Напоминание

"Применение метода рационализации при решении неравенств, содержащих комбинированные выражения"


Автор: Лысенкова Надежда Васильевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "СОШ № 56"
Населённый пункт: город Курск
Наименование материала: статья
Тема: "Применение метода рационализации при решении неравенств, содержащих комбинированные выражения"
Раздел: полное образование





Назад




Применение метода

рационализации при

решении неравенств,

содержащих

комбинированные

выражения

Лысенкова Надежда Васильевна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 56» г. Курска,

высшей квалификационной категории

Для

поступления

в

высшее

учебное

заведение

на

специальность,

где

математика

является

одним

из

вступительных

требований,

выпускник

средней школы должен выполнить экзаменационные задания на профильном

уровне. Каждый учитель заинтересован в получении высоких результатов

ЕГЭ. Задание № 15 (повышенного уровня сложности) профильного экзамена

по математике является перспективным в силу своей доступности учащимся

со

средним

и

хорошим

уровнем

подготовки

по

предмету.

Анализируя

ошибки, которые обучающиеся допустили при выполнении данного задания в

2016,

2017

годах,

педагоги

знакомят

выпускников

с

рациональными

приемами и методами решения неравенств и отрабатывают их применение

на практике.

Типичные ошибки связаны с:

- невнимательным чтением математической записи неравенства;

- нахождением области допустимых значений;

- применением определенных свойств;

- отбором решения.

Рассмотрим

применение

метода

рационализации

(метода

замены

множителей)

при

решении

неравенств,

позволяющего

перейти

от

неравенства,

содержащего

сложные

показательные,

логарифмические,

иррациональные, комбинированные выражения, к равносильному ему более

простому неравенству.

В ы д е л и м

н е ко т о р ы е

в ы р а ж е н и я

F

и

с о о т в е т с т ву ю щ и е

и м

рационализирующие выражения G, где

h, g , f

— выражения с переменной

x ;

h

>

0; h≠ 1;

¿

f

>¿

0;

g

> 0).

Рассмотрим

непосредственное

применение

метода

рационализации

на

конкретных примерах реальных заданий ЕГЭ по математике профильного

уровня.

Пример 1. Решите неравенство

log

x

2

(

x

+

2

)

2

≥ 1.

Решение: Какие ошибки могут допустить выпускники? В нахождении ОДЗ,

преобразовании левой части неравенства, применяя свойства логарифмов (

log

x

2

(

x

+

2

)

2

=

log

|

x

|

|

x

+

2

|

, а обучающиеся могут записать

log

x

2

(

x

+

2

)

2

=

log

x

(

x

+

2

)

¿

,

рассмотрении

всех

случаев

решения

логарифмического

неравенства

с

переменным основанием.

Рассмотрим решение неравенства методом рационализации.

1. ОДЗ:

{

x

+

2≠ 0,

x ≠ 0,

x

2

≠1 ;

{

x ≠

2,

x ≠ 0,

x ≠

1, x ≠ 1.

ОДЗ:

(

∞ ;

2

)

(

2 ;

1

)

(

1;0

)

(

0 ; 1

)

(

1 ;

+

)

.

2.

log

x

2

(

x

+

2

)

2

≥ 1

;

log

x

2

(

x

+

2

)

2

1≥ 0

;

log

x

2

(

x

+

2

)

2

log

x

2

x

2

≥ 0

;

(F)

(G)

(

(

x

+

2

)

2

x

2

)

(

x

2

1

)

≥0

;

(

x

+

2

x

)

(

x

+

2

+

x

)

(

x

1

)

(

x

+

1

)

≥ 0 ;

(

2 x

+

2

)

(

x

1

)

(

x

+

1

)

≥0 ;

(

x

+

1

)

2

(

x

1

)

≥ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

x

[

1 ;

+

)

{

1

}

.

3. С учетом ОДЗ

x

(

1 ;

+

)

.

Ответ:

(

1;

+

)

.

Пример 2. Решите неравенство

(

2 x

+

3

)

2

≥ 9

log

9

|

x

6

|

.

Решение:

1. ОДЗ:

x

6 ≠0 ;

x ≠6.

ОДЗ:

(

∞ ;6

)

(

6 ;

+

)

.

2.

|

2 x

+

3

|

|

x

6

|

.

Применим

метод

рационализации.

Данный

прием

позволит

избежать

некоторые трудности

при решении данного задания, нежели решать его

стандартным

способом,

используя

алгоритм

решения

неравенств,

содержащих выражение под знаком модуль.

(

2 x

+

3

x

+

6

)

(

2 x

+

3

+

x

6

)

≥ 0

;

(

x

+

9

)

(

3 x

3

)

≥0.

Решим неравенство методом интервалов.

x

(

∞ ;

9

]

[

1

;

+

)

.

