Методические рекомендации

по изучению темы

«Основы тригонометрии»

Тема 1. Радианная мера угла. Вращательное движение.

Единичная окружность. Угол в один радиан. Поворот точки вокруг начала координат.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Знаки синуса и косинуса.

Цели занятия:

Должен уметь: Находить координаты точки и углов. Находить значения тригонометрических

выражений. Определять знаков чисел

sin α,

cos α,

tgα,

ctgα

.

Должен знать: Единичная окружность. Угол в один радиан. Поворот точки вокруг начала

координат.

Определения

синуса,

косинуса,

тангенса

и

котангенса

числа.

Знаки

синуса

и

косинуса.

Определение:

Центральный

угол,

опирающийся

на

дугу,

длина

которой

равна

радиусу

окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной



R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга

длиной R, стягивает угол в



раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как



= 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

1

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2



рад, пишут 360° = 2



В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

Градусы

0

30

45

60

90

180

Радианы

0

6



4



3



2





Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так как угол в 1

радиан стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в



рад стягивает дугу длиной

R

l







Особенно простой вид формула имеет в случае, когда R =1. Тогда длина дуги равна

величине центрального угла, стягиваемого этой дугой, в радианах, т.е.





l

.

Площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в



рад, равна



2

2

R

S



Поворот точки вокруг начала координат

Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале

координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной

окружности вокруг начала координат на угол



рад, где



- любое действительное число.

1. Пусть α>0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р против

часовой стрелки, прошла путь длиной α (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М.

В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала

координат на угол α радиан.

2. Пусть α<0. В этом случае поворот на угол α радиан означает, что движение совершалось по

часовой стрелке и точка прошла путь длинной



(рис. 2).

Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.

Примеры:

1) При повороте точки Р(1;0) на угол(

2



)(рис. 3) получается точка М с координатами (0;1).

2) При повороте точки Р(1;0) на угол(-

2



) (рис. 3) получается точка N(0;-1).

3) При повороте точки Р(1;0) на угол(

2

3



) (рис. 4) получается точка К(0;-1).

4) При повороте точки Р(1;0) на угол(-



) (рис. 4) получается точка Д(-1;0).

Рис.1

Рис.2

2

Рис.3

Рис.4

3

П р и в ед е м

т а бли ц у

п о во р ото в

н а

некоторые углы, выраженные в радианной

и градусной мерах (рис. 5).

Отметим, что при повороте точки Р(1;0)

н а

3 6 0 ° ,

точ ка

в о з в р а щ а е т с я

н а

первоначальное положение (см. таблицу).

При повороте точки на -360°, она также

в о з в р а щ а е т с я

в

п е р в о н а ч а л ь н о е

положение.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Определение 1. Синусом угла



называется ордината точки, полученной

поворотом точки (1;0) вокруг начала

координат на угол



.Обозначается



sin

Определение 2. Косинусом угла



называется абсцисса точки, полученной

поворотом точки (1;0) вокруг начала

координат на угол



.Обозначается



cos

В этих определениях угол может выражаться как в градусах, так и в радианах.

Определение 3. Тангенсом угла



называется

отношение

синуса

угла



к его косинусу

(обозначается



tg

).

Таким образом







cos

sin



tg

Определение 4. Котангенсом угла



называется отношение косинуса угла



к его синусу

(обозначается



ctg

).

Таким образом







sin

cos



ctg

Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

4

Значения косинуса и синуса на окружности.

Знаки синуса, косинуса и тангенса.

Контрольные вопросы

1.

Единичная окружность.

2.

Угол в один радиан.

3.

Поворот точки вокруг начала координат.

4.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа.

5.

Знаки синуса и косинуса.

5

Тема 2. Основные тригонометрические тождества.

Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же

угла. Формулы сложения.

Цели занятия:

Должен уметь: Преобразовывать простейшие тригонометрические выражения. Вычислять с

помощью формулы сложения.

