Напоминание

Метод рационализации при решении неравенств при подготовке к ЕГЭ"


Автор: Ежова Елена Сергеевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ "СОШ №77"
Населённый пункт: г.Саратов
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Метод рационализации при решении неравенств при подготовке к ЕГЭ"
Дата публикации: 16.05.2018
Раздел: полное образование





Назад




Очевидно, что одно и то же неравенство можно решить несколькими способами. Удачно

выбранным способом или, как мы привыкли говорить, рациональным способом любое

неравенство решится быстро и легко, решение его получится красивым и интересным .

Мне хочется более подробно рассмотреть так называемый метод рационализации при

решении логарифмических и показательных неравенств, а также неравенств, содержащих

переменную под знаком модуля.

Основная идея метода.

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

Где символ «

» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:

≤ , ≥ ,

>,<,.

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе

или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам

неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой

знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области

те же корни.

Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот

факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства

к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.

Утверждение 1. Функция f(x) есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для

любых значений t

1

и

t

2

из области определения функции разность (t

1

- t

2

) совпадает по

знаку с разностью (f(t

1

)- f(t

2

)), то есть , f ↑<=> (t

1

- t

2

) ↔

ОДЗ

(f(t

1

)- f(t

2

)),

(↔ означает знакосовпадение)

Утверждение 2. Функция f(x) есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для

любых значений t

1

и

t

2

из области определения функции разность (t

1

- t

2

) совпадает по

знаку с разностью (f(t

2

)- f(t

1

)), то есть f ↓<=> (t

1

- t

2

) ↔

ОДЗ

(f(t

2

)- f(t

1

)).

Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго

монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что

Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с

произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы,

то есть

.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с

произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то

есть

.

Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью

квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:

Пример 1.

Решите неравенство

Решение.

Перейдем к равносильной системе:

Из первого неравенства получаем

или

Второе неравенство выполняется при всех

Из третьего неравенства получаем

или

Таким образом, множество решений исходного неравенства:

О т в е т :

Пример 2.

Решите неравенство

Решение.

Решим неравенство:

О т в е т : (−4; −3)

(−1; 3).

Пример 3.

Решить неравенство

(

log

2

x

3

)

(

x

2

7 x

8

)

log

0,4

x

≥0

Приведем неравенство к виду, в котором явно видна разность значений логарифмической

функции.

(

log

2

x

log

2

8

)

(

x

2

7 x

8

)

log

0,4

x

log

0,4

1

≥0

Заменим разность значений логарифмической функции на разность значений аргумента. В

числителе функция возрастающая, а в знаменателе убывающая, поэтому знак неравенства

изменится на противоположный. Важно не забыть учесть область определения

логарифмической функции, поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств.

{

(

x

8

)

(

x

2

7 x

8

)

x

1

≤ 0

¿

x

>

0

<=>

Первое неравенство решим методом интервалов.

Корни числителя: 8; 8;

1

Корень знаменателя: 1

Ответ:

(

0 ; 1

)

{

8

}

Пример 4.

Решить неравенство

|

x

2

2 x

3

|

|

6 x

+

6

|

log

0,3

(

x

+

3

)

≥ 0

|

x

2

2 x

3

|

|

6 x

+

6

|

log

0,3

(

x

+

3

)

log

0,3

1

≥ 0

Заменим в числителе разность модулей двух функций разностью их квадратов, а в

знаменателе разность значений логарифмической функции разностью аргументов.

В знаменателе функция убывающая, значит, знак неравенства изменится на

противоположный.

При этом надо учесть область определения логарифмической

функции.

{

(

x

2

2 x

3

)

2

(

6 x

+

6

)

2

(

x

+

3

)

1

≤ 0

x

+

3

>

0

{

(

(

x

2

2 x

3

)

(

6 x

+

6

)

) (

(

x

2

2 x

3

)

+

(

6 x

+

6

)

)

x

+

2

≤0

x

+

3

>

0

{

(

x

2

8 x

9

) (

x

2

+

4 x

+

3

)

x

+

2

≤ 0

x

>−

3

-3 -2 -1 9

Первое неравенство решим методом интервалов.

Корни числителя:

1 ; 9 ;

1;

3.

Корни знаменателя:

2.

Ответ:

(

2 ; 9

]

Пример 5

Решить неравенство

log

0,7

(

2 x

2

8

)

log

0,7

(

x

2

+

8 x

20

)

(

5

3

)

x

2

(

5

3

)

24

10 x

≥0

Заменим в числителе и знаменателе разность значений монотонных функций разностью

значений аргументов, учитывая область определения функций и характер монотонности.

{

2 x

2

8

>

0

x

2

+

8 x

20

>

0

(

2 x

2

8

)

(

x

2

+

8 x

20

)

x

2

(

24

10 x

)

≤ 0

{

2 x

2

8

>

0

(

1

)

x

2

+

8 x

20

>

0

(

2

)

x

2

8 x

+

12

x

2

+

10 x

24

≤ 0

(

3

)

(

1

)

Корни:

;

2.

(

2

)

Корни:

;

10.

(

3

)

Корни числителя:

;

. Корни знаменателя:

;

12.

Ответ:

(

12 ;

10

)

(

2 ; 6

]

Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).

а) Замена знакопостоянных множителей.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.

12)

13)

14)

15)

16)

,

17)

.

18)

.

19)

.

20)

21)

.

22)

23)

24)

в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими

выражениями.

25)

26)

,

27)

28)

31

32)

.

33)

.

Решение. ОДЗ:

.

Замена множителей:

1)

2)

.

Имеем систему:

В этом неравенстве уже нельзя множители

и

рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 1

и

ОДЗ могут принимать как положительные так и отрицательные значения.

при

, а

, а

=

2)

Имеем систему:

, а

Замена множителей:

2)

Имеем систему:

, а

Замена множителей:

2)

Имеем систему:

, а

Замена множителей:

2)

Имеем систему:

В итоге имеем: х

Метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены

функций, правило знаков) заключается в замене сложного выражения F(x ) на более

простое выражение G(x ), при котором неравенство G(x )

0 равносильно неравенству F (x

)

0 в области определения выражения F(x ).



В раздел образования