Деятельностный подход в

обучении математике.

В

школьной

практике

усвоение

понятий

нередко

ограничивается

заучиванием

определения

понятия

и

иллюстрацией

одним

–

двумя

примерами. Результатом такого подхода является формализм усвоения.

Учащиеся воспроизводят определения, но использовать это понятие в

других видах действий не могут. Например, учащиеся дают правильно

определение прямоугольного треугольника, но если этот треугольник

нарисовать с прямым углом при другой вершине, то многие не признают

такой

треугольник

прямоугольным.

Математическая

деятельность

ученика не должна сводиться лишь к воспроизведению полученных кем-

то знаний, а включать в себя процесс поиска, открытия новых фактов и

закономерностей.

Возникает

вопрос:

как

организовать

обучение

математики,

чтобы

усвоение

математических

понятий,

аксиом,

теорем,

алгоритмов

и

познавательных

средств

(способов

получения

математических

знаний)

происходило в комплексе, одновременно.

Одним из путей решения этой проблемы, на мой взгляд,

является

переход к личностно – ориентированной системе образования. В частности к

одной из форм личностно-ориентированных технологий – деятельностному

подходу к обучению. Никакое знание не может быть усвоено и использовано

без действий. Передать знания учащимся в готовом виде невозможно. Они

должны выполнять какие-то действия с объектами: распознавание их среди

других объектов, сравнение, аналогию, обобщение и другие. Чем больше

действий будет использовано при усвоении понятий, тем глубже оно будет

усвоено

и

тем

шире

оно

может

быть

использовано.

Связь

знаний

с

действиями

взаимная:

знания

не

могут

быть

усвоены

без

действий,

а

действия

(деятельность)

–

без

знаний.

Так

усвоение

деятельности

по

распознанию объектов, относящихся к тому или другому понятию, требует

опоры на знания о необходимых и достаточных признаках этого понятия.

В своей работе я использую активные формы и исследовательские

методы

обучения,

формирующие

сознательное

отношение

учащихся

к

процессу обучения математике. Опираясь на жизненный опыт учащихся,

подбираю систему упражнений, которые приводят к необходимости введения

нового понятия, что позволяет учащимся самостоятельно сформулировать

тему и цели урока. После введения нового понятия обязательно подбираю

задания:

1)

на опознание:



выберите те упражнения, которые могут быть решены с помощью

формулы, метода, теоремы и т.д.



дополните выражение так, чтобы его можно было преобразовать

по формуле



заполните пропуски

2)

на образы:



установите соответствие,



постройте графики и т.д.

3)

алгоритмы:



пошаговость



проговаривание



рассмотрение всех частных случаев

4)

на применение изучаемого понятия

5)

задачи на смекалку

6)

тест, как контроль усвоения понятия.

На уроках закрепления изученного понятия использую задания не только

на воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях,

но и перенос приобретенных знаний в новых или измененных условиях с

целью формирования умений. Изменяю радикально структуру упражнений.

Например, при решении уравнений (неравенств) знакомлю ребят с методами

составления уравнений (неравенств) различными способами:

1)

составить уравнение аналогичное данному, но с другими корнями

(решениями)

2

Решение уравнения

(уравнение



корни)

2

)

3

lg(

)

1

(

2

lg







x

x

Уравнение

имеет

смысл

при

x>3, x



4

1

;

7

0

7

8

9

6

2

2

)

3

(

2

2

)

3

lg(

2

)

1

(

2

lg

2

1

2

2

2































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Проверка:

7

1



x

2

2

2

?

2

lg

2

lg

2

2

?

4

lg

4

lg

2

?

4

lg

16

lg

2

?

4

lg

)

1

7

(

2

lg

2





3

1

2





x

не

удовлетворяет

уравнению

Ответ: х=7

Составление уравнения

(корни



уравнение)

с о с т а в и т ь

а н а л о г и ч н о

уравнение, имеющее корень х=5

Анализ хода решения уравнения

и

проверки

корня

х

1

=7

позволяет

пойти

по

пути

« тож д е с т во



уравнения».

Например,

.