Должен знать: Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того

же угла. Формулы сложения.

Основное тригонометрическое тождество:

1

sin

cos

2

2









Зависимость между синусом и косинусом:





2

2

sin

1

cos











2

2

cos

1

sin







1









ctg

tg





2

2

cos

1

1





tg

,





2

2

sin

1

1





ctg

Синус, косинус, тангенс углов

)

(





и



.





cos

)

cos(









sin

)

sin(











tg

tg







)

(





ctg

ctg







)

(

Формулы сложения

Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения:













sin

sin

cos

cos

)

cos(



















sin

sin

cos

cos

)

cos(



















sin

cos

cos

sin

)

sin(



















sin

cos

cos

sin

)

sin(



















tg

tg

tg

tg

tg









1

)

(

Контрольные вопросы

1.

Зависимость между синусом, косинусом.

2.

Зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же угла.

3.

Формулы сложения.

6

Тема 3. Синус, косинус и тангенс двойного угла.

Синус, косинус и тангенс половинного угла

Формулы приведения

Вывод формул синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.

Нахождения половинного угла по известным значениям косинуса и синуса. Применение формул

приведения.

Цели занятия:

Должен уметь: Использовать формулы двойного угла. Использовать формулы половинного

угла. Применять при решении задач формулы приведения.

Должен знать: Вывод формул синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.

Нахождения половинного угла по известным значениям косинуса и синуса. Применение формул

приведения.

Синус, косинус и тангенс двойного угла.







cos

sin

2

2

sin









2

2

sin

cos

2

cos











2

1

2

2

tg

tg

tg





Синус, косинус и тангенс половинного угла

2

cos

1

2

cos

2









2

cos

1

2

sin

2















cos

1

cos

1

2

2







tg

Формулы приведения

для синуса:







cos

2

sin

















,







cos

2

sin

















,











sin

sin





,











sin

sin







,







cos

2

3

sin



















,







cos

2

3

sin



















.

для косинуса:







sin

2

cos

















,







sin

2

cos



















,











cos

cos







,











cos

cos







,







sin

2

3

cos



















,







sin

2

3

cos

















.

для тангенса и котангенса:







ctg

tg



















2

,







tg

ctg



















2

,







ctg

tg

















2

,







tg

ctg

















2

.

7

В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии

2

0









.

Если в левой части формулы угол равен







2

или







2

3

, то синус заменяется на

косинус, тангенс – на котангенс и наоборот. Если угол равен







, то замены не происходит.

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

2

cos

2

sin

2

sin

sin





















,

2

cos

2

sin

2

sin

sin





















2

cos

2

cos

2

cos

cos





















,

2

sin

2

sin

2

cos

cos























.

Контрольные вопросы

1.

Вывод формул синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.

2.

Нахождения половинного угла по известным значениям косинуса и синуса.

3.

Применение формул приведения.

8

Тема 4. Тригонометрические уравнения

Уравнения вида

.

sin

cos

a

=

tgx

a,

=

x

a,

=

x

Цели занятия:

Должен уметь: решать уравнение вида:

.

sin

cos

a

=

tgx

a,

=

x

a,

=

x

Должен

знать:

определения

арксинуса,

арккосинуса,

арктангенса;

частные

случаи

тригонометрических уравнений.

Уравнение

a

x



cos

.

Арккосинусом числа

]

1

;

1

[





a

называется такое число

]

;

0

[







, косинус которого

равен а:





a

arccos

, если

a





cos

и









0

.

Все корни уравнения

a

x



cos

, где

1



a

, можно находить по формуле

Z

n

n

a

x









,

2

arccos



.

a

a

arccos

)

arccos(









-

эта

формула

позволяет

находить

значения

арккосинусов

отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.

Частные случаи:

0

cos



x

,

Z

n

n

x







,

2





1

cos



x

,

Z

n

n

x





,

2



1

cos





x

,

Z

n

n

x







,

2





Уравнение

a

x



sin

.

