Автор: Канаткалиева Мыдыгма Эрдыниевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ "СОШ №23 им.Г.А.Кадзова"
Населённый пункт: п. Айхал Мирнинского района РС(Я)
Наименование материала: Подготовка к ЕГЭ
Тема: Решение экономических задач ЕГЭ
Раздел: полное образование
Решение экономических задач ЕГЭ.
Канаткалиева М.Э., учитель математики МАОУ «СОШ№23 им.Г.А.Кадзова»
Приближается пора сдачи экзаменов. В помощь ученикам 11 класса хочу предложить
примеры решения, так называемых, банковских задач. Предлагаю один из способов
решения.
Экономическую задачу можно
представить в виде схемы:
Задача №1
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9930000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема
выплаты кредита, следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк
определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы
Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
S= 9930000 руб.
r = 10%
к =1+
𝑟𝑟
100
; к=1+
10
100
= 1+0,1=1,1- коэффициент увеличения
Х - сумма ежегодного платежа
Проверка:
Долг
1 год
9930000+993000=
10923000
2 год
6930000+693000=
7623000
3 год
3630000+363000=
3993000
Выплаты
3993000
3993000
3993000
Остаток долга
6930000
3630000
0
Ответ: 3993000 руб.
S
Cумма
кредита
Выплаты
Остаток по кредиту
Остаток
долга
S
кредит
Долг
Выплаты
X
X
X
0
2
3
=
−
−
−
X
kX
X
k
S
k
X
kX
S
k
−
−
2
X
kS
−
kX
X
k
S
k
X
kX
S
k
k
−
−
=
−
−
2
3
2
)
(
kX
S
k
X
kS
k
−
=
−
2
)
(
kS
1
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
1
)
1
(
0
3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
2
3
−
−
=
−
+
+
−
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
−
−
−
k
k
S
k
k
k
k
k
S
k
X
k
k
S
k
X
S
k
k
k
X
S
k
X
kX
X
k
X
kX
X
k
S
k
.
3993000
3000
1331
331
993000
1331
331
,
0
9930000
1
,
0
331
,
1
1
1
,
1
)
1
1
,
1
(
9930000
1
,
1
3
3
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
−
−
⋅
⋅
=
Х
Х
Задача №2
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет.
Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на
июль предыдущего года. Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после
погашения кредита?
S=10 млн. руб.
r = 10%
к =1+
𝑟𝑟
100
; к=1+
10
100
= 1+0,1=1,1- коэффициент увеличения
n=5лет
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на
июль предыдущего года, поэтому кредит ежегодно уменьшается на 2 млн. рублей
(10 млн :5=2 млн)
Х
1
= 11- 8= 3 млн.
Х
2
= 8,8-6= 2,8 млн.
Х
3
= 6,6- 4=2,6 млн.
Х
4
= 4,4- 2= 2,4 млн.
Х
5
= 2,2 млн.
Находим общую сумму выплат: 3+2,8+2,6+ 2,4+2,2= 13млн.
Ответ: 13 млн. рублей.
Выводы:
•
наибольшая выплата – первая;
•
наименьшая выплата – последняя;
•
долг на январь, выплаты и остаток долга образуют арифметическую прогрессию;
•
n-й член арифметической прогрессии будет равен
d
n
a
a
n
)
1
(
1
−
+
=
;
•
сумма первых n членов арифметической прогрессии равна
n
a
a
S
n
n
⋅
+
=
2
1
.
Остаток
долга в июле
( млн)
10 млн.
Долг на
январь (млн)
X
1
X
3
X
2
X
4
Выплаты
X
5
6
6
,
6
1
,
1
6
=
⋅
8
,
8
1
,
1
8
=
⋅
11
1
,
1
10
=
⋅
4
,
4
1
,
1
4
=
⋅
2
,
2
1
,
1
2
=
⋅
4
2
8
0
Задача №3
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на некоторый срок.
Условия возврата таковы:
•
-каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
•
-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
•
-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на
июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж
по кредиту не превысил 3,6 млн руб.?
S=8 млн. руб.
r = 25%
к =1+
𝑟𝑟
100
;
4
5
25
,
1
100
25
1
=
=
+
=
к
- коэффициент увеличения
Х
наибольший
≤ 3,6
.
млн
n=? - минимальный срок кредита
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на
июль предыдущего года, поэтому кредит ежегодно уменьшается на
𝐒𝐒
𝐧𝐧
млн. рублей, т.е. на
𝟖𝟖
𝐧𝐧
млн. руб.
Наибольшая выплата – первая:
n
n
Х
8
2
)
8
8
(
10
1
+
=
−
−
=
По условию задачи наибольший годовой платёж ≤ 3,6 млн. руб.
Ответ: 5.
∙∙∙
Остаток
долга в июле
( млн)
8 млн.
X
1
Выплаты
Долг на
январь (млн)
X
2
X
3
X
n
10
4
5
8
=
⋅
n
8
8
−
n
n
10
10
)
8
8
(
4
5
−
=
−
⋅
n
n
n
16
8
8
8
8
−
=
−
−
n
n
20
10
)
16
8
(
4
5
−
=
−
⋅
n
24
8
−
n
8
n
n
10
8
4
5
=
⋅
0
5
6
,
1
:
8
8
6
,
1
0
6
,
1
8
≥
≥
−
≤
−
≤
−
n
n
n
n
0
1,6n
-
8
значит
,
0
0
6
,
1
8
6
,
1
8
6
,
3
8
2
1
≤
>
≤
−
≤
≤
+
=
n
n
n
n
n
Х