2

6

lg

36

lg

;

2

6

lg

6

lg

2





Введём в числитель и знаменатель

ч и с л о

5

( з н ач е н и е

б уд у щ е й

переменной)

2

)

4

5

2

lg(

)

16

5

4

lg(











Составим

искомое

уравнение,

заменив 5 переменной х

2

)

4

2

lg(

)

16

4

lg(







x

x

Форму уравнения можно усложнить

2

)

2

lg(

2

lg

)

4

lg(

4

lg











x

x

Решить составленное уравнение

Решая

составленное

уравнение

ученик получает среди его корней и

намеченный корень х=5

Можно продолжить эту творческую работу дома.

2)

Раскройте механизм составления уравнений:

6

1

4

6

4

1

)

6

0

2

)

4

0

35

2

)

2

2

3

4

3

3

3

3

4

5

2

5

























x

x

x

x

x

x

x

x

x

Учащиеся раскрывают механизм составления:

1)

взять уравнение, которое сводится к решению квадратичного;

2)

сделать в нём замену переменных;

3)

замаскировать замену.

3) Игровые формы:

Например, при изучении темы «решения уравнений сводимых к квадратным»

предлагается классу перечислить известные функции.

0

4

4

4

3

4

4

)

5

3

10

5

3

3

5

)

3

2

)

2

(

)

2

(

)

1

7

7

5

1

5

2



































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3

Ребята вспоминают у=kx+b, у=ах

2

+bx+c, у=



х



, у=

x

, у=

x

k

Имеются часы с «оригинальным» циферблатом:

только пять делений, вместо цифр формулы функций.

Рассмотрим какое-либо положение стрелок. Для

формулировки задания между функциями, на которые

указывают

стрелки,

ставим

знак

р а в е н с т ва

(неравенства), если речь идёт о составлении уравнения

(неравенства).

Таким

образом,

приходим

к

заданию

решить

уравнение

3х+2=



х



.

Э т и

ч а с ы

п о м о г а ю т

заинтересовать ребят повторением решения известных уравнения. Интереснее

решать «свои» примеры, чем те, которые предлагает учитель.

Предлагается ученикам первого варианта составить задачи для учеников

второго

варианта.

Ученики

составляют

задание,

затем

обмениваются

уравнением.

Надо

убедиться,

что

уравнение

составлено

в

соответствии

с

положением

стрелок,

и

решить

его.

Затем

ученики

вновь

обмениваются

тетрадями и проверяют решение.

Затем поменять положение стрелок и на доске выписывать уравнения,

составленные учащимися. Очень быстро ребята осознают, что они начинают

повторяться.

Ребята

задумываются,

что

можно

проводить

какие

либо

преобразования

в

уже

составленных

уравнениях,

тогда

получается

новое

уравнение. Надо обсудить вопрос об изменениях, которые можно вносить:

выполнение

операций

над

функциями

(сложение,

умножение

и

т.

д.),

увеличение числа функций, введение параметра, запись в виде неравенства и

т.д.

Ребятами предлагаются уравнения:

и т.д.

Подключаясь к деятельности ребят можно предложить

дополнительные

задания

к

одному

из

составленных

ребя т ами

уравнений.

Например,

к

у р а в н е н и ю :

1

1

1









x

x

предложить

задание:

при

ка ком а

уравнение

1

1

1









x

x

a

имеет: 1) не имеет корней; 2) один корень; 3) три

корня; 4) четыре корня?

Работа

по

составлению

задач

позволяет

повторить

на

более

высоком

уровне методы решения задач.

Решение уравнений методом пристального взгляда

Алгоритм: 1) Изучить уравнение и угадать один из его корней.

2) Доказать, что других корней нет, или, пользуясь знанием корня,

найти остальные.

Упражнение 1. Угадайте корень уравнения:

4

7

1

)

4

2

3

1

2

)

3

0

3

5

)

2

1

4

1

3

)

1



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

1

3

2

7

)

;

2

5

1

)

;

0

20

)

2



















x

x

в

x

x

б

x

x

а

Упражнение

2.

Выберите

число а таким образом, чтобы х+2 было корнем

уравнения

a

x

x

x











5

3

2

2

Упражнение 3. Функция

1

7

5

7









x

x

y

убывает. Докажите.

Упражнение 4. Как ведет себя функция

8

1

3









x

x

y

.

Упражнение 5. Решите уравнение

5

8

1

3









x

x

1)

путем возведения в квадрат;

2)

сведения к системе;

3)

используя сопряженные выражения;

4)

методом пристального взгляда.

