«Числовые

множества

в

школьном

курсе

математики»

Автор: Савенкова Наталья Анатольевна

Учитель математики, ГБОУ СОШ №2072, г. Москвы

Е-mail:

savenkova2009@mail

Числовые

множества

–

совокупность

важнейших

понятий

в

математике.

Как вводятся числовые множества в школьном курсе. В каком

классе мы с

ними встречаемся впервые?

Каковы способы их введения?

Первые

представления

о

числах

складывались

постепенно

под

влиянием

практики.

Надо

было

сравнивать

множества

различных

предметов,

устанавливать

существующие

между

ними

отношения.

Надо

было объединять два множества предметов в одно множество или

удалять из множества некоторое подмножество. Далеко не всегда

непосредственное решение таких задач было простым. Но в результате

усилий многих поколений, по мере развития способности людей к

абстрагированию,

возникавшие трудности успешно преодолевались - с

появлением натуральных чисел и операций над ними решение этих задач

существенно

упростилось. Сравнение множеств, например, стало теперь

сводиться к счету и сравнению полученных чисел.

В школе числа начинают изучать с первого класса, но самое первое

представление о счете дети получают, будучи еще дошкольниками: кто-то

занимается дома, кто-то в детском саду. Первоначально они считают

пальцы у себя на руках, потом переходят к счету других предметов.

Например: имеется 5 кубиков, из них три зеленых и два синих.

Предлагается положить отдельно синие и зеленые и сосчитать, сколько

кубиков в каждой группе. Поэтому не случайно в начале обучения в

первом

классе

проводят проверку, в процессе которой выявляется запас

математических знаний и умений у детей, поступивших в первый класс, и

готовят их к работе над первой темой программы - нумерацией чисел в

пределах

10. Важно на этом этапе установить, умеет ли ребенок считать

1

предметы и в каких пределах, понимает ли арифметический смысл

выражений

"больше",

"меньше",

"столько

же”. В непринужденной беседе

учитель

предлагает

ребенку

выполнить

несколько

заданий

по

составленному

вопроснику,

например: Умеешь ли ты считать?

Посчитай…Сколько здесь палочек? (на столе девять палочек). Эти

вопрос

ы-задания дают возможность выяснить главное - сформирована ли

у детей та основа, которая необходима для изу

чения чисел и действий

над ними

. Задания 1 и 2 направлены на то, чтобы ребенок знал по

крайней мере первые десять числительных, умел вести счет предметов.

Поскольку подготовка у детей разная, первые уроки посвящены

отработке умения вести счет тех или иных объектов: сосчитать

отдельные

предметы,

звуки

(например, хлопков); из десяти палочек

выбрать шесть или семь и положить перед собой. Проводя такие

упражнения,

важно,

учитывая

подготовку

детей,

отработать

следующие

вопросы: знание чисел натурального ряда в пределах десяти; знание

того,

что последнее из названных числительных дает ответ на вопрос

"сколько"? Здесь же могут предлагаться задания,

направленные

на

выяснение

порядковых

отношений, например: кто стоит перед Олей?

после Миши? между Витей и Таней? Кто стоит в ряду первым? вторым?

которой по счету стоит Таня? Витя? Исходя из примеров, которые близки

и понятны детям, с которыми они много раз встречались в жизни,

обращают

внимание

учащихся на случаи взаимно однозначного

соответствия

между

элементами

двух

совокупностей,

например: каждая

чашка обычно ставится на блюдце - сколько чашек, столько должно быть

и блюдец; сколько человек будет обедать, столько должно быть и стульев

за столом, столько же должно быть и тарелок на столе. Далее

начинается

работа над сравнением - над выяснением, каких предметов больше, а

каких

меньше. С этой целью детям предлагают такие задания: сравнить

число больших и маленьких кубиков, поставив на каждый большой по

одному

маленькому.Такие

упражнения

особенно полезны, так как они

2

служат

хорошей подготовкой к дальнейшему изучению понятия числа. В

начальном курсе математики работа над нумерацией и арифметическими

действиями

строится

концентрически

(десяток-сотня-тысяча-

многозначные

числа). В качестве первого концентра выделен

"Десяток".

При изучении этой темы дети знакомятся с первыми

десятью

числами

натурального ряда и действиями сложения и вычитания в этих пределах.

