Специальные типы рациональных уравнений

и методы их решения.

•

Уравнения вида (х – а)(х – в)(х – с)(х – d) = А

Если а + в= с + d, то уравнение сводится к квадратному. Нужно

перемножить первую пару скобок, затем вторую и ввести новую

переменную: t = x

2

- (а + в) * х

Пример: решить уравнение (х – 3)(х – 4)( х – 5)(х – 6) = 1680

Решение: Перемножим следующие скобки:

(х – 3)( х – 6) *( х – 4)( х – 5) = 1680

х

2

– 9х + 18)( х

2

-9х +20) = 1680,

введем новую переменную х

2

– 9х = t, (1) получим

(t + 18)(t + 20) = 1680

t

2

+ 38t + 360 – 1680 =0

t

2

+ 38t – 1320 =0

D = 1444 + 4*1320 = 1444 + 5280 = 6724 = 82

2

t

1

= - 60, t

2

= 22

подставим вместо t полученные значения в выражение (1):

х

2

– 9х = - 60 х

2

– 9х = 22

х

2

- 9х +60 = 0 х

2

– 9х – 22= 0

D˂ 0, нет корней х

1

= -2, х

2

= 11

Ответ : -2, 11

Для самостоятельного решения : (х – 1)( х – 2)( х – 3)( х – 4) = 24.

•

Уравнение вида (ах

2

+ вх +с)( ах

2

+d х +с) = Ах

2

Разделив обе части этого уравнения на х

2

, получим:

( ах + в + ) (ах + d + ) = А

Вводя новую переменную t = ах + , можно свести уравнение к

квадратному.

Пример: решить уравнение (2х

2

- 3х +1)( 2х

2

+ 5х +1) = 9х

2

Разделим все члены уравнения на х

2

. Получим

( 2 - +

2

)( 2 + +

2

) =9

( 2х + - 3) ( 2 х + + ) =9

Введем новую переменную 2х + = t, тогда ( t – 3)( t + 5) = 9

или t

2

+2t – 24 = 0 → t

1

= -6, t

2

= 4

Вернемся к подстановке:

2х + = -6 2х + = 4

2х

2

+ 6х +1 = 0 2х

2

- 4х +1 = 0

х

1

=( х

3

=(

х

2

= х

4

=(

Для самостоятельного решения: (х + 2)( х +3)( х + 8)( х +12) = 4 х

2

.

•

Уравнения вида ( х – а)

4

+ ( х – b)

4

= А

Для решения уравнения такого вида нужно познакомить учащихся с

биномом Ньютона:

При любых действительных числах а и b и любом натуральном n

справедливо равенство

( a + b)

n

= a

n

+C

n

1

a

n-1

b +…..+ C

n

k

a

n-k

b

k

+…+ b

n

Называемой формулой бинома Ньютона. Числа С

n

0

,

С

n

,

1

С

n,

k

…….

С

n

n

называются биномиальными коэффициентами.

Схему вычисления биномиальных коэффициентов удобно изобразить

в виде

треугольника Паскаля: 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Здесь в каждой строке выписаны коэффициенты бинома Ньютона,

имеющего соответственно нулевую, первую, вторую и т. д. степень.

Каждый коэффициент, кроме крайних, получается как сумма двух

ближайших к нему чисел в строке, лежащей над ним. Например:

(а +b)

4 =

+ a

4

+ 4 a

3

b + 6a

2

b

2

+ 4a b

3

+ b

4

Уравнения вида ( х – а)

4

+ ( х – b)

4

= А сводятся к биквадратным

заменой

t = x – (a + b) / 2.

Пример: решить уравнение (х +3)

4

+ (х + 5)

4

= 16

Решение: t = x + 4 , (t – 1)

4

+ ( t + 1)

4

= 16

t

4

– 4t

3

+6t

2

– 4t +1 +t

4

+4t

3

+ 6t

2

+4t +1 =16

2t

4

+ 12t

2

– 14 =0 → t

4

+6t

2

– 7 =0

t

2

=y, y˃0

y

2

+ 6y – 7 =0 → y

1

=-7, y

2

= 1

t

2

= 1 → t

1

= -1, t

2

= 1. Вернемся к переменной х:

х+4 =1 → х = - 3

х +4 = - 1 → х = - 5

Ответ: -5; -3

4. Симметрическое уравнение.

Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение

вида

ах

2

+ bx

2

+bx +a = 0, a не равно нулю.

Заметим, что ах

2

+ bx

2

+bx +a = (x - 1)( ax

2

+ (b - a)x +a), отсюда

следует, что решение данного уравнения равносильно совокупности:

[ х +1 =0,

[ ax

2

+ (b - a)x +a =0.

Пример: решить уравнение х

3

+ 6х

2

+6х +1 =0

[ х +1 =0

[ х

2

+5х +1 =0, х

1

= -1, х

2

= (-5 + 21)/2, х

3

= (-5 + 21 )/2.

Симметрическим уравнением четвертой степени называется

уравнение вида: ах

4

+ bx

3

+cx

2

+bx +a =0 или ах

4

+ bx

3

+cx

2

- bx +a

=0 , где а не равно 0

Число х =0 не является решением этих уравнений. Разделим каждое из

них на одну и ту же величину х

2

. После приведения подобных членов

получим:

а( х

2

+ 1/х

2

) + b( х + 1/х) + с =0,

а( х

2

+ 1/х

2

) + b( х - 1/х) + с =0.

Для решения первого из этих уравнений введем новую переменную у

= х + 1/х

а для решения второго, переменную z = х - 1/х. Воспользуемся

соотношениями: х

2

+ 1/х

2

= (х + 1/х)

2

- 2, х

2

+ 1/х

2

= (х - 1/х)

2

+ 2.

Получим

а(у

2

-2) +bу +с =0 и а(z

2

+2) +bz +c =0 т.е. квадратные уравнения.

Для самостоятельного решения: 3х

4

-8х

3

-2х

2

/3 - 8х +3 =0 Ответ:1/3,

3.

5. Использование схемы Горнера для решения уравнений более

высоких степеней

Решить уравнение х

3

+ 5х

2

+ 2х - 8 =0

Найдем подбором один из корней, (целые корни можно искать среди

делителей свободного числа, т.е. +1, +2, +4, +8). Заметим, что число х

=1 является корнем.

Выпишем коэффициенты данного уравнения (запись в каноническом

виде):

1 5 2 -8

+

[_1___1____6___8_____

1 [ 1 6 8 0

Запишем уравнение с полученными коэффициентами:

( х - 1) ( х

2

+6х +8) =0

х -1 =0, х = 1

х

2

+6х +8=0

{ х

1

+ х

2

=-6

{ х

1 *

х

2 =

8

х

1

= -4

х

2

= -2

Ответ: -4, -2, 1

Для самостоятельного решения: 1. х

3

-3х

2

-6х +8 =0

2. х

3

- 8х

2

+х +42 =0