетия до н.э., в Китае император Хуан-ди изобрел свой музыкальный
строй, который был идеально сконструирован математически. Математик
Альберт Эйнштейн считал: настоящая наука и настоящая музыка требуют
однородного мыслительного процесса.
В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку
как некую математическую модель. К примеру, вот одна из цитат из работы
Леонарда Эйлера «Диссертация о звуке, написанная в 1727 году: «Моей
конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку
как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных
оснований
всё,
что
может
сделать
приятным
объединение и
смешение
звуков».
Своё отношение к математике и музыке учёные высказывали в своих личных
переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху писал: «Музыка
есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать». На
что Гольдбах ему отвечал: «Музыка — это проявление скрытой математики».
Теория Пифагора.
Но первым, кто поставил музыку в один ряд с математикой и попытался
выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он был первым,
кто изучил и установил связь между музыкой и математикой.
3
Пифагор был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки.
Родился Пифагор около 570 года до н.э. на острове Самосее. Для Пифагора и
его последователей пифагорейцев математика была божественной наукой,
открывающей законы Красоты Вселенной, и музыка была тоже причастной
божественному.
Следуя теории Пифагора числа обладают абсолютной властью над всеми
событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой.
В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону
(математике) и в следствии этого восстанавливает в организме человека
гармонию.
Именно Пифагор определил восемь звуков (до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до)
древнейшей музыкальной гаммы. Для своих исследований он использовал
особый инструмент — монохорд, который сам и изобрел. Хоть инструмент и
называется монохорд, у него было две струны, одна с неизменным тоном, а
другая при помощи нехитрого механизма меняла свое звучание по воле
экспериментатора. Изменяя пропорциональное соотношение двух звучащих
струн, Пифагор пришел к основополагающему для всей истории музыки
выводу — пропорция имеет прямое отношение к звучанию, и качество этого
звучания выражается числом!
Он
разделил
созвучия на
консонансы и
диссонансы.
Под
консонансом
понимается
созвучие,
вызывающее
ощущение
покоя,
гармонии,
устойчивости. С математических позиций консонансы выражаются более
простым отношением чисел: чистая октава — ½, чистая квинта — 2/3, чистая
кварта —3/4.
Диссонансы
же
звучат
беспокойно,
резко,
создают
ощущение
незавершенности
и
выражаются
более
сложным
числовым
отношением
(например, большая септима — 8/15, малая секунда — 15/16). Следствием
незавершенности явилась зависимость — диссонанс использовался только в
связке с консонансом, то есть требовал разрешения.
4
Оказывается, что и в музыке и в математике господствует идея числа и
отношения. Значит, музыка математична, а математика музыкальна
Попробуем найти общие точки соприкосновения точной науки математики и
прекрасного, изящного искусства — музыки.
Из сопоставления знаний, полученных на уроках математики и музыки,
выявляем следующие совпадения:
Первое — это цифровые обозначения.
Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд — 7 нот, нотный
стан — 5 линеек. Интервалы: прима — 1, секунда — 2, терция — 3, кварта —
4,
квинта
—
5,
секста
—
6,
септима
—
7,
октава
—
8.
Обозначения
аппликатуры и размер произведения записывается тоже при помощи цифр.
Второе совпадение — это ритм.
Окружающий нас мир полон ритмов. Если оглядеться вокруг и прислушаться,
то
можно заметить,
что
ритмично звучат шаги,
стучат колёса поездов,
мелькают
кадры
кинофильмов,
ритмично
наше
дыхание.
«Ритмично»
расположены окна по фасаду дома, сантиметровые деления на деревянном
метре; ритмично звонит колокол. Ритмичны и многие другие звуки.
Нескончаемой чередой приходят на смену друг другу дни и ночи, времена
года и сами годы. Их четкий ритм подчиняется движению земли. Один оборот
вокруг своей оси Земля совершает за сутки — 24 часа. Один оборот вокруг
Солнца Земля совершает за год.
Стоит нам услышать слово ритм, как наши мысли невольно обращаются к
музыке, ведь ритм — один из важнейших элементов музыки. У каждого
музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот
разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.
Например, числа, кратные 3 (трем) обладают следующим ритмом: начнем с 0
и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3.
5
Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …..и т. д. Получается красивый, правильный,
равномерный
ритм,
звучащий
как
музыкальный
размер
¾,
который
соответствует вальсу.
Если посчитать числа, кратные двум, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т. д., то увидим, что
мы пришли к ритму, звучащему как музыкальный размер 2/4. Таким образом,
числа обладают ритмом.