Именно на этом этапе обучения учащиеся

должны

научиться

пользоваться

усвоенным

ими

отрезком

натурального ряда чисел для

получения ответа на вопрос, сколько элементов входит в состав

предложенного

им

множества. Действительно,

первое

знакомство

с

числами

1 и 2 начинается о того, что учитель предлагает, например, положить на

наборное полотно один треугольник, добавить к нему еще один.

Сосчитать сколько

стало

треугольников,

объяснить,

как

получили

два

треугольника (к одному прибавили еще один), далее сам учитель по-

казывает, как можно записать, что у нас один треугольник и два

треугольника; для этого он выставляет на наборном полотне карточки с

цифрами 1 и 2. Потом говорит, что этот знак означает "один", а этот

"два".

Знаки,

которыми

записываются

числа, называется цифрами.

Следует заметить, что изучают числа не отдельно друг от друга, а

отрезками,

т.е. 1,

2;

1, 2, 3; 1, 2, 3, 4;..., это облегчает

понимание.

Например,

рассматривая

одновременно

числа 1 и 2, устанавливают, что 1

меньше 2, а

2

больше 1. Например, учитель обращается к ученику:

"Положи на верхнюю полочку наборного полотна один кружок. Под ним

на нижнюю полочку положи столько же треугольников. Сколько ты

положил

треугольников?

Почему

один?

Прибавь

к

этому

треугольнику

еще один. Чего меньше? Затем ставится основной вопрос: какое же число

больше

2 или 1? Делается общий вывод: два больше, чем один, а один

меньше, чем два. Одновременно

учащиеся

отрабатывают

навыки

сложения и вычитания. Например, учитель рисует на доске блюдце, на

нем одно яблоко и предлагает детям посмотреть на рисунок; затем дети

3

по просьбе учителя закрывают глаза, и в это время учитель рисует еще

одно яблоко. Затем спрашивает: "Кто заметил, что изменилось? Что я

сделала? (Вы нарисовали еще одно яблоко). Больше яблок или меньше?

(Яблок стало больше). Сколько всего стало яблок? Как получили два

яблока?

Дети

должны

ответить: "Было

одно

яблоко,

нарисовали еще

одно. Всего стало два яблока". Далее учитель говорит: "Здесь мы

прибавили к одному один и получили два". Теперь посмотрите, как это

можно записать: Подобная работа проводится и над примером (из двух

вычесть

один

получается

один). При изучении чисел три и четыре

напоминают детям, как получить число два ( 1+1 ) или как получить

е д и н и ц у

(2 -

1 )

. Значит, проделывая такую работу, дети осознают

и усваивают, что для получения числа, следующего за данным,

достаточно прибавить к данному числу единицу, и что поэтому числа в

натуральном

ряду возрастают (каждое число больше всех чисел,

встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа,

которое называют при счете после него). Так же знакомятся с тем, что

каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы

двух

или

нескольких

слагаемых. Нужно обратить внимание на то, что

числа получаются не только в результате счета, но и в результате

измерения. Первым таким шагом является ознакомление с сантиметром и

с

измерением отрезка с помощью разделенной на сантиметры линейки.

Это делается с той целью, чтобы ученики сами установили, что означает

каждая цифра. Это в какой-то мере предупредит обычную для пер-

воклассников ошибку, когда они начинают отмеривать по линейке не с

нуля, а с единицы. На

уроках,

посвященных

нумерации

чисел

первого

десятка,

перед глазами детей всё время должен находиться ряд чисел от 1

до того числа, которое рассматривается в данный момент, это в какой-то

степени

помогает

усвоить

количественные

и

порядковые

свойства

чисел.

Прочную наглядную основу для усвоения нумерации чисел создает

изучение

геометрического

материала,

поскольку

здесь

учащиеся

4

выполняют

практические

работы,

чертят,

измеряют,

Так,

например,

знакомясь с многоугольниками, дети считают вершины и стороны,

сравнивая их число у разных многоугольников.

Познакомившись с

точкой, прямой, дети учатся проводить прямую через одну и через две

точки, соединять две точки отрезком. Все эти упражнения закрепляют

знания

по

нумерации. Изучая

числа

первого

десятка,

учащиеся

знакомятся с числом нуль, вводится обозначение числа нуль цифрой. Изучение

переместительного свойства сложения начинается с примера: учитель

говорить: "Придвиньте 3 треугольника к 4. Сколько стало? ( 4 + 3 = 7 ).

