Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Самарской

области «Алексеевское профессиональное училище»

Разработка урока

по математике

(алгебра и начала математического анализа)

разработка предназначена для изучения в учреждениях

СПО 1 курс

Тема: РЕШЕНИЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Преподаватель математики

Петрова Галина Леонидовна

2019-2020 учебный год

Тема: РЕШЕНИЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Цели урока: усилить практическую направленность данной темы для качественной

подготовки к ЕГЭ; способствовать прочному усвоению материала; повторить, обобщить и

систематизировать материал по теме «Тригонометрические уравнения».

Задачи урока:

Образовательная: проверка умений применять тригонометрические формулы при

решении уравнений, формулы корней простейших тригонометрических уравнений;

Развивающая: развитие навыков самоконтроля, навыков самостоятельной работы;

Воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных

результатов, уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: урок-практикум.

1-я часть: обобщение и систематизация теоретических основ.

2-я часть: тренировочные упражнения.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование и источники информации: рисунки, таблицы; схема; динамичные блоки

тригонометрических уравнений.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний,

работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обоб-

щающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Ход у р о к а

У учащихся па партах листы учета знаний, системно-обобщающая схема, по 4 чистых

подписанных листа и копирка.

I. Организационный момент.

- Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) однажды заметил: «Учиться можно

только весело... Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны,

внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. И данное высказывание будет

эпиграфом- девизом нашего учебного занятия.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения

тригонометрических уравнений, а также проверяем умения использовать свойства

тригонометрических функций.

Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических

уравнений.

I I. Устно:



1)Найдите область значений функции:

а) у= 5cos2x.

Е(у)=[-5;5].

б) y=3 + cosx.

Е(у) = [2;4].

в)у = 2-sin

2

х

E(

у

) = [l

;2].



Докажите, что следующие функции не являются периодическими:

а) у=1/х-1; б)у = √ х ; в) у = sin√ x -1 .

(Область определения не симметрична относительно 0)



Имеет ли смысл выражение? ответы

а) arcsin √2; -

б) arcsin а

2

/ а

2

+1

; +

в) arсcos а

2

+1/ а

2

; -

г) arсcos(-π/3). -

III. Тест (математический диктант) (через копирку с самопроверкой) «Решение про-

стейших тригонометрических уравнений».

(чтение в размеренном темпе, дважды повторяя каждый вопрос)

Цель (на данном этапе урока): контроль (самоконтроль) знаний и приведение в систему

знания по простейшим тригонометрическим уравнениям.

I

в а р и а н т .

1. Каково будет решение уравнения cos х = а при |a| > 1 ?

1. При каком значении а уравнение cosx = a имеет решение?

2. Какой формулой выражается это решение?

4.

Н а

к а к о й

о с и

о т к л а д ы в а е т с я

з н а ч е н и е а

п р и

р е ш е н и и

уравнения cos х = а ?

5. В каком промежутке находится arccosa?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения cos х = 1 ?

8. Каким будет решение уравнения cosx = -1 ?

9. Каким будет решение уравнения cosx = 0 ?

10.Чему равняется arccos(-a) ?

11. В каком промежутке находится arctga ?

12.Какой формулой выражается решение уравнения tgx = а ?

13.Чему равняется arctg(-a) ?

II в а р и а н т .

1. Каково будет решение уравнения sin х - а при |a| > 1 ?

2. При каком значении а уравнение sinx = а имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4.

На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin х = а ?

5. В каком промежутке находится arcsina?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения sin х = 1?

8. Каким будет решение уравнения sin х = -1?

9. Каким будет решение уравнения sinx = 0?

10.Чему равняется arcsin(-a)?

11. В каком промежутке находится arcctga ?

12.Какой формулой выражается решение уравнения ctgx = а ?

13.

Чему равняется arcctg(-a) ?

Ответы ( Приложение 1.)

IV. Валеологическая пауза. Перед повторением теоретического материала немного отдохнём –

(комплекс упражнений, направленных на восстановление утомленных глаз).

