Автор: Лысенкова Надежда Васильевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "СОШ № 56"
Населённый пункт: город Курск
Наименование материала: статья
Тема: "Применение метода рационализации при решении неравенств, содержащих комбинированные выражения"
Раздел: полное образование
Применение метода
рационализации при
решении неравенств,
содержащих
комбинированные
выражения
Лысенкова Надежда Васильевна,
учитель математики МБОУ «СОШ № 56» г. Курска,
высшей квалификационной категории
Для
поступления
в
высшее
учебное
заведение
на
специальность,
где
математика
является
одним
из
вступительных
требований,
выпускник
средней школы должен выполнить экзаменационные задания на профильном
уровне. Каждый учитель заинтересован в получении высоких результатов
ЕГЭ. Задание № 15 (повышенного уровня сложности) профильного экзамена
по математике является перспективным в силу своей доступности учащимся
со
средним
и
хорошим
уровнем
подготовки
по
предмету.
Анализируя
ошибки, которые обучающиеся допустили при выполнении данного задания в
2016,
2017
годах,
педагоги
знакомят
выпускников
с
рациональными
приемами и методами решения неравенств и отрабатывают их применение
на практике.
Типичные ошибки связаны с:
- невнимательным чтением математической записи неравенства;
- нахождением области допустимых значений;
- применением определенных свойств;
- отбором решения.
Рассмотрим
применение
метода
рационализации
(метода
замены
множителей)
при
решении
неравенств,
позволяющего
перейти
от
неравенства,
содержащего
сложные
показательные,
логарифмические,
иррациональные, комбинированные выражения, к равносильному ему более
простому неравенству.
В ы д е л и м
н е ко т о р ы е
в ы р а ж е н и я
F
и
с о о т в е т с т ву ю щ и е
и м
рационализирующие выражения G, где
h, g , f
— выражения с переменной
x ;
h
>
0; h≠ 1;
¿
f
>¿
0;
g
> 0).
Рассмотрим
непосредственное
применение
метода
рационализации
на
конкретных примерах реальных заданий ЕГЭ по математике профильного
уровня.
Пример 1. Решите неравенство
log
x
2
(
x
+
2
)
2
≥ 1.
Решение: Какие ошибки могут допустить выпускники? В нахождении ОДЗ,
преобразовании левой части неравенства, применяя свойства логарифмов (
log
x
2
(
x
+
2
)
2
=
log
|
x
|
|
x
+
2
|
, а обучающиеся могут записать
log
x
2
(
x
+
2
)
2
=
log
x
(
x
+
2
)
¿
,
рассмотрении
всех
случаев
решения
логарифмического
неравенства
с
переменным основанием.
Рассмотрим решение неравенства методом рационализации.
1. ОДЗ:
{
x
+
2≠ 0,
x ≠ 0,
x
2
≠1 ;
{
x ≠
−
2,
x ≠ 0,
x ≠
−
1, x ≠ 1.
ОДЗ:
xϵ
(
−
∞ ;
−
2
)
∪
(
−
2 ;
−
1
)
∪
(
−
1;0
)
∪
(
0 ; 1
)
∪
(
1 ;
+
∞
)
.
2.
log
x
2
(
x
+
2
)
2
≥ 1
;
log
x
2
(
x
+
2
)
2
−
1≥ 0
;
log
x
2
(
x
+
2
)
2
−
log
x
2
x
2
≥ 0
;
(F)
(G)
(
(
x
+
2
)
2
−
x
2
)
∙
(
x
2
−
1
)
≥0
;
(
x
+
2
−
x
)
∙
(
x
+
2
+
x
)
∙
(
x
−
1
)
∙
(
x
+
1
)
≥ 0 ;
(
2 x
+
2
)
∙
(
x
−
1
)
∙
(
x
+
1
)
≥0 ;
(
x
+
1
)
2
∙
(
x
−
1
)
≥ 0.
Решим неравенство методом интервалов.
x
∈
[
1 ;
+
∞
)
∪
{
−
1
}
.
3. С учетом ОДЗ
x
∈
(
1 ;
+
∞
)
.
Ответ:
(
1;
+
∞
)
.
Пример 2. Решите неравенство
√
(
2 x
+
3
)
2
≥ 9
log
9
|
x
−
6
|
.
Решение:
1. ОДЗ:
x
−
6 ≠0 ;
x ≠6.
ОДЗ:
xϵ
(
−
∞ ;6
)
∪
(
6 ;
+
∞
)
.
2.
|
2 x
+
3
|
≥
|
x
−
6
|
.
Применим
метод
рационализации.
Данный
прием
позволит
избежать
некоторые трудности
при решении данного задания, нежели решать его
стандартным
способом,
используя
алгоритм
решения
неравенств,
содержащих выражение под знаком модуль.
(
2 x
+
3
−
x
+
6
)
∙
(
2 x
+
3
+
x
−
6
)
≥ 0
;
(
x
+
9
)
∙
(
3 x
−
3
)
≥0.
Решим неравенство методом интервалов.
x
∈
(
−
∞ ;
−
9
]
∪
[
1
;
+
∞
)
.
-1
1
_
_
+
x
-9
1
x
+
-
+
3.
x
∈
(
−
∞ ;
−
9
]
∪
[
1
;
6
)
∪
(
6 ;
+
∞
)
.