Теперь

снова

разложите

треугольники

отдельно и придвиньте 4

треугольника к 3. Сколько стало?(3+4 = 7). В чем сходны и в чем различны

эти примеры? Они схожи тем, что слагаемые одинаковые и суммы тоже, а

различаются тем, что слагаемые

поменялись

местами.

Проделывая

ряд

таких

упражнений, учащиеся приходят к выводу, что легче к большому

числу прибавить меньшее, чем к меньшему - большее, а переставлять

числа при сложении всегда можно - сумма от этого не меняется. Или

учитель

предлагает

такое

задание: "Положите на парту 5 красных и 4 си-

них кружка. Сколько всего кружков положили? ( 5+4=9 , первое

слагаемое 5, второе 4, сумма 9). Отодвиньте в сторону 4 синих кружка.

Сколько кружков осталось? ( 9 – 4 = 5), из суммы вычли второе

слагаемое

получили

первое

слагаемое

5). Вывод: если из суммы вычесть

первое

слагаемое,

получится

второе

слагаемое,

и

наоборот.

Полученные

знания они должны легко применять к уравнениям вида: x + 2 = 5. Имея

такой багаж знаний, дети приступают к изучению нового концентра

"Сотня". При изучении нумерации выделяют две ступени: сначала изуча-

ется нумерация чисел 11-20, а затем 21-100. Такой порядок обусловлен

тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и

названия разрядных чисел (20, 30, 40,…, 90). Изучение устной

нумерации

чисел

второго

десятка

начинается с формирования у детей

понятия о десятке. Отсчитывая по 10 палочек и связывая их в пучки,

5

учащиеся узнают, что десять единиц

образуют

десяток.

Например,

число

12 - это 1 десяток и 2 единицы, 13 - это 1 десяток и три единицы (причем

всё время дети должны помнить, что каждое последующее число

образуется путем прибавления единицы к данному и оно на единицу

больше

данного;

каждое

предыдущее

число

образуется

путем

вычитания

единицы из данного и оно меньше данного на единицу). При

изучении

нумерации чисел в пределах 100, следует обратить внимание на то, что

числа пишутся так же как читаются: на первом месте десятки, потом

единицы. Например, тридцать пять – 35. Операции сложения и

вычитания в пределах 100 вводятся на основании знания сложения и

вычитания в пределах 10. В первом классе сначала изучается сложение и

вычитание

круглых чисел(70+20, 60 - 40

и т.п.); оно сводится к

рассмотрению

сложения

и

вычитания

однозначных

чисел,

которые

выражают число десятков. Например, чтобы к 50 прибавить 20, доста-

точно к 5 десяткам прибавить 2 десятка; получится 7 десятков, или 70.

Вторым по плану стоит изучение прибавления числа к сумме. Но перед

этим детям должны сообщить, что суммой в записи 10+4=14

называется

не только число 14, но и то выражение, которое стоит слева. Здесь же

вводятся

скобки, показывающие,

что то или иное

арифметическое

действие

выполняется не над отдельными числами, а над некоторым

математическим

выражением.

Например,

требуется

к

числу

10

прибавить

сумму чисел 3 и 6; чтобы показать, что надо прибавить именно сумму, то

записывают в скобках. Аналогично поступают с разностью. Однов-

ременно с закреплением знаний по нумерации проходит работа над

усвоением

сочетательного

свойства.

Например, (4+2) + 3 = 6 + 3 = 9,

(4+2) + 3 = (4+3) + 2 = 9; (4+2) +3 = 4 + (2+3) = 9. Перед

учащимися

три

способа нахождения результата, из которых они выбирают более

рациональный. Во втором классе дети продолжают знакомство с этим

свойством, вводят приемы поразрядного сложения и вычитания

двузначных

чисел.

6

В этом же концентре "Сотня" детей знакомят с новыми операциями -

умножением

и

делением. Еще в 1 классе при изучении нумерации»

сложения и вычитания в пределах 10 и 100 вводился счет пар и троек

предметов и предлагались задачи на нахождение суммы одинаковых и

неодинаковых слагаемых. Например, в трех коробках лежит по 6 каранда-

шей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках? Или: в первой

коробке 3 карандаш, во второй - 6, в третьей – 8. Сколько всего

карандашей в коробках? Решая такие задачи и примеры, учащиеся

должны

заметить, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми. Во 2 классе такие

суммы

заменяют

произведением (6 + 6 + 6 +6 = 24).