Комплекс 1.

1. И.п. - сидя или стоя. Крепко зажмурить глаза на 3-5 секунд, а затем открыть их на 3-5 секунд.

Повторить 5-6 раз.

2. И.п. - сидя или стоя. Быстро поморгать 20-30секунд.

3. И.п. - сидя или стоя. Смотреть прямо перед собой 2-3 секунды. Затем поставить палец руки на

расстоянии 25-30 см от глаз, перевести взор на кончик пальца и смотреть на него 3-5 секунд.

Опустить руку. Повторить 5-7 раз.

Комплекс 2.

1. И.п. - сидя или стоя, выставить палец руки вперед. 1- двигать палец вправо, глазами следить

за пальцем; 2- двигать палец влево; 3-вверх, 4- вниз. Повторить 3 раза. Палец двигается по

широкой амплитуде. Глаза неотрывно следят за пальцем.

2. И.п. - сидя. На счет 1,2 - не поворачивая головы, быстро перевести взгляд из правого верхнего

угла в левый нижний; 3-4 - из левого верхнего угла в правый нижний.

3. И.п. - сидя или стоя. Закрыть веки и нежно массировать их круговыми движениями пальца в

течение 20-30секунд.

V. Систематизация теоретического материала.



Устно. Определение вида простейших тригонометрических уравнений. ( Приложение 2.)

Схемы № 1 и № 2 решений тригонометрических уравнений.

-

Как вы думаете, какая из схем этой группы является лишней?

-

Что объединяет остальные схемы?

Отвечающие учащиеся правильные шаги решения заносят в лист учета знаний.

О г в е т ы .

С № 1. 3-я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения: sinx

= а ; 1, 2, 4-

6- cosx = а .

С № 2. 4-я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения ctgx = а; 1 - 3, 5 -

6 - tgx = а.



«Классификация тригонометрических уравнений».

На доске написаны уравнения данной серии и таблица системно-обобщающая.

(Приложение 3.

(У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения

уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся

меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов

решения заносят в лист учета знаний соседа.

1) 3sin

2

х-sinх cos х-2 cos

2

х = 0.

2) cos

2

x-9cosx + 8 = 0.

3) sin6x-cos3x = 0.

4) 2 cos

2

х + 3 sin х = 0.

5) 2sinxcosx = cos2x-2sin

2

x.

6) 2cos

2

x-11sin(π/2-x) + 5 = 0.

7) tgx + 3ctgx = 4.

8) cos 2x + cos(π - x) = 0.

9) √3cos x + sin x = 1.

10) 3cosx + sinx = 5 .

11) сosx +√3 sinх = 2 .

12) 4cosx + sinx = 5.

13) sinx + cosx = 1.



Д и н а м и ч н ы е б л о к и. (

Приложение 4.)

В-1.

-

О чем идет речь?

О т в е т :1, 2, 4 - простейшие тригонометрические уравнения; 3 - уравнение с параметром

(решение только при а = 0).

В-2.

-

О чем говорит этот блок уравнений?

О т в е т :1, 3, 4 - одноименные тригонометрические уравнения, решаются методом

подстановки; 2 - однородное уравнение.

1 = sin x + cos x (: cos x - получим одноименное тригонометрическое уравнение.

В-3.

- Что бы это значило?

О т в е т : 1 - однородное 1-й степени: cosx(sinx); 2 - однородное 2-й степени : cos х;

3 - делить на cos

2

х нельзя, приведет к потере корней: sin

2

х или разложить на множители.

В-4.

- Найдите лишнее уравнение: а) раскройте идею решения.

О т в е т : 1; 3 -разложить на множители; 2 - образовать тригонометрическое уравнение π/6 из

(-π/2; π/2).

sin(arcsinа)=a, то х+1=sin π/6; х=1/2 .

б) О т в е т :2, 3 - метод введения вспомогательного аргумента;

1 - оценка левой части.

