Применение свойств функций при решении

уравнений и неравенств

МУНИПАЦИАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 77»

ФРУНЗЕНСКОГО РАЙОНА Г.САРАТОВА

Учитель математики:

Ерина Наталья Евгеньевна

Введение

Есть

много

видов

уравнений

и

неравенств,

которые

считаются

для

школьников задачами повышенной сложности. Для решения таких задач лучше применять не

традиционные методы, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций

таких как: монотонность, ограниченность, четность, использование ОД3, построение эскизов

графиков функций и их анализ с помощью производной. Как учитель, я ставлю перед собой

цель

познакомить

школьников

с

различными,

основанными

на

материале

программы

общеобразовательной

средней

школы

методами

решения,

казалось

бы,

трудных

задач,

проиллюстрировать

широкие

возможности

использования

хорошо

усвоенных

школьных

знаний, привить навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении

задач.

1.Использование свойств монотонности функций

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств монотонности функций основывается на следующих

утверждениях:

Если на промежутке Х функции у=f(x), у=g(x) непрерывны и одна из них строго возрастает, а другая строго убывает на

этом промежутке, тогда на промежутке Х графики функций у = f(x) и у-g(x) могут иметь не более одной точки

пересечения, а уравнение ((x) = g(x) - не более одного корня (либо не имеет корней).

Утверждение верно, если одна из функций непрерывна и строго монотонна на промежутке Х, а другая является const.

2.Использование области определения функций для решения уравнений,неравенств.

Определение.

Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства) называется множество таких значений

переменной, для которых определена каждая функция, входящая в уравнение (неравенство).

Если ОДЗ уравнения (неравенства) состоит из одного или нескольких чисел, то надо проверить, не является ли каждое

из этих чисел решением уравнения (неравенства), ЕГЭ (задание части 2)

2.Использование области определения функций для решения уравнений,неравенств.

3.Использование свойства ограниченности функции

Некоторые уравнения и неравенства можно проанализировать и решить с помощью метода оценок

выражений,

стоящих

в

левой

и

правой

частях

Уравнения

или

неравенства.

Справедливо

следующее

утверждение:

если

область

допустимых

значений

уравнения

f(x)=g(х)

есть

множество

Х

и

для

любого

хХ

справедливы

неравенства f(x) ≥ А и g(x) ≤ А, где А - некоторое число, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Х

Применение метода оценок предполагает знание и применение некоторых «опорных» неравенств:

1.Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим;

2.Неравенство для суммы взаимообратных чисел

4.Использование свойства четности функции