Обучение учащихся решению задач с использование

синтетического метода

В данной главе мы рассмотрим реализацию описанных методических

путей

обучения

математике

посредством

использования

диалогического

метода.

Обратимся

вначале

к

задачам,

которые

решаются

с

помощью

синтетического подхода. Рассмотрим ряд задач.

Задача 1. Катя купила 7 корзин яблок по 10 килограммов в каждой.

Килограмм

яблок

она

покупала

по

30

рублей;

переложив

все

яблоки

в

меньшие корзины по 5 килограммов в каждую, она продала каждую корзину

по 200 рублей. Сколько прибыли получила Катя от продажи всех яблок?

Эта задача решается синтетическим методом, и поэтому начинаем рас-

суждать, отталкиваясь от условия. Из условия, нам известно количество кор-

зин и килограммов в каждой, значит, мы можем узнать, сколько всего кило-

граммов яблок у Кати. Нам также известно, сколько рублей Катя заплатила за

килограмм, значит, мы можем найти, сколько она потратила. Далее Катя пе-

реложила все яблоки в корзины по пять килограммов и продавала каждую

корзину яблок по 200 рублей. Зная массу яблок, несложно найти количество

корзин. Чтобы узнать, сколько Катя получила денег, нужно стоимость каждой

корзины умножить на их количество. И наконец, чтобы найти прибыль, нуж-

но из тех денег, что Катя получила при продаже, вычесть количество потра-

ченных денег.

Решение.

Учитель: Если мы знаем, что куплено 7 корзин яблок и что в каждой корзине

было по 10 килограммов, что мы можем узнать?

Ребята: Мы можем узнать, сколько всего килограммов яблок (в 7 корзинах).

7 · 10 = 70 (кг) - всего яблок.

Учитель: Далее в задаче сказано, что Катя купила 1 килограмм яблок за 30

рублей, что мы можем найти из этого?

Ребята: Мы можем найти количество денег, потраченных Катей.

70 · 30 = 2100 (руб.) – потратила Катя.

Учитель: Что же потом сделала Катя?

Ребята: Она переложила все яблоки в корзины по 5 кг.

Учитель: А как мы найдем количество этих корзин?

Ребята: Мы знаем, что всего 70 кг яблок. Для того, чтобы найти количество

корзин по 5 кг, нужно 70 : 5 = 14 (корзин) по 5 кг получилось у Кати.

Учитель: Что Катя сделала потом с этими корзинами?

Ребята: Она продала их по 200 рублей за каждую. И для того, чтобы найти,

сколько денег Катя получила, нужно 14 • 200 = 2800 (руб.) - количество денег,

полученных Катей.

Учитель: А как мы найдем прибыль Кати?

Ребята: Нам нужно из денег, которые она получила, вычесть потраченные

деньги, 2800 – 2100 = 700 (руб.) - прибыль Кати.

Ответ: от продажи яблок Катя получила прибыль 700 рублей.

В синтетическом методе решения геометрических задач можно условно

выделить:

а)

непосредственное

синтетическое

решение

несложных

геометрических

задач;

б)

запись

в

виде

синтетического

решения

более

сложных задач.

а) Непосредственное синтетическое решение несложных

геометрических задач. Примером таких задач может быть следующая задача.

Задача 2. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше

другого?

1

2

Рис. 1.

Мы знаем из условия задачи, что нам даны смежные углы, один из кото-

рых в два раза больше другого, значит, один угол мы можем заменить на уд-

военный второй. Зная, что сумма смежных углов равна 180°, легко найдем

значения неизвестных углов.

Решение.

Учитель: что мы имеем из условия?

Ребята: из условия задачи мы имеем:



1 и



2 – смежные и



l = 2



2.

Учитель: что требуется найти в задаче?

Ребята: В задаче требуется найти эти смежные углы.

Учитель: А какими свойствами обладают смежные углы?

Ребята: Из свойства 1 можно записать



l

+



2 = 180° (по определению

смежных углов).

Учитель: Если учитывать данное свойство, а также условие задачи, как мож-

но найти эти углы?

Ребята:



l = 2



2;



2 + 2



2 = 180°. Получаем,



2 = 60°;



1 = 120°.

Ответ:



1 = 120° и



2 = 60°.

б) Запись в виде синтетического решения более сложных задач, где появление

вспомогательных суждений часто связано с использованием нестандартных

математических идей – анализа. Важно, чтобы эти идеи были подготовлены и

учащиеся самостоятельно к ним приходили.