В-5.

-Назовите главный ключевой блок уравнений.

О т в е т : блок простейших тригонометрических уравнений – главный, так как решение всех

остальных уравнений сводится к решению простейших.

VI. Дифференцированная самостоятельная работа.

А:

Б:

В:

1. 2 cos х + 3 sin х = 0.

2. sin2x + sinx = 0 .

1.2sin

2

x + cos2x = sin2x

2. sin 7x +cos 4x = sinx.

1. cos 2 cos x = cos3x

2. √3 cosx + sinx =2.

Дополнительно: cos

2

x + cos

2

2x + cos

2

3x + cos

2

4x = 2 .

VII. Проверка самостоятельной работы.

VIII.Подведение итогов урока.

Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения.

Вопросы:

-

Что это за уравнения?

-

Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

cosx = -1

sinx = -1

sinx = 1

sinx = 0

cosx = 1

cosx = 0

IХ. Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе6 п.23,

№23.1(г); 23.6(а); 23.11(в); 23.26(а).

Творческое задание: -Тригонометрические преобразования во многих случаях

подчиняются трем «законам», которые сформулируем в шутливой форме. Какие известные

вам тригонометрические формулы можно соотнести следующим «законам»:

П е р в ы й : «Увидел сумму - делай произведение».

В т о р о й : «Увидел произведение - делай сумму».

Т р е т и й: «Увидел квадрат - понижай степень».

Урок окончен, спасибо всем за работу. До свидания.

ПРИЛОЖЕНИЯ К УРОКУ

Приложение I

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

№

п/п

I в а р и а н т

II в а р и а н т

1

Нет решения

Нет решения

2

а <1

а <1

3

х = ±arccosa + 2πn, n € Z х = (-1)

k

arcsina + πn, n € Z

4

На оси ОХ

На оси ОУ

5

[0;

π

]

[-π/2; π/2]

6

[-1;1]

[-1;1]

7

х = 2πn, n € Z

х = π/2 + 2πn, n €Z

8

х = π+πn, n € Z

х = -π/2 + 2πn, n € Z

9

х = π/2 + πn, n €Z

х = πn, n € Z

10

π - arccos а

- arcsin а

11

(-π/2; π/2)

(0; π )

12

х = arctg a+ πn, n € Z

х = arctga + πn, n € Z

13

-arctga

π - arctga

Приложение 2

СИСТЕМНО-ОБОБЩАЮЩАЯ СХЕМА

Приложение 3

Приложение 4

ДИНАМИЧЕСКИЕ БЛОКИ

В-1

?ОСОБЕННОЕ!

1

sinx = √3/2

3

tg(2x-π/4) = √3/3

2

cos x/2 = a

2

+1

4

ctg3x = -√3

B-2

?ЛИШНЕЕ, НО!

1

2sin

2

2x + 5sin2x – 3 = 0

2

6sin

2

x + 4sinxcosx = 1

3

3tgx + 5ctgx = 8

4

2sin

2

x/3 + 4cosx/3 + 1 = 0

B-3

?НЕЛЬЗЯ!

1

sinx + cosx = 0

2

sin

2

x - 5sinxcosx + 4cos

2

x = 0

3

3sinxcosx – cos

2

x = 0

?МОЖНО!

В-4

А:

1.

sin4x – sin2x = 0.

2.

arcsin(x+1) = π/6.

3.

5cos3x + 4cosx = 0

B:

1.

2cos3x + 4sinx/2 = 7.

2.

√3cosx + sinx = 2

3.

cosx + √3sinx = 1.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Решение уравнений по

известным алгоритмам

Решение уравнений путём

разбиения на подзадачи

Уравнение вида a cosx + b sinx = c, где a, b, c ≠ 0 , решаемые методом

вспомогательного аргумента

Одноимённые

уравнения и

сводящиеся к ним

№

Уравнения,

решаемые

разложением на

множители

№

Уравнения, решаемые

оценкой значений левой

и правой частей

№