-1

1

_

_

+

x

-9

1

x

+

-

+

3.

x

(

∞ ;

9

]

[

1

;

6

)

(

6 ;

+

)

.

Ответ:

(

∞ ;

9

]

[

1

;

6

)

(

6 ;

+

)

.

Пример 3. Решите неравенство

(

x

2

+

1

)

log

x

(

2 x

1

)

<

(

x

2

+

1

)

2

.

Решение:

1. ОДЗ:

{

x

>

0,

x ≠ 1,

2 x

1

>

0,

x

2

+

1 ≠1 ;

{

x

>

0,

x ≠ 1,

x

>

0,5.

x ϵ

(

0,5 ; 1

)

(

1;

+

)

.

2. Рассмотрим решение неравенства методом рационализации.

(

log

x

(

2 x

1

)

2

)

(

x

2

+

1

1

)

<

0

;

(

log

x

(

2 x

1

)

log

x

x

2

)

∙ x

2

<

0

;

(

2 x

1

x

2

)

(

x

1

)

∙ x

2

<

0

;

(

x

2

2 x

+

1

)

(

x

1

)

∙ x

2

>

0

;

(

x

1

)

3

∙ x

2

>

0

.

Решим неравенство методом интервалов.

x

(

1 ;

+

)

.

3. С учетом ОДЗ

x

(

1 ;

+

)

.

Ответ:

(

1;

+

)

.

Пример 4. Решите неравенство

(

5

x

1

)

(

(

1

9

)

x

81

)

∙ log

4 x

(

x

3

)

≤ 0.

Решение:

-9

1

x

6

0

1

_

_

+

x

1.

ОДЗ :

{

x

3

>

0,

4 x

>

0,

4 x ≠1 ;

{

x

>

3,

x

>

0,

x ≠

1

4

;

x

>

3.

2.

(

5

x

5

0

)

(

(

1

9

)

x

(

1

9

)

2

)

∙ log

4 x

(

x

3

)

≤0

Применим метод рационализации.

(

5

1

)

(

x

0

)

(

x

+

2

)

(

1

9

1

)

(

x

3

1

)

(

4 x

1

)

≤ 0 ;

x ∙

(

x

+

2

)

(

x

4

)

(

4 x

1

)

≥0.

Решим неравенство методом интервалов.

x

(

∞ ;

2

]

[

0

;

1

4

]

[

4 ;

+

)

.

3.

x

[

4 ;

+

)

.

Ответ:

[

4 ;

+

)

.

Пример 5. Решите неравенство

(

|

2 x

+

1

|

|

3 x

|

)

∙ log

x

(

2 x

1

)

5

x

25

x

1

≤ 0.

Решение:

1.

ОДЗ :

{

2 x

1

>

0,

x

>

0,

x ≠ 1,

5

x

25

x

1

≠0 ;

{

x

>

1

2

,

x

>

0,

x ≠1,

x ≠2.

-2

0

+

+

x

1/4

4

_

+

_

-2

0

x

3

1/4

4

x ϵ

(

1

2

; 1

)

(

1; 2

)

(

2 ;

+

)

.

2. Решим неравенство применив метод замены множителей.

(

2 x

+

1

3 x

)

(

2 x

+

1

+

3 x

)

(

2 x

2

)

(

x

1

)

(

x

2 x

+

2

)

(

5

1

)

≤ 0;

(

1

x

)

(

5 x

+

1

)

(

x

1

)

(

x

1

)

2

x

≤0 ;

(

5 x

+

1

)

(

x

1

)

3

x

2

≤ 0.

Полученное неравенство решим методом интервалов.

x

(

∞ ;

1

5

]

[

1 ; 2

)

.

3.

x

(

1 ;

+

)

.

Ответ:

(

1;

+

)

.

Задания для самостоятельного решения:

1) Решите неравенство

log

x

(

2 x

1

)

2

>

0;

2) Решите неравенство

3

log

3

|

3 x

+

2

|

|

x

+

4

|

;

3) Решите неравенство

log

(

3

x

)

(

x

3

)

4

x

≥ 4 ;

4) Решите неравенство

(

5

x

(

1

25

)

x

3

)

∙ log

(

2 x

1

)

(

x

2

2 x

+

2

)

<

0.

1

5

1

_

_

+

x

2

+

1

5

1

2

x

2

1

При

решении

неравенств,

содержащих

комбинированные

выражения,

выпускники

могут

допустить

ошибки

в

преобразовании

выражений,

применении свойств и вычислительных действиях. Применение стандартных

приемов и способов решения неравенств зачастую затруднительно. Метод

рационализации (метод замены множителей) позволяет избежать допущения

ошибок, ускорить процесс решения неравенств, что способствует наиболее

качественной

и

эффективной

подготовке

к

единому

государственному

экзамену.



В раздел образования