Например,

учитель

предлагает

решить

задачу: "Девочка наклеила марки на 4 страницы

альбома, по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка?

Что можно сказать о слагаемых (5+5+5+5= 20)?. Если

слагаемые

одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5x4=20. Сложение

одинаковых

слагаемых

называется

умножением

.

Введение

перемести-

тельного

свойства

умножения

имеет

важное

значение : оно дает

возможность почта вдвое сократить число случаев, которые необходимо

запомнить

наизусть. Конкретный смысл другой операции - деления –

раскрывается с помощью

соответствующих

примеров. Интересны

случаи

умножения и деления с нулем, в учебнике это приводится в качестве

упражнений.

Зная

определение

произведения:

сумму b слагаемых, каждая

из которых равна a, называют

произведением

чисел a и b и

обозначают

a×b, ученики без труда могут найти значение, например: 0×2 = 0 + 0 = 0.

Приходим к выводу, что при умножении нуля на любое число, получается

нуль. Но если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти

сложением,

нельзя

использовать

и

перестановку

множителей, так как это

новая

область

чисел. Данное в учебнике определение умножения числа a

на число b не имеет смысла, если

b = 0

или

b = 1

.

Действительно,

сумма,

7

в которой 0 слагаемых, и сумма, в которой 1 слагаемое, - бессмыслица.

Рисунки, помещенные в учебнике, помогают учащимся делать

правильные

выводы.

Операция

деления

в

учебнике

определяется

так:

разделить

число a на число b - значит найти такое число x, при

умножении

которого

на число b получается a: x×b=a.

Далее

поясняется:

ни одно число нельзя делить на нуль. Ведь разделить, например,

6 на 0 -

это значит найти такое число x , при котором 0×x = 6. А при любом

значении x произведение 0×x равно нулю, а не 6. Нельзя делить и 0 на 0.

Рассуждая

аналогично,

получаем 0 × x = 0. Какое бы число x мы ни

взяли, это равенство будет верным. Поэтому невозможно указать опреде-

ленное

значение x. Зная свойства сложения, зная, что умножение - это

сложение

нескольких

одинаковых

слагаемых,

учащиеся

без

особого

труда

должны найти пути к решению таких примеров, как: 4(3+2) = 4 × 5 = 20,

10(6+2) = 10 × 8 = 80, 20 × 3 (2 десятка × 3 = 6 десятков или 60).

12 × 3 = (10+2) × 3 = 10 × 3 + 2 × 3 = 30 + 6 = 36, 46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 :

2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23. Далее знания устных приемов и вычислений дети

закрепляют в концентре "Тысяча". Как и раньше, приемы вычислений

раскрываются с опорой на теорию арифметических действий. Это дает

возможность учащимся не только самостоятельно объяснить ранее изу-

ченные приемы вычислений, применяемые теперь к трехзначным числам,

но и находить новые. Нумерацию многозначных чисел и действия над

ними выделяют в особый концентр, потому что нумерация чисел за

пределами

1000 имеет

свои

особенности:

многозначные

числа

образуются,

называются, записываются с опорой не только на понятие

разряда, но и на понятие класса. Арифметические действия над

многозначными числами выполняются с использованием как устных, так

и письменных

приемов

вычислений. Впервые

термин

"натуральные

числа"

появляется

в учебнике

5 класса. Здесь говорится, что

"натуральные числа - числа, употребляемые

при

счете

предметов".

Изучение

большой

темы

"Положительные

рациональные

числа"

8

начинается во втором классе с понятия доли. Первые уроки посвящены

ознакомлению

детей с получением долей и их обозначением. В связи с

этим

проводится

много

практических

упражнений - деление на разные

части

разнообразных

реальных предметов:

яблока,

булки,

ленточки,

моделей,

геометрических

фигур

(квадрата,

прямоугольники).