Ответ:
(
−
∞ ;
−
9
]
∪
[
1
;
6
)
∪
(
6 ;
+
∞
)
.
Пример 3. Решите неравенство
(
x
2
+
1
)
log
x
(
2 x
−
1
)
<
(
x
2
+
1
)
2
.
Решение:
1. ОДЗ:
{
x
>
0,
x ≠ 1,
2 x
−
1
>
0,
x
2
+
1 ≠1 ;
{
x
>
0,
x ≠ 1,
x
>
0,5.
x ϵ
(
0,5 ; 1
)
∪
(
1;
+
∞
)
.
2. Рассмотрим решение неравенства методом рационализации.
(
log
x
(
2 x
−
1
)
−
2
)
∙
(
x
2
+
1
−
1
)
<
0
;
(
log
x
(
2 x
−
1
)
−
log
x
x
2
)
∙ x
2
<
0
;
(
2 x
−
1
−
x
2
)
∙
(
x
−
1
)
∙ x
2
<
0
;
(
x
2
−
2 x
+
1
)
∙
(
x
−
1
)
∙ x
2
>
0
;
(
x
−
1
)
3
∙ x
2
>
0
.
Решим неравенство методом интервалов.
x
∈
(
1 ;
+
∞
)
.
3. С учетом ОДЗ
x
∈
(
1 ;
+
∞
)
.
Ответ:
(
1;
+
∞
)
.
Пример 4. Решите неравенство
(
5
x
−
1
)
∙
(
(
1
9
)
x
−
81
)
∙ log
4 x
(
x
−
3
)
≤ 0.
Решение:
-9
1
x
6
0
1
_
_
+
x
1.
ОДЗ :
{
x
−
3
>
0,
4 x
>
0,
4 x ≠1 ;
{
x
>
3,
x
>
0,
x ≠
1
4
;
x
>
3.
2.
(
5
x
−
5
0
)
∙
(
(
1
9
)
x
−
(
1
9
)
−
2
)
∙ log
4 x
(
x
−
3
)
≤0
Применим метод рационализации.
(
5
−
1
)
∙
(
x
−
0
)
∙
(
x
+
2
)
∙
(
1
9
−
1
)
∙
(
x
−
3
−
1
)
∙
(
4 x
−
1
)
≤ 0 ;
x ∙
(
x
+
2
)
∙
(
x
−
4
)
∙
(
4 x
−
1
)
≥0.
Решим неравенство методом интервалов.
x
∈
(
−
∞ ;
−
2
]
∪
[
0
;
1
4
]
∪
[
4 ;
+
∞
)
.
3.
x
∈
[
4 ;
+
∞
)
.
Ответ:
[
4 ;
+
∞
)
.
Пример 5. Решите неравенство
(
|
2 x
+
1
|
−
|
3 x
|
)
∙ log
x
(
2 x
−
1
)
5
x
−
25
x
−
1
≤ 0.
Решение:
1.
ОДЗ :
{
2 x
−
1
>
0,
x
>
0,
x ≠ 1,
5
x
−
25
x
−
1
≠0 ;
{
x
>
1
2
,
x
>
0,
x ≠1,
x ≠2.
-2
0
+
+
x
1/4
4
_
+
_
-2
0
x
3
1/4
4
x ϵ
(
1
2
; 1
)
∪
(
1; 2
)
∪
(
2 ;
+
∞
)
.
2. Решим неравенство применив метод замены множителей.
(
2 x
+
1
−
3 x
)
∙
(
2 x
+
1
+
3 x
)
∙
(
2 x
−
2
)
∙
(
x
−
1
)
(
x
−
2 x
+
2
)
∙
(
5
−
1
)
≤ 0;
(
1
−
x
)
∙
(
5 x
+
1
)
∙
(
x
−
1
)
∙
(
x
−
1
)
2
−
x
≤0 ;
(
5 x
+
1
)
∙
(
x
−
1
)
3
x
−
2
≤ 0.
Полученное неравенство решим методом интервалов.
x
∈
(
−
∞ ;
−
1
5
]
∪
[
1 ; 2
)
.
3.
x
∈
(
1 ;
+
∞
)
.
Ответ:
(
1;
+
∞
)
.
Задания для самостоятельного решения:
1) Решите неравенство
log
x
(
2 x
−
1
)
2
>
0;
2) Решите неравенство
3
log
3
|
3 x
+
2
|
≤
|
x
+
4
|
;
3) Решите неравенство
log
(
3
−
x
)
(
x
−
3
)
4
x
≥ 4 ;
4) Решите неравенство
(
5
x
−
(
1
25
)
x
−
3
)
∙ log
(
2 x
−
1
)
(
x
2
−
2 x
+
2
)
<
0.
−
1
5
1
_
_
+
x
2
+
−
1
5
1
2
x
2
1
При
решении
неравенств,
содержащих
комбинированные
выражения,
выпускники
могут
допустить
ошибки
в
преобразовании
выражений,
применении свойств и вычислительных действиях. Применение стандартных
приемов и способов решения неравенств зачастую затруднительно. Метод
рационализации (метод замены множителей) позволяет избежать допущения
ошибок, ускорить процесс решения неравенств, что способствует наиболее
качественной
и
эффективной
подготовке
к
единому
государственному
экзамену.