Автор: Ежова Елена Сергеевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ "СОШ №77"
Населённый пункт: г.Саратов
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Метод рационализации при решении неравенств при подготовке к ЕГЭ"
Дата публикации: 16.05.2018
Раздел: полное образование
Очевидно, что одно и то же неравенство можно решить несколькими способами. Удачно
выбранным способом или, как мы привыкли говорить, рациональным способом любое
неравенство решится быстро и легко, решение его получится красивым и интересным .
Мне хочется более подробно рассмотреть так называемый метод рационализации при
решении логарифмических и показательных неравенств, а также неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Основная идея метода.
Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду
Где символ «
⋁
» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:
≤ , ≥ ,
>,<,.
При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе
или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам
неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой
знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области
те же корни.
Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот
факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства
к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.
Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.
Утверждение 1. Функция f(x) есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для
любых значений t
1
и
t
2
из области определения функции разность (t
1
- t
2
) совпадает по
знаку с разностью (f(t
1
)- f(t
2
)), то есть , f ↑<=> (t
1
- t
2
) ↔
ОДЗ
(f(t
1
)- f(t
2
)),
(↔ означает знакосовпадение)
Утверждение 2. Функция f(x) есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для
любых значений t
1
и
t
2
из области определения функции разность (t
1
- t
2
) совпадает по
знаку с разностью (f(t
2
)- f(t
1
)), то есть f ↓<=> (t
1
- t
2
) ↔
ОДЗ
(f(t
2
)- f(t
1
)).
Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго
монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что
Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с
произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы,
то есть
.
Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с
произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то
есть
.
Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью
квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:
Пример 1.
Решите неравенство
Решение.
Перейдем к равносильной системе:
Из первого неравенства получаем
или
Второе неравенство выполняется при всех
Из третьего неравенства получаем
или
Таким образом, множество решений исходного неравенства:
О т в е т :
Пример 2.
Решите неравенство
Решение.
Решим неравенство:
О т в е т : (−4; −3)
∪
(−1; 3).
Пример 3.
Решить неравенство
(
log
2
x
−
3
)
(
x
2
−
7 x
−
8
)
log
0,4
x
≥0
Приведем неравенство к виду, в котором явно видна разность значений логарифмической
функции.
(
log
2
x
−
log
2
8
)
(
x
2
−
7 x
−
8
)
log
0,4
x
−
log
0,4
1
≥0
Заменим разность значений логарифмической функции на разность значений аргумента. В
числителе функция возрастающая, а в знаменателе убывающая, поэтому знак неравенства
изменится на противоположный. Важно не забыть учесть область определения
логарифмической функции, поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств.
{
(
x
−
8
)
(
x
2
−
7 x
−
8
)
x
−
1
≤ 0
¿
x
>
0
<=>
Первое неравенство решим методом интервалов.
Корни числителя: 8; 8;
−
1
Корень знаменателя: 1
Ответ:
(
0 ; 1
)
∪
{
8
}
Пример 4.
Решить неравенство
|
x
2
−
2 x
−
3
|
−
|
6 x
+
6
|
log
0,3
(
x
+
3
)
≥ 0
|
x
2
−
2 x
−
3
|
−
|
6 x
+
6
|
log
0,3
(
x
+
3
)
−
log
0,3
1
≥ 0
Заменим в числителе разность модулей двух функций разностью их квадратов, а в
знаменателе разность значений логарифмической функции разностью аргументов.
В знаменателе функция убывающая, значит, знак неравенства изменится на
противоположный.
При этом надо учесть область определения логарифмической
функции.
{
(
x
2
−
2 x
−
3
)
2
−
(
6 x
+
6
)
2
(
x
+
3
)
−
1
≤ 0
x
+
3
>
0
{
(
(
x
2
−
2 x
−
3
)
−
(
6 x
+
6
)
) (
(
x
2
−
2 x
−
3
)
+
(
6 x
+
6
)
)
x
+
2
≤0
x
+
3
>
0
{
(
x
2
−
8 x
−
9
) (
x
2
+
4 x
+
3
)
x
+
2
≤ 0
x
>−
3
-3 -2 -1 9
Первое неравенство решим методом интервалов.
Корни числителя:
−
1 ; 9 ;
−
1;
−
3.
Корни знаменателя:
−
2.
Ответ:
(
−
2 ; 9
]
Пример 5
Решить неравенство
log
0,7
(
2 x
2
−
8
)
−
log
0,7
(
x
2
+
8 x
−
20
)
(
5
3
)
x
2
−
(
5
3
)
24
−
10 x
≥0
Заменим в числителе и знаменателе разность значений монотонных функций разностью
значений аргументов, учитывая область определения функций и характер монотонности.
{
2 x
2
−
8
>
0
x
2
+
8 x
−
20
>
0
(
2 x
2
−
8
)
−
(
x
2
+
8 x
−
20
)
x
2
−
(
24
−
10 x
)
≤ 0
{
2 x
2
−
8
>
0
(
1
)
x
2
+
8 x
−
20
>
0
(
2
)
x
2
−
8 x
+
12
x
2
+
10 x
−
24
≤ 0
(
3
)
(
1
)
Корни:
;
−
2.
(
2
)
Корни:
;
−
10.
(
3
)
Корни числителя:
;
. Корни знаменателя:
;
−
12.
Ответ:
(
−
12 ;
−
10
)
∪
(
2 ; 6
]
Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).
а) Замена знакопостоянных множителей.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.
12)
13)
14)
15)
16)
,
17)
.
18)
.
19)
.
20)
21)
.
22)
23)
24)
в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими
выражениями.
25)
26)
,
27)
28)
31
32)
.
33)
.
Решение. ОДЗ:
.
Замена множителей:
1)
2)
.
Имеем систему:
В этом неравенстве уже нельзя множители
и
рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 1
и
ОДЗ могут принимать как положительные так и отрицательные значения.
при
, а
, а
=
2)
Имеем систему:
, а
Замена множителей:
2)
Имеем систему:
, а
Замена множителей:
2)
Имеем систему:
, а
Замена множителей:
2)
Имеем систему:
В итоге имеем: х
Метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены
функций, правило знаков) заключается в замене сложного выражения F(x ) на более
простое выражение G(x ), при котором неравенство G(x )
⋁
0 равносильно неравенству F (x
)
⋁
0 в области определения выражения F(x ).