Арксинусом

числа

]

1

;

1

[





a

называется такое число

]

2

;

2

[











, синус которого

равен а:





a

arcsin

, если

a





sin

и

2

2













.

Все корни уравнения

a

x



sin

, где

1



a

, можно находить по формуле

Z

n

n

a

x

n









,

arcsin

)

1

(



.

a

a

arcsin

)

arcsin(







- эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных

чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Частные случаи:

0

sin



x

,

Z

n

n

x





,



1

sin



x

,

Z

n

n

x







,

2

2





1

sin





x

,

Z

n

n

x









,

2

2





Уравнение

a

tgx



.

Арксинусом числа

R

a



называется такое число

]

2

;

2

[











, тангенс которого равен

а:





arctga

, если

a

tg





и

2

2













.

Все корни уравнения

a

x



sin

, где

R

a



, можно находить по формуле

Z

n

n

arctga

x







,



.

arctga

a

arctg







)

(

- эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных

чисел через значения арксинусов положительных чисел.

9

Контрольные вопросы

1.

Уравнения вида

.

cos

a

=

x

2.

Уравнения вида

a

x



sin

3.

Уравнения вида

.

a

=

tgx

10

11

Тема 5. Тригонометрические функции.

Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.

Функция y = sin х.

Свойства и график функции y = sin х.

1) Область определения - множество всех действительных чисел.

2) Область значений - отрезок [ - 1; 1].

3) Функция периодическая; основной период равен- 2π.

4) Функция нечетная .

5) Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках

[ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n

Z.

График функции у = sin х изображен на рисунке.

Функция у = cos х

Свойства и график функции у = cos х.

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел.

2) Область значений - отрезок [- 1; 1].

3) Функция периодическая с основным периодом 2π.

4) Функция четная.

5) Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2 n] и возрастает на промежутках

[-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

График функции у = соs х изображен на рисунке.

Функция y = tg х.

Свойства и график функции у = tg x.

1) Область определения: x

π/2 + πk, k

Z.

2) Область значений - вся числовая прямая.

3) π- основной период функции.

4) Функция нечетная.

5) Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).

График функции у = tg х изображен на рисунке.

12

Тема

6.

Обратные тригонометрические функции,

их свойства и графики.

Обратные

тригонометрические

функции

(арксинус,

арккосинус,

арктангенс

и

арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки

"арк"

обратные

тригонометрические

функции

называют

аркфункциями.

Сейчас

мы

рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус

x

y

arcsin



Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус

x

y

arcsin



1.Область определения – отрезок [-1;1].

2. Множество значений – отрезок















2

;

2





.

3. Функция

x

y

arcsin



возрастает.

4. Функция

x

y

arcsin



является нечетной, так как

x

x

arcsin

)

arcsin(







.

Функция арккосинус

x

y

arccos



График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус

x

y

arccos



1.Область определения – отрезок [-1;1].

2. Множество значений – отрезок







;

0

.

3. Функция

x

y

arccos



убывает.

Функция арктангенс

arctgx

y



.

График функции арктангенс имеет вид:

13

Свойства функции

arctgx

y



.

1.Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Множество значений – интервал















2

;

2





.

3. Функция

arctgx

y



возрастает.

4. Функция

arctgx

y



является нечетной, так как

arctgx

x

arctg







)

(

.

Функция арккотангенс

arсrсgx

y



.

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции

arcctgx

y



.

1.Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Множество значений – интервал







;

0

.

3. Функция

arcctgx

y



убывает на всей области определения.

Контрольные вопросы

1.

Определения функций, их свойства и графики.

2.

Преобразования графиков.

3.

Параллельный

перенос,

симметрия

относительно

осей

координат

и

симметрия

относительно начала координат, симметрия относительно прямой y=x, растяжения и сжатие

вдоль осей координат.

14