Шишкина ИП

учитель математики МОБУ СОШ№9 им.М.И.Кершенгольца г.Якутска

Открытый урок «Истина и ложь в «математических» рассуждения».

Данной темы нет в учебнике. Тем не менее, учащиеся должны уметь решать задачи. А у них

решения

задач

вызывают

затруднения,

связанные

с

трудностями

в

анализе

текста

задачи.

К

сожалению, некоторые ученики предпочитают «метод тыка», применяя ту или иную «формулу»,

которая кажется им подходящей. Поэтому, я взяла данную тему. Урок проводился во внеурочное

время в рамках декады математики и информатики.

Классы 7а, 7б

Тема «Истина и ложь в «математических» рассуждениях»

Цель: Помочь учащимся подбирать правильный метод к конкретной задаче.

Развитие умения рассуждать, анализируя.

Ход урока

– Математики испокон века очень следят за строгостью и доказательностью своих утверждений.

Именно

поэтому

люди

верят

тем

высказываниям

и

исследованиям,

которые

используют

математический аппарат.

Однако сплошь и рядом ошибки в «математических» рассуждениях совсем незаметны и хорошо

маскируются под истину.

Вот об этом мы сегодня и поговорим. Рассмотрим пример.

Задача 1 (старинная). Два одноногих человека купили пару ботинок за 25 руб. Когда хозяин

узнал, что покупатели – инвалиды, он велел приказчику вернуть им 5 руб., но тот отдал каждому

по рублю, а 3 руб. оставил себе. Проведем подсчет: сначала каждый инвалид заплатил по 12,5 руб.,

а в итоге – по 11,5. Вместе они истратили 23 руб., плюс 3 руб., оставшиеся у приказчика, всего –

26 руб. Откуда взялся лишний рубль?

Решение. Сами вычисления проведены правильно. Значит, ошибка в том, что мы произвели не

т е вычисления. Действительно, что за сумма 26 руб.? По условию 25 руб. – это деньги, потра-

ченные покупателями (на первом этапе покупки), 23 руб. – сумма, которую они потратили

окончательно. Их должен получить хозяин магазина. Ну а 3 руб. – деньги, которые получил

приказчик, по сути, укравший их. Значит, это деньги «с минусом».

Итак, правильное вычисление будет иметь такой вид: 23 руб. – 3 руб. = 20 руб. – сумма,

полученная от инвалидов хозяином магазина. Она совпадает с 25 руб. – 5 руб. – той же суммой,

рассчитанной с точки зрения хозяина. Значит, хозяин в этой ситуации не по страдал, деньги были

украдены у покупателей.

В этой задаче действия с числами были математически правильными, но бессмысленными, так

как они не соответствуют связям реальных величин.

– Рассмотрим следующую задачу:

Задача 2. На складе лежит 400 кг огурцов, которые на 99% состоят из воды. Через некоторое

время огурцы подсохли, и теперь вода составляет только 98% их веса. Сколько стали весить эти

огурцы?

Решение.

Ученики: раз величина уменьшилась на один процент, вычтем этот процент из 400 кг. Получим

400 – 4 = 396 (кг).

– Но ведь «процент», «доля» — величины относительные. Всегда надо учитывать от чего они

берутся.

Для правильного решения задачи надо не искать подходящую формулу, а разобраться в самом

условии.

В этой задаче присутствуют две ситуации: до усыхания и после. Что их связывает? Количество

огурцов

изменилось

и

количество

воды

тоже.

Неизменным

осталось

только

сухое

вещество

огурцов. Вот для него и можно выводить соотношения.

Итак, вместе со мной: вначале сухое вещество составляло 1% и весило 4 кг. После усыхания те

же 4 кг составляют уже 2% от всей массы. Значит, эта масса равна 4 кг : 2% = 200 кг. Результат,

конечно, поразительный, но верный!

– Давайте решим ещё одну задачу:

Задача 3. Стадо из 10 коров может пастись на лугу 60 дней, пока не съест всю траву. Если бы в

стаде было 15 коров, они бы могли пастись на этом лугу 20 дней. На сколько дней хватило бы

этого луга, если бы в стаде было 20 коров?

Решение.

Ученики: раз коров стало в 2 раза больше, то травы хватит на

2

60

= 30 дней.

– Тогда непонятно, зачем нам второе условие. Попробуем, однако, решить задачу исходя из него.

Ученики: 15 коров за 20 дней съедят 15 ∙ 20 = 300 «корово-дней». Значит, 20 коровам этой

травы хватит на

20

300

= 15 дней.

– Ответ получился совершенно другим. Что же это значит? Что два условия задачи противо-

речат друг другу?

Давайте порассуждаем. Действительно, судя по первому условию, на лугу было не 300, а 10 ∙ 60

= 600 «корово-дней» травы. Откуда же взялись лишние 300 единиц? Заметим, что первое стадо

паслось 60 дней, то есть на 40 дней больше, чем второе. Можно предположить, что за это время

трава просто... отросла!

Итак, в задаче есть «подвох»: не сказано явно, что трава на лугу растет. Но ведь это мы знаем и

так. Решим теперь задачу с учетом этого факта.

Можно, конечно, ввести две неизвестные (число коров и скорость роста) и составить уравнения.

Заметим, однако, что одну из величин мы уже почти вычислили. Действительно, «лишние» 300

единиц травы отросли за 40 дней, значит, в день отрастает

40

300

= 7,5 единиц. За 60 дней отросло

60 ∙ 7,5 = 450 единиц. Значит, вначале на лугу было 600 – 450 = 150 «корово-дней» корма.

Итак, стадо из 20 коров за х дней съест 20х единиц травы, а возможности луга за это время

составляют 150 + 7,5х единиц.

Решая уравнение 150 + 7,5х = 20х, получаем, что х = 12 (дней).

Значит, стадо из 20 коров съест всё траву за 12 дней.

– Давайте сделаем вывод.

– Нужно подбирать правильный метод к конкретной задаче.