Упражнение 6. Изучите следующую запись:

.

6

)

4

3

(

)

4

2

(

)

3

4

)(

2

(

)

3

(

0

)(

2

(

2

2

2

3

2

2

a

a

a

x

a

x

x

a

ax

x

x

a

x

a

x

x



























Сопоставьте с уравнением

.

0

6

)

4

3

(

)

4

2

(

2

2

2

3













a

x

a

a

x

a

x

Решите его и составьте несколько уравнений таким же способом.

Также использую упражнения вида:

1)

Найдите ошибку в решении уравнения:

0

8

log

2

log

2





x

x

x

x

Решение:

3

x

x

x

2

x

16

1

4

3

2

log

0

1

2

log

2

log

3

2

0

8

log

1

2

log

1



















x

x

x

x

2)

На рисунке изображены график функции (сплошной линией) и график ее

производной (пунктиром). Опишите связь между поведением функции и

ее

производной

на

различных

промежутках

и

характерных

точках

графика.

3)

На рисунке изображены производные следующих функций:

1.

y=3x

2

+2x 4. y=2x

2.

y=x

3

+x

2

5. y=x

2

-1

3.

y=-2 6. y=-2x+1

Найдите пары «Функция – график ее производной»

1)

2)

3)

x

y

x

y

x

y

x

y

5

4)

5)

6)

Работа

с

таблицами

(матрицами)

более

результативна,

она

дает

дополнительную информацию, которую трудно добыть при записи таблицы

в виде столбца. Например, при изучении поведения функции в точке в

зависимости от знака первой и второй производной:

1)

верхняя строка сравнивается с нижней – возрастание функции (y'>0)

противопоставляется убыванию функции (y'<0);

2)

левый

столбец

сравнивается

с

правым

–

вогнутость

(y''>0)

противопоставляется выпуклости (y''<0) и т.д.

Визуальное мышление: при изучении нового материала

Образы:

y''

y'

y''>0

вогнутость

y''<0

выпуклость

y'>0

возрастани

е

11)

12)

y'<0

убывание

21)

22)

При изучении асимптот четыре возможных случая сближения кривой с осью

абсцисс можно изобразить матрицей.

x→

y→

-∞

+∞

0+

0-

Особо важное значение в деятельности учащихся при изучении математики

играют обобщение и аналогия.

Суждения

по

аналогии

помогают

самостоятельному

овладению

математикой. Обобщение означает переход знания на более высокий уровень на

x

y

x

y

x

y

x

y

6

Y=1/x

Y= -1/x

основе

установления

для

данных

объектов

общих

свойств

или

общих

отношений.

Например:

Доказать

неравенство

ca

bc

ab

c

b

a











,

г д е a,

b,

c

–

положительные числа.

Решение:

ab

b

a

b

a

2

)

(

0

2









Аналогично

ac

a

c

bc

c

b

2

2









Сложим почленно левые и правые части этих неравенств и разделим обе

части на 2, получим

.

ca

bc

ab

c

b

a











Далее ставится проблема: обобщить доказанное неравенство на 4, 5, … , n

членов.

a+b+c+d

da

cd

bc

ab







-

Как

со ставить

а н а л о г и ч н о е

неравенство с четырьмя членами?

- Как записать правую часть? Какую

закономерность

можно

заметить

в

правой части неравенства?

(подкоренное выражение – есть произведение двух рядом стоящих членов левой

части взятых последовательно, а также первого с последним)

Гипотеза: a+b+c+d

da

cd

bc

ab









.

Доказательство строится аналогично: (учащиеся доказывают самостоятельно)

+

da

a

d

cd

d

c

bc

c

b

ab

b

a

2

2

2

2

















--------------------

a+b+c+d

da

cd

bc

ab









Обобщить неравенство на n членов a

1

+a

2

+ …+a

n

n

a

a

a

a

a

a

1

3

2

2

1

...









.

В

этом

случае

можно

применить

для

доказательства

метод

математической индукции

.

Я

привела

только

некоторые

виды

своей

работы.

Осуществляя

деятельностный подход, я стараюсь организовать работу на уроках так, чтобы

учащиеся являлись субъектами собственной деятельности: осознавали и могли

самостоятельно вычленять проблему, поставить цели изучения того или иного

вопроса, формулировать задачи, решать их, применяя полученные знания на

практике.

7