Проведение практикума по математике в 11 классе по теме:

«Свойства функций»

(повторение, подготовка к ЕГЭ).

Разработан учителем математики высшей категории МАОУ

«Лицей №77

г. Челябинска» Пузановой Т. И

Цели:

Образовательные:

систематизировать знания по теме: «Свойства функций»;

повторить алгоритм исследования функции при построении графика;

повторить свойства функций;

повторить вычисление производной.

Развивающие:

закрепление навыков исследования и построения графика;

развивать самостоятельность и внимательность в работе с алгоритмом.

Воспитательные:

воспитание

интереса

к

изучению

математики

(использование

у''

для

определения выпуклости функции);

умение оценить свои знания, опираясь на предложенные решения.

Учащимся предлагается практикум по теме « Свойства функций»

Опираясь на алгоритм исследования функции, построить графики:

А) У=

√

9

−

2 х

- 1

Б) У= х

4

- 2х

2

В)

у

=

3 х

−

12

х

−

2

Г) У= 5х

3

- 3х

5

, с последующей проверкой.

Алгоритм исследования функции при построении графиков.

1. Название функции и графика.

Область определения. Свойство четности функции.

2. Нули функции.

3. Точка пересечения графика с осью Оу.

4. Исследовать функцию на монотонность с помощью производной .

5.При

необходимости

преобразовать

уравнение

функции

и

найти

дополнительные точки. Построить график функции.

6.Область значений функции. Свойство ограниченности,

наименьшее и

наибольшее значения функции.

7. Свойство непрерывности, выпуклости функции.

8. Свойство знакопостоянства.

9. Уравнения осей симметрии, асимптот, координаты центра симметрии.

Решение практикума:

А) У=

√

9

−

2 х

- 1

Функция степенная. График – ветвь параболы.

1) Д (у) : 9 - 2х

≥

0

- 2х

≥

-9 ∕ : (-2)

х

≤

4,5

Т.о., Д (у) = ( -

∞

; 4,5] – несимметричная, значит функция

У=

√

9

−

2 х

- 1 ни

четная, график не симметричен относительно оси Оу, уравнение которой х =

0, а также ни нечетная, график не симметричен относительно начала

системы координат, т. е. О (0; 0)

2) Нули функции:

У = 0, тогда

√

9

−

2 х

- 1 = 0

√

9

−

2 х

= 1

9

−

2 х

= 1

2х = 8

х = 4

Следовательно, график функции У=

√

9

−

2 х

- 1 пересекает ось Ох в точке А

(4 ; 0)

3) Найдем точку пересечения графика У=

√

9

−

2 х

- 1 с осью Оу:

У( 0 ) =

√

9

−

2

∗

0

- 1 = 2, тогда график функции У=

√

9

−

2 х

- 1 пересекает

ось Оу в точке В (0 ; 2)

4) Исследуем функцию на монотонность, найдем производную функции:

у' = (

√

9

−

2 х

- 1)

'

=

−

2

2

√

9

−

2 х

=

−

1

√

9

−

2 х

Д (у') = (

−

∞

; 4,5 )

у' = 0

→

−

1

√

9

−

2 х

= 0

Т.к. -1 < 0,

√

9

−

2 х

> 0, при х < 4,5, следовательно у' < 0

───────────┐

у' ─ |

─────────────|─────────

У \

4,5

Т.о., функция У=

√

9

−

2 х

- 1 монотонно убывает на Д (у) = ( -

∞

; 4,5]

У(4,5) =

√

9

−

2

∗

4.5

- 1 = -1

5) График функции У=

√

9

−

2 х

- 1 получен из графика функции У=

√

−

2 х

параллельным переносом на вектор (4,5; -1)

У=

√

−

2 х

, х

≤

0

х

- 8

- 4,5

- 2

- 0,5

0

у

4

3

2

1

0

6) Е (у) = [ -1; +

∞

¿

Функция У=

√

9

−

2 х

- 1 ограничена снизу прямой у = - 1,

Унаиб. не существует, Унаим. = У ( 4,5) = -1

7) Функция У=

√

9

−

2 х

- 1 непрерывная,

выпукла вверх на Д (у) = ( - ∞ ; 4,5]

8) Функция У=

√

9

−

2 х

- 1 принимает положительные значения на

промежутке ( -

∞

; 4), отрицательные значения на промежутке ( 4 ; 4,5]

9) График функции У=

√

9

−

2 х

- 1 не имеет осей симметрии, центра

симметрии, асимптот.