Показав

процесс получения долей, обращают внимание детей на то, по какому

принципу доли получают свое название, т.е. устанавливают связь между

названием доли и тем, на сколько равных частей разделено целое (если

целое разделено на две равные части, то каждая такая часть - одна вторая,

если на четыре - одна четвертая). На основании

практического

деления

фигур на равные части проводится и сравнение долей. Начинают эту

работу со сравнения второй и четвертой долей одного и того же круга.

Например,

детям

предлагают

раскрасить

половину

круга

карандашом

одного цвета, а одну четвертую долю - карандашом другого цвета, и

ставится вопрос, что больше - половина или четвертая доля. Наиболее

интересная работа во втором классе проходит над темой – "нахождение

доли числа и числа по его доле". Учащиеся решают много разнообразных

задач и делают из них выводы. Например,

учитель

просит

отмерить

полоску бумаги, длиной 12 см, разделить ее (перегибанием) на две

равные части. Измерить половину полоски. Пусть в половине содержится

6 см. Разделить полоску на четыре равные части, Спрашивается, какова

длина 1/4 части полоски. Проделав достаточное число упражнений на

предыдущем уроке, дети должны сразу ответить: 12/4 . Аналогично на

моделях

разбираются

обратные

задачи. В третьем классе на конкретных

моделях

(

круга,

прямоугольника,

отрезка) вводят понятия "дробь",

"знаменатель",

"числитель". А именно: число, записанное под чертой -

знаменатель дроби

- показывает, на сколько равных частей разделен круг;

число над чертой - числитель дроби - показывает, сколько взято равных

частей круга. В 5-6 классе работа над этой темой продолжается, дети

узнают, что такие записи, как 1/4 и 3/4

называют

обыкновенными

дробями.

9

Дроби 2/4 и 1/2 называются равными, это школьники узнают из ряда

решаемых ими задач. Например, девочке дали 2/4 пирога, а мальчику - 1/2

пирога. Девочка получила два маленьких куска, а мальчик - один

большой. Но они получили поровну. Сравнение дробей с одинаковыми

знаменателями

производится на

наглядных примерах.

Далее

учащиеся

узнают, что дроби бывают правильные и неправильные. Рассмотрим

пример:

разрежем

пирог на восемь равных частей и три части положим на

тарелку. На ней будет 3/8 пирога, если положить все восемь частей, то на

тарелке

будет 8/8 пирога. Возьмем еще такой же пирог и разрежем его

тоже на восемь равных частей, тогда на тарелку можно положить,

например,

одиннадцать

частей.

Там

будет 11/8 пирога. Замечают, что в

дроби 3/8 числитель меньше знаменателя. Так вот, такие дроби называют

правильными.

В

дробях 11/8 и 8/8 числитель

больше

знаменателя

или

равен ему. Такие дроби называют

неправильными. С дробями можно

производить

арифметические

операции;

а

именно: при сложении дробей

с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют

числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель.

Например,

буханку хлеба разрезали на восемь разных частей. Сначала на тарелку

положили две части, потом еще пять. На тарелке оказалось семь восьмых

частей

буханки: 2/8 + 5/8 = 7/8 . Заметим, что здесь же вводят сумму

целого и дробного чисел следующим образом: пусть длина отрезка ОА

равна 2 см., а длина отрезка расстояния от точки 0 в двух направлениях:

влево и вправо. Но эта шкала неудобна тем, что на ней одно и то же число

стоит под двумя равными точками. Как выйти из этого затруднения? Вот в

математике и принято числа, которые идут влево от начала

отсчета,

записывать со знаком "минус". Далее учащимся нужно сообщить, что

направление вправо от начала отсчета называют положительным и это

направление на прямой

обозначают

стрелкой.

Числа,

расположенные

справа от точки 0, также называются

положительными. А числа

расположенные по другую сторону от точки 0 называются

10

отрицательными. Следует подчеркнуть, что число 0 соответствует

началу

отсчета и не является ни положительным, ни отрицательным, кроме того,

учащимся сообщают, что число, показывающее

положение

точки

на

прямой,

называется

координатой

точки. Если мы отметим на прямой

точку А с координатой пять, как построить симметричную ей точку 3? Какова

её координата? Учащиеся без труда должны ответить, что координата

точки В будет минус пять. Учителю останется лить добавить, что числа 5 и - 5

противоположные.

Итак,

отрицательные

числа,

нуль

и

положительные

числа образуют множество целых чисел, Множество целых чисел есть

расширение

множества

натуральных

чисел (

N c Z) .

