Урок алгебры в 11б кл

«Особенности решения тригонометрических уравнений в рамках ЕГЭ»

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний и подготовки к ЕГЭ

учитель математики Жестерева Татьяна Николаевна

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их мудрость,

А умело применять их искусство

Восточная мудрость

Цели урока:

Образовательные:

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их

применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать,

сравнивать;

- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню

развития.

Воспитательные:

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 45 минут

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с целью подготовки к ЕГЭ

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к

общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения

тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах

ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель:

Сегодня мы проводим урок обобщения и коррекции знаний по теме: Методы решения

тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в ЕГЭ.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и

умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами (особенностями)

решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных

тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам,

4. Актуализация знаний и умений, которые будут использоваться на уроке

Установить соответствие .Слайд1 (презентация)

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение

(чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой

задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать,

синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения,

Содержание этапа:

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения

тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют

значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

I.

Повторение изученного материала устно

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ? [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x =a , cos x=a имеют решения? [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

cos x=a ? при условии |a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

cos x=a , если a = -1; 0; 1

5) чему равен arсcos(-a) ? [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2]

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n

Z)

10) чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

Б) В каждом из приведенных

примеров сделаны ошибки.

Назовите

верный

ответ

и

подумайте

о

причине

ошибки.

Слайд---Методы решения

уравнений

Унас 3 ученика имели

задание : предложенные

тригонометрические

уравнения объединить по

группам в соответствии с

методом решения уравнения.

Предоставим им слово

Решения прилагаются. Их

отксерить и показать в

презентации(левую часть

можно от руки)

Вопросы по д/р

1)cos x=1/2 , х = ± π/6 + 2πк, к Z

Верно : cos x=1/2 , х = ± π/3 + 2πк, к Z

Ошибка в вычислении

значений

тригонометрической

функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)

к

π/3 + πк, к Z

Ошибка в формуле

нахождения решения

уравнения sin x =a

3) cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2

πк/3, к Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4

+ 6 πк, к Z

Ошибка в выполнении

деления

4) sin 2x =1/3, x = (-1/2)

n

arcsin1/3 + πn, n Z

Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)

n

/2 arcsin1/3 + πn/2, n Z

Вычислительная ошибка

5) cos x = -1/2, x = ±(-π/3) + 2πm, m

Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2π/3 + 2πm, m

Z

По

определению

arcсos(-π/3)

[0;π]

6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n Z

x- не существует, так как

√10/3

не

удовлетворяет

условию | cos x | ≤ 1

7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n Z

В периоде

8) ctg x =-√3/3, x= -π/3+πm, m

Z

Верно : ctg x =-√3/3, x= 2π/3+πm, m

Z

По

определению

arcсos(-π/3)

[0;π]

Систематизация теоретического материала. Классификация тригонометрических уравнений.

sin x/2 =1/2

cos (x +π/3)=1

sin 2x =-√3/2 ,

tg (2x -π/4)= √3/3

Это

простейшие

тригонометрические

уравнения

типа

sin

f(x)=a,

которые

решаются сначала относительно f(x), а

затем полученные уравнения решаются

относительно х по известным формулам.

2sin

2

x-7 cos x-5=0

2 cos

2

3x+ sin 3x-1=0

сtg x-√3tg x+1=√3

1/(1+ cos

2

x)+1/( sin

2

x)=16/11

Эти

уравнения

приводятся

к

алгебраическим

путем

введения

новой

переменной и сведению его к квадратному

уравнению.

sin

2

x- sin x=0

cos

2

x+ sin x cos x=1

5 sin x+3 sin2x=0

Данные уравнения решаются разложением

на

множители.

При

решении

таких

уравнений нужно пользоваться правилом:

произведение

нескольких

множителей

равно нулю, если хотя бы один из них

равен нулю, а остальные при этом имеют

смысл.

2sin x-3 cos x=0

4 sin

2

x+2 sin x cos x=3

3cos

2

x-4 sin x cos x+ sin

2

x=0

1/ cos x=4 sin x+6 cos x

Однородные уравнения первой (второй)

степени. Они решаются делением обеих

частей уравнения на cos x (sin x), cos

2

x (sin

2

x)

sin x+ sin 3x=4cos

3

x

cos 2x+ cos x=0

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

2sin

2

x+ cos 4x=0

Данный

тип

уравнений

решается

с

помощью формул сложения, понижения

степеней

и

разложения

произведения

тригонометрических функций в сумму.

cos x- √3sin x=2

2 cos x+ 2sin x=√6

√3 cos x+ sin x=2

Уравнения вида a cosx+ b sinx = c, где a;b;

c

0.

Решаются

методом

введения

вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

3 cos 3x+ cos x=4

Данные

уравнения

решаются

оценкой

левой и правой частей

Для закрепления выполним задание на компьютере модули №

Что используем для решения:

---свойства четности и нечетности

---формулы приведения

---значения тригонометрических функций разных углов

---формулы решения триг. уравн.

А еще важно знать определение обратных триг. Функций

А еще важно знатьобласть определения и мн-во знач . обр. триг.функ.

Учитель: Сейчас при подготовке к ЕГЭ мы повторяем все методы решения тригонометрических

уравнений.,обращаем внимание на детали Правильно выбранный метод часто позволяет существенно

упростить решение, поэтому все изученные методы стоит держать в зоне своего внимания. Знания, умения,

навыки полученные в процессе работы гарантируют успешное выполнение соответствующих заданий ЕГЭ.А

задания тригонометрии есть и в 1 во2 части егэ

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических

функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших

тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений,

закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми

способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений. Я думаю, что у вас сложилось более

полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня

появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока: - Что нового узнали на уроке? -

Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы? - Испытывали ли вы затруднения

при выборе самостоятельной работы? - Какие из способов решения тригонометрических уравнений из

рассмотренных оказались наиболее трудными? - Какие пробелы в знаниях выявились на уроке? - Какие

проблемы у вас возникли по окончании урока? Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я

благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь

на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!