Б) У= х

4

- 2х

2

Функция - многочленов высоких степеней

1)

Д (у) = R – симметричная.

У (-х) = ( -х)

4

- 2( -х)

2

= х

4

- 2х

2

= У ( х), значит функция У= х

4

- 2х

2

четная,

график симметричен относительно оси Оу, уравнение которой х = 0.

2) Нули функции:

У = 0, тогда х

4

- 2х

2

= 0

х

2

(х

2

- 2)= 0

х = 0 или х =

±

√

2

Следовательно, 0;

±

√

2

−¿

нули функции У= х

4

- 2х

2

3) Найдем точку пересечения графика У= х

4

- 2х

2

с осью Оу:

У( 0 ) = 0

4

- 2*0

2

= 0, тогда график функции У= х

4

- 2х

2

пересекает ось Оу

в точке О (0 ; 0)

4) Исследуем функцию на монотонность, найдем производную функции:

у' = (х

4

- 2х

2

)' = 4х

3

- 4х

Д (у') = R

у' = 0

→

4х

3

- 4х = 0

4х ( х

2

- 1) = 0

Следовательно 0,

± 1

–точки, подозрительные на экстремум.

у' - +

- +

────────|──────|──────|─────────

У \ - 1 / 0 \ 1 /

Х

min.

Х

max.

Х

min.

Т.о., функция У= х

4

- 2х

2

убывает на промежутке ( -

∞

; - 1] и на

промежутке [0; 1] , возрастает на промежутке [-1; 0] и на промежутке [1; +

∞

)

Уmin. = У ( -1) = У ( 1) = (

± 1

)

4

- 2

¿

)

2

= 1- 2 = - 1

Уmax. = У ( 0) = 0

4

- 2 * 0

2

= 0

5) Дополнительные точки:

У (

± 2

) =

¿

)

4

- 2

(

± 2

)

2

= 16 - 2*4 = 16 – 8 = 8

У

¿

) = (

± 3

)

4

- 2(

± 3

)

2

= 81 - 2*9 = 81 – 18 = 63

6) Е (у) = [ -1; +

∞

)

Функция У= х

4

- 2х

2

ограничена снизу прямой у = - 1,

Унаиб. не существует, Унаим. = У

¿

) = -1

7) Функция У= х

4

- 2х

2

непрерывная.

Найдем промежутки, на которых функция выпукла:

( у')' = ( (х

4

- 2х

2

)' )' = (4х

3

- 4х)' =12х

2

- 4, Д( у'')=R

у'' =0, следовательно 12х

2

- 4= 0

12(х

2

-

1

3

) =0

Т.о., у'' =0 при х=

±

√

1

3

у''= 12 (х -

√

1

3

) ( х +

√

1

3

)

у'' + _ +

────────|────────────|────────

У -

√

1

3

√

1

3

Выпукла вниз Выпукла вверх Выпукла вниз

Значит, функция У= х

4

- 2х

2

выпукла вниз на промежутке ( - ∞ ; -

√

1

3

] и на

промежутке [

√

1

3

; +

∞

), выпукла вверх на промежутке[-

√

1

3

;

√

1

3

].

8) Функция У= х

4

- 2х

2

принимает положительные значения на промежутках

(-

∞

; -

√

2

) U

√

2

; +

∞

), отрицательные значения на промежутках

(-

√

2

; 0) U ( 0;

√

2

)

9) Х = 0 - уравнение вертикальной оси симметрии графика функции

У= х

4

- 2х

2

.

График функции У= х

4

- 2х

2

не имеет центра симметрии, асимптот.

