Пояснительная записка

Данная методическая разработка соответствует разделу программы «Квадратные

уравнения» для учебника Алгебра 8 авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е Фёдорова,

М. И. Шабунин.

В разработке подобраны задачи по темам: «Неполные квадратные уравнения»,

«Решение квадратных уравнений», «Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета»,

«Уравнения, сводящиеся к квадратным». Представлен теоретический материал с

примерами решения уравнений данных видов.

Данная подборка задач способствует расширению и углублению знаний обучающихся

по теме: «Квадратные уравнения», обеспечению прочного и сознательного овладения

кадетами системой математических знаний и умений, будет полезна кадетам 9 и 11

классов при подготовке к Государственной аттестации.

Автор-составитель представила подборку задач с решениями и е претендует на

единственность и рациональность способа решения. Автор надеется, что данная

разработка поможет реализовать следующие виды деятельности на занятиях: обсуждения,

исследовательскую деятельность, мини-лекции, практикумы и семинары по решению

уравнений.

Цель работы: обобщить теоретический материал по данной теме, разобрать решение

уравнений, создать банк уравнений, позволяющий преподавателям упростить подготовку к

урокам.

Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax

2

+ bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c —

произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения

можно условно разделить на три класса:

1.Не имеют корней;

2.Имеют ровно один корень;

3.Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда

существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого

существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax

2

+ bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто

число D = b

2

− 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое:

по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение.

А именно:

1.Если D < 0, корней нет;

2.Если D = 0, есть ровно один корень;

3.Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их

знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1.

x

2

− 8x + 12 = 0;

2.

5x

2

+ 3x + 7 = 0;

3.

x

2

− 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8)

2

− 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

Аналогично разбираем второе уравнение:

a = 5; b = 3; c = 7;

D = 3

2

− 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

a = 1; b = −6; c = 9;

D = (−6)

2

− 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это

долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых

ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все

коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей

начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти

по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число,

которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1.

x

2

− 2x − 3 = 0;

2.

15 − 2x − x

2

= 0;

3.

x

2

+ 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:

x

2

− 2x − 3 = 0

⇒

a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2)

2

− 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0

⇒

уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:

15 − 2x − x

2

= 0

⇒

a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2)

2

− 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0

⇒

уравнение снова имеет два корня. Найдем их

x1=2+64−−√2

⋅

(−1)=−5;x2=2−64−−√2

⋅

(−1)=3.x1=2+642

⋅

(−1)=−5;x2=2−642

⋅

(−1)=3.

Наконец, третье уравнение:

x

2

+ 12x + 36 = 0

⇒

a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12

2

− 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0

⇒

уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например,

первую:

x=−12+0–√2

⋅

1=−6x=−12+02

⋅

1=−6

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем

не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных

коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу

буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения.

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении.

Например:

1. x

2

+ 9x = 0;

2. x

2

− 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие

квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется

считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax

2

+ bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0

или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны

нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax

2

= 0. Очевидно, такое

уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение

вида ax

2

+ c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного

числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1.Если в неполном квадратном уравнении вида ax

2

+ c = 0 выполнено неравенство

(−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;

2.Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще

нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a)

≥ 0. Достаточно выразить величину x

2

и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака

равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное —

корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax

2

+ bx = 0, в которых свободный элемент равен

нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на

множители:

Вынесение общего

множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда

находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1.

x

2

− 7x = 0;

2.

5x

2

+ 30 = 0;

3.

4x

2

− 9 = 0.

x

2

− 7x = 0

⇒

x · (x − 7) = 0

⇒

x

1

= 0; x

2

= −(−7)/1 = 7.

5x

2

+ 30 = 0

⇒

5x

2

= −30

⇒

x

2

= −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен

отрицательному числу.

4x

2

− 9 = 0

⇒

4x

2

= 9

⇒

x

2

= 9/4

⇒

x

1

= 3/2 = 1,5; x

2

= −1,5.

Приведённые квадратные уравнения.

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные

уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при

надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально

«с первого взгляда».

Рассмотрим один из приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x

2

+ bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание:

коэффициент при x

2

равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не

накладывается.

Примеры:

1. x

2

+ 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;

2. x

2

− 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;

3. 2x

2

− 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку

коэффициент при x

2

равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax

2

+ bx + c = 0 можно сделать приведенным

— достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить,

поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть

ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном

квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим

простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

1.

3x

2

− 12x + 18 = 0;

2.

−4x

2

+ 32x + 16 = 0;

3.

1,5x

2

+ 7,5x + 3 = 0;

4.

2x

2

+ 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x

2

. Получим:

1. 3x

2

− 12x + 18 = 0

⇒

x

2

− 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;

2. −4x

2

+ 32x + 16 = 0

⇒

x

2

− 8x − 4 = 0 — разделили на −4;

3. 1,5x

2

+ 7,5x + 3 = 0

⇒

x

2

+ 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали

целочисленными;

4. 2x

2

+ 7x − 11 = 0

⇒

x

2

+ 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли

дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в

том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие

приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x

2

+ bx + c =

0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x

1

и x

2

. В этом случае

верны следующие утверждения:

1.

x

1

+ x

2

= −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения

равна коэффициенту при переменной x,взятому с противоположным знаком;

2.

x

1

· x

2

= c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному

коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения,

не требующие дополнительных преобразований:

1. x

2

− 9x + 20 = 0

⇒

x

1

+ x

2

= − (−9) = 9; x

1

· x

2

= 20; корни: x

1

= 4; x

2

= 5;

2. x

2

+ 2x − 15 = 0

⇒

x

1

+ x

2

= −2; x

1

· x

2

= −15; корни: x

1

= 3; x

2

= −5;

3. x

2

+ 5x + 4 = 0

⇒

x

1

+ x

2

= −5; x

1

· x

2

= 4; корни: x

1

= −1; x

2

= −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения.