Следующее
совпадение
—
наличие
в
музыке
и
математике
противоположностей.
Музыка: Математика:
Мажор — Минор Плюс - минус
Быстро — медленно Больше - меньше
Тихо — громко Сложение - вычитание
Низко — высоко Умножение - деление
Бемоль — Диез Чётное число — нечетное
Четвёртое совпадение - «Дроби».
Мы знаем, что в целой ноте — две половинных, четыре четвертных, восемь
восьмых,
16
шестнадцатых.
Нетрудно
понять,
почему
длительности
музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Половинная нота
потому и называется половинной или ½, что звучит вдвое короче целой ноты.
Её
длительность
составляет
½
длительности
целой
ноты.
Оказывается,
длительности получаются так же, как и дроби: они возникают при делении
целой на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать так же,
как дробные числа:1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32.
С помощью чисел равенство можно записать так:
1/4 = 1/8 + 2/16 ;
1 = ¼ + ¼ + ½ .
6
Таким образом, с длительностями нот можно выполнять действия сложения
и вычитания, так же, как и с дробями. Длительность нот
Следовательно, названия длительностей служат одновременно и названиями
чисел. (Приложение №1)
Если в музыкальном произведении все длительности увеличиваются вдвое,
то оно начинает звучать вдвое медленнее. Если уменьшатся вдвое, то быстрее
станет темп произведения.
Длительности — увеличиваются, - темп — замедляется;
Длительности — уменьшаются, - темп — ускоряется.
Пятое
совпадение
—
в
музыке,
как
и
в
математике,
есть
понятие
параллельности.
Параллели во множестве встречаются в природе. Траектории капель дождя,
гребни морских волн и т. д. Созданные человеком рельсы, строки в книгах,
потолки и полы — тоже параллельны.
В музыке линии нотного стана тоже всегда параллельны. Измерить высоту
ноты нам как раз и помогают параллельные линейки.
Параллельны тональности (например, до мажор — ля минор).
Очень красивые примеры правильных и неправильных ритмов встречаются в
математике. Запишем первые сто натуральных чисел, расположив их в виде
изящной
правильной
фигуры
—
так
называемого пифагорова квадрата.
(Прил.№ 2)
Можно заметить, что у чисел, стоящих в одной строке, совпадают первые
числа, у чисел, стоящих в одном столбце, совпадают вторые цифры.
Следующие таблицы (Прил.№ 2 ) представляют собой пифагоров квадрат, в
котором отмечены все числа, кратные 2, 3, 4, 5 и т. д. Эти таблицы говорят
7
сами за себя. При взгляде на них становятся заметными многие важные
свойства делимости.
Таким образом, мы установили 5 совпадений музыки с математикой, и
уверены, что их ещё больше. Из чего можно сделать вывод, что занимаясь
музыкой, человек одновременно развивает, активизирует и тренирует свои
математические способности. Так как, не зная математических понятий, не
умея различать те-же дроби, не умея их сравнивать, невозможно сыграть
правильно музыкальное произведение.
До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и
красивую мелодию. Мы не знаем, какое волшебство происходит в голове
композитора,
создающего
неповторимую
мелодию.
Музыкальное
произведение
—
это
своеобразная
тайна,
постичь
которую
просто
невозможно.
Мы убедились, что математика и
музыка
—
(два полюса
человеческой
культуры,
два
школьных
предмета,
две
системы
мышления),
издавна
соседствуют
друг
с
другом
и
неразрывно
связаны
между
собой,
что
музыкальное искусство подчиняется многим законам математики.
Музыка делает человека более уверенным и эмоциональным, обогащает
умственно, способствует духовному развитию, а математика, в свою очередь
— это инструмент познания, воплощающий порядок и логику.
Дети, которые занимаются музыкой, развивают, активизируют и тренируют
свои математические способности. Они лучше усваивают математику и легче
осваивают её законы. И наоборот, детям, понимающим математику, легче
даётся музыка.
О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго,
открывая всё новые и новые понятия и смыслы. Безусловно, в этой статье
8
была освящена лишь небольшая часть того неизведанного огромного мира
связи музыки и математики.
Приложение №1
9
10
Приложение №2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58 59
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88 89
90
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Эти таблицы говорят сами за
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
себя. При взгляде на них
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
становятся заметными
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
многие важные свойства
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
делимости.
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Во всех таблицах наблю-
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
дается правильный
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
равномерный ритм.
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Бурлова Л. И.
2023 г.