Общие походы к решению текстовых задач
Каждая тестовая задача описывает реальную или близкую к ней ситуацию, в которой требуется определить некоторые величины или сделать качественный вывод, относящийся к самой ситуации. Существенно, что язык представления задачи, т.е. язык, на котором описана ситуация, не совпадает с языком, на котором производится решение, в то время как результат должен быть выдан в терминах исходного языка. Поэтому при решении текстовых задач на составление уравнений основную трудность представляет собой перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Трудность решения задачи часто связана с тем, что ученик не всегда понимает её содержание в целом или в каких-либо частях текста. Для успешного поиска решения необходимо отчетливо понимать математическое содержание слов и оборотов речи в тексе задачи, содержание используемых понятий, логические связи и структуру предложений. Одним их способов достижения понимая текста условия задачи является его переформулирование с целью расшифровки смысла термина, замены понятия его понятийной характеристикой. Под переформулированием понимают включение объекта в новые связи и отношения, в которых он может проявить искомые свойства. С помощью переформулирования текста задачи можно добиться понимания логической структуры предложений. Переформулирование часто совпадает с поиском метода решения задачи. Формулировка задачи на языке, близком по свойствам к математическому, является наиболее важным шагом в процессе её решения. Первый этап решения задачи – это этап её формализации, т.е. перевода условия задачи с обычного языка на адекватный математический язык – на язык уравнений. Наиболее ответственным моментом этого процесса является выбор неизвестных. Основным требованием, которому должны удовлетворять выбранные неизвестные, является то, чтобы с их помощью можно было чётко и прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения. Поэтому нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величин, стоящие в вопросе задачи. Надо стараться не вводить неизвестные, размерность которых не встречается в условии и не может быть получена как комбинация элементов условия. Завершается первый этап составлением уравнения или системы уравнений. Уравнение или система уравнений, полученных на его выходе, являются математической моделью исходной задачи.
Следующий этап – этап решения модельной задачи – решения уравнения или системы уравнений. Третий этап – этап интерпретации полученного решения, сводящийся к проверке корней. Ошибки, связанные с проверкой корней, возникают иногда из-за того, что она осуществляется с неверных позиций. Часто посторонние корни задачи путают с посторонними корнями уравнения или системы уравнений, или проверка проводится составлением обратной задачи, в которой было бы что-нибудь из данного в условии задачи и так далее. Поэтому для правильного решения этого вопроса необходимо вовремя определить тот этап интерпретации, на котором полученные решения проверяются на предмет соответствия исходной ситуации. Это позволяет исключить посторонние корни уравнения или системы уравнений на втором этапе. Очень важно приучить учащихся по окончании решения задачи вернуться к её условию и осмыслить полученных ответ. Единственным критерием того, является решение уравнения и системы уравнений ответом задачи или нет, может служить то, имеют ли смысл в терминах исходной ситуации всей её величины, вовлеченные в процесс составления уравнений. Обучение решению текстовых задач методом уравнений является хорошей иллюстрацией всем трем этапам применения математики к любой практической задачи, что и обеспечивает этому разделу школьного курса большую ценность. Решая текстовую задачу, целесообразно реализовать следующий прием учебной работы: 1. Уверенность в своих силах при решении задачи. 2. Широкое использование эвристических и правдоподобных рассуждений для понимая содержания задач. 3. Выделение величин, о которых идет речь в задаче, и их наименований. 4. Составление схемы содержания задачи и связи между величинами, используемыми в ней. 5. Выделение уравниваемых величин. 6. Составление двух выражений для уравниваемых величин. 7. Использование точного, однозначного и краткого языка для письменного объяснения составляемых выражений. 8. Решение задачи должно быть не только правильным, но и своевременным, экономным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования.
9. После решения уравнения проверка соответствия полученного решения условию задачи.
Задача №1.
Имеется для куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота 2г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1г из первого и 1г из второго куска. Вес третьего куска равен суммарному весу части первого куска, содержащий 10г золота, и часть второго кустка, содержащей 80г золота. Третий кусок в 4 раза тяжелее первого и содержит 75г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске? Все необходимые данные для решения этой задачи представим в нижеприводимой таблице. Величины Объекты 1 2 3 Вес кусков различных сплавов x y 4 x Количество золота в сплавах m 2 n 2 75г Количество золота в 1г каждого сплава m x n y 75 4 x Так как количество золота в 2г сплава из 3 куска то же, что во взятых вместе 1г из первого и 1г из второго куска, то первое уравнение будет иметь вид: 2 ∙ 75 4 x = m x + m y Вес части 1 куска, содержащий 10г золота 10 x m Вес части 2 куска, содержащий 80г золота 80 y n По условию задачи вес третьего куска равен суммарному весу части первого куска, содержащей 10г золота, и части второго куска, содержащий 80г золота, поэтому 10 x m + 80 y n = 4 x – второе уравнение системы Получаем систему из двух уравнений { 75 2 x = m x + n y ( 1 ) 10 x m + 80 y n = 4 x ( 2 ) С четырьмя неизвестными x,y, m,n. Умножим уравнение (1) системы на x, а уравнение (2) разделим на x, введем обозначение nx y = z Тогда система примет вид: { 75 2 = m + z 10 m + 80 z = 4 (3) Решим систему (3) и находим m:
{ z = 75 2 − m 10 m + 160 75 − 2 m = 4 10 m + 80 z = 4 5 m + 80 75 − 2 m = 2 4 m 2 − 80 m + 375 = 0 ; m 1 = 12,5 ; m 2 = 7,5. Ответ: 12,5; 7,5.
Задача №2.
Вычислить вес и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав 900- й пробы, а сплавив его с 2 кг сплава 900- й пробы, получат сплав 840- й пробы. Решение: Пусть сплав содержит x кг серебра, y кг меда. Сплавив его с 3 кг чистого серебра, имеем x + 3 x + y + 3 = 0.9 где (x+3) – вес серебра, а x + y + 3 - общий вес, или 9y - x=3, Сплавив его с 3 кг сплава 900-й пробы, получим чистого серебра 2*0.9 + х, общий вес x + y + 2, поэтому x + 1.8 x + y + 2 = 0.84, или 21y – 4x = 3. Решая систему уравнений { 9 y − x = 3 21 y − 4 x = 3 , получим х=2.4, у=0.6. Отсюда вес сплава x + y = 3 , проба его равна 2,4 3 ∗ 100 = 800 . Ответ: 3кг, 800- ая.
Задача№3
В сосуде было 64 л. спирта. Часть спирта отлили и долили столько же воды. Потом из сосуда отлили такое же количество литров смеси, после чего осталось 49л. чистого спирта. С к о л ь к о с п и р т а в ы л и л и в п е р в ы й р а з и с к о л ь к о в о в т о р о й р а з .
Решение :
Если первый раз отлили x л. спирта, то его осталось ( 64 − x ) л. Второй раз было отлито 64 − x 64 x л. чистого спирта. Осталось 64 − x ¿ 2 64 − x − 64 − x 64 x = 1 64 ¿ л. Составим уравнение 64 − x ¿ 2 = 49. 1 64 ¿ Решив его, получим, что в первый раз отлили 8л спирта,а во второй раз – 7 л.
Ответ: 8л; 7л.