Интересен вопрос о сравнении целых чисел. Объяснение этого

материала

начинается

с примера, встречающегося в жизни. Например,

вчера термометр показывал в комнате 18°C, а сегодня он показывает

21°С. Вчера

холоднее, чем сегодня: число 18 меньше, чем 21. Можно

записать: 18<21, Точка А (18)

на

координатной

прямой

расположена

левее

точки B(21). Вчера термометр показал на улице - 15° С, а сегодня

показал - 9°С. Вчера было холоднее, чем сегодня. Поэтому считают, что

число - 15 меньше числа – 9. Точка А(-15) расположена левее точки B(-

9). Можно записать:- 15 < - 9. А как сравнить два отрицательных числа?

Для этого сначала вводят понятие модуля числа. Определение модуля

числа дается через расстояние от начала отсчета до точки, координата

которой равна данному числу. Например» числу -6 на координатной

прямой

соответствует

точке M(-6). Расстояние этой точки от начала от-

счета равно 6 единичным отрезкам. Число б называют модулем числа -6.

Пишут:

|-6|=6. Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от

начала отсчета на 5 единичных отрезков. Модуль числа 0 равен 0 так как

точка 0 совпадает с началом отсчета, то есть удалена от него на 0

единичных

отрезков.

Значит, для положительного числа и нуля модуль

равен самому числу, а для отрицательного

числа

-

противоположному

11

числу. Опираясь на это, можно

заключить, что из двух отрицательных

чисел меньше то, у которого

модуль

больше, и больше то, у которого

модуль

меньше. Сложение

и

вычитание

целых

чисел.

Предлагается

задача:

вначале термометр показывал 6 ° С, через некоторое время

температура

повысилась

на 4°С.

(Повышение

температуры

выражают

положительными числами, а понижение - отрицательными). Какую

температуру

стал

показывать

термометр?

Сложив

числа 6 и 4 мы

получим, что температура стала равной 10°С. Вторая задача: вначале

термометр

показывал

-3°С , через

некоторое

время

температура

повысилась

на -5°С. Заключают, что если дана начальная температура и её

изменение, в данном случае повышение, то результат находят действием

сложения. Итак, прибавить к числу a число b – это значит

изменить

число a на b единиц. Сложим для примера, два числа (-6) и (-3).

Заметим, что оба слагаемых - отрицательные числа. Поэтому их сумма -

отрицательное число. Чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули

слагаемых: 6+3=9. Значит,

(-6)

+

( 3 )

=

9

Следовательно, сумма двух отрицательных чисел есть число от-

рицательное. Чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули сла-

гаемых. Сложение чисел, имеющих разные знаки, сводятся к вычислению

положительных чисел; 9 + (-5) = 4 . Число 4 положительное, а его модуль

равен разности модулей чисел 9 и -5:|4|=|9|-|-5|.

Здесь больший модуль

имеет

положительное

слагаемое.

Сложим

теперь 3 и -7; здесь больший

модуль

у

отрицательного

слагаемого.

Рассмотрим

разность

модулей |4|=|-

7|-|3| число -4 - отрицательное. Отсюда видно, что сумма двух чисел с

разными

знаками есть число, которое имеет тот же знак, что слагаемое с

большим модулем. Чтобы нейти модуль суммы, надо из большего модуля

вычесть

меньший. Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл,

что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из

слагаемых находят другое слагаемое. Например, вычесть из числа -6

12

число -2 значит найти такое число x, что x+(-2) = -6. Чтобы

научиться

вычитать любые числа, детям предлагают рассмотреть,

например,

сумму:

8+3 =11 . Чтобы найти слагаемое 8, надо из суммы 11 вычесть второе

слагаемое 3, т.е. 11 - 3= 8 , но этот же результат можно получить, если к

11

прибавить -3

(число,

противоположное

3):

11+(-3)=8. Проводя

аналогичные

рассуждения

для

других

примеров,

выводим

правило:

чтобы

из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому

прибавить

число,

противоположное

вычитаемому. Правило умножения чисел с разными

знаками и правило умножения отрицательных чисел выводятся в

учебнике из положения: если изменить знак одного из множителей, то

изменится знак у произведения, а модуль произведения останется тем же.