Содержание этих задач можно обсуждать отдельно, а вот форма дея-

тельности в них определяется практически чистым синтезом или очень про-

стым использованием приема «синтеза через анализ».

Задача 3. Треугольники BCD и АКЕ равны. В Δ АКЕ АК = 20 см,



K

=54°,



E = 60°. Найдите соответствующие стороны и углы Δ BCD .

Зная из условия, что треугольники равны, сторону и два угла Δ АКЕ, мы

можем

определить,

какие

углы

и

стороны

первого

треугольника

равны

сторонам и углам второго треугольника, и отсюда найти соответствующие

стороны и углы Δ BCD.

Решение.

Учитель: Что мы имеем из условия задачи?

Ребята: Из условия задачи мы имеем, что Δ BCD = Δ АКЕ; АК = 20 см;



К = 54°;



E = 60°.

Учитель: Какой вывод можно сделать из того, что треугольники равны?

ВС = АК = 20 см (1, 2);



С =



К = 54° (1, 3);



D =



E = 60° (1, 4).

Ответ: АК = 20 см,



K = 54°,



E = 60°.

Задача 4. В прямоугольном Δ ABC (ВС – гипотенуза) угол В равен 30°.

Чему равен угол С?

Зная, что нам дан прямоугольный треугольник, какая сторона является

гипотенузой, легко сказать, какой угол равен 90°. А далее, используя теорему

о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике, легко найти искомый

угол.

Решение.

Учитель: Что имеем из условия задачи?

Ребята: Из условия нам дано, что Δ АВС – прямоугольный; ВС –

гипотенуза Δ ABC;



B = 30°;



C – ?

Учитель: какое следствие можно записать из п. 2?

Ребята: Используя п. 2, можно сразу записать простое следствие



А = 90°.

Учитель: Если



А = 90°, то какую теорему можно вспомнить о других углах

в этом треугольнике?

Ребята: Здесь можно применить теорему о сумме углов треугольника для

прямоугольных треугольников.



В +



C = 90°. Отсюда, мы можем найти:



С = 90° –



B = 60°.

Ответ:



C = 60°.

Задача 5. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла

равны 50 ° и 30°.

Зная из условия два угла треугольника, мы, применив теорему о сумме

углов треугольника, легко можем найти третий угол.

Решение. Учитель: что нам дано по условию?

Ребята: нам известно, что дан треугольник, два угла которого равны 50° и 30°.

Учитель: Какую теорему вы знаете о сумме углов в треугольнике?

Ребята: мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы можем

найти третий угол, 180° – (50° + 30°) = 100°.

Ответ:



С равен 100°.

Задача 6. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух

его вершинах равны 120° и 150°.

По условию в треугольнике нам известны только два внешних угла. Но

зная, что внешний угол смежен с внутренним при этой вершине и что сумма

смежных углов равна 180°, легко найдем два внутренних угла треугольника.

А затем по теореме о сумме углов в треугольнике найдем и третий угол.

Решение.

Учитель: Что нам дано в задаче?

Ребята: Нам дан треугольник, у которого внешние углы при двух вершинах

равны 120° и 150°.

Учитель: Если это внешние углы, что можно о них сказать?

Ребята: Внешний угол смежен с внутренним углом при этой же вершине.

Учитель: А что мы знаем о смежных углах?

Ребята: Сумма смежных углов равна 180°. Значит, мы можем найти



B и



C :



B = 180° – 120° = 60°,



C = 180° – 110° = 70°.

Учитель: Хорошо, теперь мы знаем два угла треугольника. Как найти третий

угол?

Ребята: По теореме о сумме углов треугольника найдем



А.



A +



B +



С = 180°, тогда



А = 180° – (



В +



С),



А = 180° – (60° + 70°) = 50°.

Ответ: 70 ° и 30°.

В преподавании математики синтетический метод должен занять важное

место. Обучение надо вести так, чтобы учащиеся не только практически

научились пользоваться синтетическим методом, но поняли его сущность и

особенности, так как владение им очень важно в практической деятельности

человека. Синтетическое изложение доказательств отличается исчерпываю-

щей полнотой, сжатостью и краткостью. Однако вести все преподавание ма-

тематики в таком стиле малоэффективно. Это связано в первую очередь с тем,

что

для

начинающих

изучать

математику

синтетические

доказательства

кажутся искусственными и непонятными.