В)

у

=

3 х

−

12

х

−

2

Функция дробно -линейная. График – гипербола.

1 ) Д (у) = (-

∞

; 2) U ( 2; +

∞

) – несимметричная, значит функция

у

=

3 х

−

12

х

−

2

ни четная, график не симметричен относительно оси Оу,

уравнение которой х = 0, а также функция ни нечетная, график не

симметричен относительно начала системы координат, т. е. О (0; 0)

2) Нули функции:

У = 0, тогда

3 х

−

12

х

−

2

= 0, х ≠ 2

3х -12 = 0

х = 4\

Следовательно, график функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

пересекает ось Ох в точке

А (4 ; 0).

3) Найдем точку пересечения графика

у

=

3 х

−

12

х

−

2

с осью Оу:

У( 0 ) =

3

∗

0

−

12

0

−

2

= 6 , тогда график функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

пересекает ось Оу в

точке F (0 ; 6)

4) Исследуем функцию на монотонность, найдем производную функции:

у' =

(

3 х

−

12

х

−

2

¿

'

=

3

¿ ¿

=

6

(

х

−

2

)

2

Д (у') = Д (у) = (-

∞

; 2) U ( 2; +

∞

)

у' = 0

→

6

(

х

−

2

)

2

= 0

Т.к. 6 > 0, ( х – 2)

2

> 0, при х ≠ 2, следовательно у' > 0 при х ≠ 2

у' + +

──────────────0───────────────

У / 2 /

Точка разрыва

Т.о., функция

у

=

3 х

−

12

х

−

2

возрастает на промежутке (-

∞

; 2) и на

промежутке ( 2; +

∞

)

5) Путем преобразований, приведем функцию

у

=

3 х

−

12

х

−

2

к виду

у

=

К

х

−

2

+

m.

Разделим числитель дроби на знаменатель, получим:

3х - 12 | х

-

2

¯ 3х

-

6

3

- 6

Тогда К = - 6, m = 3 . Следовательно функция

у

=

3 х

−

12

х

−

2

примет вид

У = 3 -

6

х

−

2

Т. о., график функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

получен из графика функции

У = -

6

х

параллельным переносом на вектор (2; 3)

У = -

6

х

, х ≠ 0

х

-12

- 6

- 3

-2

-1

1

2

3

6

12

у

0,5

1

2

3

6

- 6

- 3

-2

- 1

- 0,5

6) Е (у) = ( -

∞

; 3 ) U ( 3; +

∞

)

Функция

у

=

3 х

−

12

х

−

2

не является ограниченной.

Унаиб. не существует, Унаим. не существует

7) Функция

у

=

3 х

−

12

х

−

2

не является непрерывной, разрыв в точке х= 2.

Функция выпукла вниз на промежутке ( - ∞ ; 2) ,

выпукла вверх на промежутке (2; +

∞

).

8) Функция

у

=

3 х

−

12

х

−

2

принимает положительные значения на промежутках

( -

∞

; 2) U (4; +

∞

), отрицательные значения на промежутке ( 2; 4)

9) Х = 2 - уравнение вертикальной асимптоты графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

,

У= 3 - уравнение горизонтальной асимптоты графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

.

Точка К (2 ; 3) –центр симметрии графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

.

Составим уравнения наклонных осей симметрии графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

:

а) У = Х - уравнение наклонной оси симметрии графика функции

У = -

6

х

,

У = х + в - уравнение наклонной оси симметрии графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

,

проходящей через точку К (2 ; 3) –центр симметрии графика

функции

У = 3 -

6

х

−

2

, тогда 2 + в =3, в = 1, значит У = х + 1 -

уравнение наклонной оси симметрии графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

,

б) У = - Х - уравнение наклонной оси симметрии графика функции

У = -

6

х

,

У = - х + р - уравнение наклонной оси симметрии графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

, проходящей через точку К (2 ; 3) –центр симметрии графика

функции

У = 3 -

6

х

−

2

, тогда - 2 + р =3 , р = 5,

значит У = - х + 5 - уравнение наклонной оси симметрии графика функции

у

=

3 х

−

12

х

−

2

.