Правило

умножения формулируется после решения двух задач, в одной из

которых , раскрывается

смысл

умножения

отрицательного

числа

на

положительное, а в другой смысл умножения двух положительных чисел.

Первая

задача:

фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда

стали

выпускать

костюмы

нового

фасона, расход ткани на один

костюм

изменился на 0,4 м

2

. На сколько изменился расход ткани на костюмы за

день?

Вторая

задача формулируется аналогично, только расход ткани на

один костюм изменился на -0,4 м

2

, Заметим, что произведение 0,4 × 200 и

(-0,4) × 200 различаются знаком

первого

множителя.

Знаком различаются

и результаты умножения. Придерживаясь

мнения

учителей,

хочу

заметить, что эти задачи,

приводимые

в

учебнике,

недостаточно

понятны

для

объяснения. Как правило учителя их стараются не использовать.

Итак, вообще при изменении знака любого множителя знак произведения

изменяется, а его модуль останется тем же. Если же меняются знаки

обоих

множителей, то произведение меняет знак дважды и в результате

знак

произведения

не

меняется.

Рассматривая

эти

примеры, формулируют

правило

умножения

положительных

и

отрицательных

чисел:

“Произведение

двух

отрицательных

чисел

есть

число

положительное”.

Чтобы

найти

модуль

произведения, надо

перемножить

модули

13

сомножителей. Произведение двух чисел с разными знаками есть число

отрицательное.

Чтобы

найти

модуль

произведения,

надо

перемножить

модули сомножителей. И наконец, произведение может быть равно нулю

лишь в том случае, когда хоть один из множителей равен нулю, и

наоборот.

Деление

отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и

деление положительных чисел: но данным произведению и одному из

сомножителей находят второй сомножитель. Зная, как работать со

знаками при умножении, ученики должны уметь без труда ими

пользоваться и при делении.

Выполняя ряд примеров на деление, они сами

могут прийти к

правилам:

частное

двух

отрицательных чисел есть число

положительное. Чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого раз-

делить на модуль делителя. Частное двух чисел с разными знаками есть

число отрицательное. Чтобы найти модуль частного, надо модуль

делимого разделить на модуль делителя. Как и в случае натуральных

чисел, для умножения целых чисел справедливы переместительный и

сочетательный законы. Из всего, что было оказано выше, можно сделать

вывод,

что

построение

множества

рациональных чисел заканчивается по

существу в курсе математики 6 класса. В старших же классах происходит

лишь

совершенствование

навыков

выполнения

операций над этими

числами. В курсе восьмого класса в связи с изучением темы

“

Квадратные

корни

”

возникает

необходимость

расширить

множество

имеющихся чисел

и ввести иррациональные числа. Но с такими числами в неявном виде

школьники уже встречались в курсе математики шестого класса, когда

рассматривали

тему “Длина окружности”. Например, число "пи":

Однако

само

название

"иррациональное

число"

впервые встречается в курсе алгебры восьмого класса. Так, рассматривая

уравнение

, устанавливают, что никакое целое число не является его

решением.

Почему?

Пытаясь

подобрать

решение,

видим,

что

меньше 2.

больше 2. А между 1 и 2 целых чисел нет. Не существует и

14

дробного

числа,

квадрат которого

равен

2.

Доказательство

мелким

шрифтом

приводится

в

учебнике.

Итак, уравнение x

2

= a при a > 0 имеет два решения:

, которые

могут быть рациональными или иррациональными числами.

Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют

множество действительных чисел. Одной из особенностей ныне

действующих учебников математики в школьном курсе следует считать

индуктивный характер и зложения материала, подход к общим понятиям,

исходя из конкретных примеров. Во многих случаях мотивом для введения

нового материала служит практическая задача, которая помогает создать

представление о важности новых знаний, решение которой служит основой

для последующих обобщений.

Литература:

М.И.Моро, М.А.Бантов и др. Математика: Учебник 1-4 кл.

Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.

Математика: Учебник 5-6кл.

Ю.Н.Макарычев,

Н.Г.Миндюк,

К.И.Нешков,

С.Б.Суворова.

Алгебра:

Учебник

7-9кл.

А.Н.Колмогоров,

А.М.Абрамов,

Ю.П.Дудницын,

Б.М.

Ивлев,

С.И.

Шварцбурд. Алегбра и начала анализа: Учебник 10-11кл.

15