На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке

вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

1.

x

2

− 9x + 14 = 0;

2.

x

2

− 12x + 27 = 0;

3.

3x

2

+ 33x + 30 = 0;

4.

−7x

2

+ 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

1. x

2

− 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.

По теореме Виета имеем: x

1

+ x

2

= −(−9) = 9; x

1

· x

2

= 14. Несложно заметить, что

корни — числа 2 и 7;

2. x

2

− 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.

По теореме Виета: x

1

+ x

2

= −(−12) = 12; x

1

· x

2

= 27. Отсюда корни: 3 и 9;

3. 3x

2

+ 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас

исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x

2

+

11x + 10 = 0.

Решаем по теореме Виета: x

1

+ x

2

= −11; x

1

· x

2

= 10

⇒

корни: −10 и −1;

4. −7x

2

+ 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x

2

не равен 1, т.е. уравнение не

приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x

2

− 11x + 30 = 0.

По теореме Виета: x

1

+ x

2

= −(−11) = 11; x

1

· x

2

= 30; из этих уравнений легко

угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных

уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей.

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Уравнения, сводящиеся к квадратным, в алгебре встречаются практически в каждой теме.

При решение уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же

приём — введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на

новую переменную.

Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.

ОДЗ: x

∈

R.

Подстановка

приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t:

По теореме, обратной теореме Виета

Обратная замена:

Ответ: -4; -1; 2.

ОДЗ: x≠0, то есть x

∈

(-∞; 0)U(0; ∞).

Уравнения, содержащие слагаемые с взаимно-обратными выражениями вида

и

решаются с помощью замены

причём t≠0, так как x≠0.

Выразим сумму их квадратов через t.

Чтобы привести выражение к квадрату суммы x и 1/x, прибавим и вычтем удвоенное

произведение их суммы:

В итоге приходим к квадратному уравнению

Возвращаемся к исходной переменной:

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Вывод: если

Если

Аналогично решаем уравнения с суммой чисел, отличающихся от взаимно-обратных на

числовой множитель.

ОДЗ: x≠0, т.е. x

∈

(-∞; 0)U(0; ∞).

Замена переменной:

следовательно, выделяем квадрат разности этого выражения

Получили новое уравнение, которое является квадратным относительно переменной t:

Обратная замена:

Ответ: -6; -3; 1; 2.

Практические задания (задание №6)

Задание 6 № 137381

Решите уравнение

.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

2. Задание 6 № 137382

Решите уравнение

.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

3. Задание 6 № 137383

Решите уравнение

.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

4. Задание 6 № 311405

Найдите корни уравнения

.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

5. Задание 6 № 311446

Найдите корни уравнения

.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

6. Задание 6 № 311689

Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7. Задание 6 № 314495

Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

8. Задание 6 № 320540

Две

прямые

пересекаются

в

точке C (см. рис.).

Найдите абсциссу точки C.

9. Задание 6 № 320541

На рисунке изображены графики функ-

ций

и

Вычислите координаты точки B.

Запишите координаты в ответ без пробелов и знаков препинания.

10. Задание 6 № 338180

Уравнение

имеет корни −6; 4. Найдите

11. Задание 6 № 338202

Квадратный трёхчлен разложен на множители:

Най-

дите

12. Задание 6 № 338494

Решите уравнение

13. Задание 6 № 338518

Решите уравнение

14. Задание 6 № 338526

Решите уравнение

15. Задание 6 № 338915

Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

16. Задание 6 № 353508

Уравнение

имеет корни −5; 7. Найдите

Практические задания (задание №21)

1. Задание 21 № 311546

Один из корней уравнения

равен

. Найдите второй корень.

2. Задание 21 № 311586

Решите уравнение:

3. Задание 21 № 311587

Решите уравнение:

4. Задание 21 № 311589

Решите уравнение:

5. Задание 21 № 311591

Решите уравнение:

6. Задание 21 № 311618

Решите уравнение

.

7. Задание 21 № 338053

Решите уравнение

8. Задание 21 № 338070

Решите уравнение

9. Задание 21 № 338079

Решите уравнение

10. Задание 21 № 338086

Решите уравнение

11. Задание 21 № 338179

Решите уравнение

12. Задание 21 № 338498

Решите уравнение

13. Задание 21 № 338529

Решите уравнение

14. Задание 21 № 338598

Решите уравнение

15. Задание 21 № 338632

Решите уравнение

16. Задание 21 № 338662

Решите уравнение

17. Задание 21 № 338757

Решите уравнение

18. Задание 21 № 338851

Решите уравнение

19. Задание 21 № 338860

Решите уравнение

20. Задание 21 № 338951

Решите уравнение

21. Задание 21 № 338991

Решите уравнение

22. Задание 21 № 339026

Решите уравнение

23. Задание 21 № 340902

Решите уравнение

24. Задание 21 № 341507

Решите уравнение x

6

= (6x − 8)

3

.

25. Задание 21 № 353542

Решите уравнение