Г) У= 5х

3

- 3х

5

Функция - многочленов высоких степеней

1)

Д (у) = R – симметричная.

У (-х) = 5( -х)

3

- 3( -х)

5

= -5 х

3

+ 3х

5

= - ( 5х

3

- 3х

5

) = - У ( х), значит функция

У= 5х

3

- 3х

5

является нечетной, график симметричен относительно начала

системы координат, т. е. точки О (0; 0)

2) Нули функции:

У = 0, тогда 5х

3

- 3х

5

= 0

-3х

3

( х

2

-

5

3

) = 0

х = 0 или х =

±

√

5

3

Следовательно, 0;

±

√

5

3

−¿

нули функции У= 5х

3

- 3х

5

3) Найдем точку пересечения графика У= 5х

3

- 3х

5

с осью Оу:

У( 0 ) = 5* 0

3

- 3* 0

5

= 0, тогда график функции У= 5х

3

- 3х

5

пересекает ось

Оу в точке О (0 ; 0)

4) Исследуем функцию на монотонность, найдем производную функции:

у' = (5х

3

- 3х

5

)' = 15х

2

- 15 х

4

Д (у') = R

у' = 0

→

15х

2

- 15 х

4

= 0

-15х

2

( х

2

- 1) = 0

Следовательно, 0,

± 1

−¿

точки, подозрительные на экстремум.

у' - + ! + -

────────|──────|──────|─────────

У \ - 1 / 0 / 1 \

Хmin. Точка Хmax.

перегиба

Т.о., функция У= 5х

3

- 3х

5

убывает на промежутке ( -

∞

; - 1] и на

промежутке [1; +

∞

) , возрастает на промежутке [-1; 1]

Уmin. = У ( -1) = 5( - 1)

3

- 3(- 1)

5

= -5 + 3 = - 2

Уmax. = У ( 1) = 5* 1

3

- 3*1

5

= 5 – 3 = 2

У (0) = 5* 0

3

- 3*0

5

= 0

5) Дополнительные точки:

У (- 2) = 5(- 2)

3

- 3(- 2)

5

= -5* 8 + 3*32 = - 40 + 96= 56

У (2) = 5( 2)

3

- 3(2)

5

= 5* 8 - 3*32 = 40 - 96= - 56

6) Е (у) = R

Функция У= 5х

3

- 3х

5

не является ограниченной.

Унаиб. не существует, Унаим. не существует.

7)Функция У= 5х

3

- 3х

5

является непрерывной.

Найдем промежутки, на которых функция выпукла:

( у')' = ( (5х

3

- 3х

5

)')' = (15х

2

- 15 х

4

)' =30х

- 60х

3

, Д( у'')=R

у'' =0, следовательно 30х

- 60х

3

= 0

- 60 х(х

2

- 0,5 ) =0

Т.о., у'' =0 при х= 0, х =

±

√

0 ,5

у'' = - 60 х (х -

√

0 ,5

) (х+

√

0 ,5

)

у'' + - + -

────────|──────|──────|────────

У

−

√

0 , 5

0

√

0 , 5

Выпукла Выпукла Выпукла Выпукла

вниз вверх вниз вверх

Значит, функция У= 5х

3

- 3х

5

выпукла вниз на промежутке ( - ∞; -

√

0 ,5

] и на

промежутке [0;

√

0 ,5

¿

, выпукла вверх на промежутке [-

√

0 ,5

;0] и на

промежутке [

√

0 ,5 ;

+

∞

¿

.

10) Функция У= 5х

3

- 3х

5

принимает положительные значения на промежутках

( -

∞

; -

√

5

3

) U (0;

√

5

3

), отрицательные значения на промежутках ( -

√

5

3

; 0) U (

√

5

3

;+

∞

)

9) Точка О (0; 0) - центр симметрии графика функции У= 5х

3

- 3х

5

График функции У= 5х

3

- 3х

5

не имеет осей симметрии, асимптот.