Автор: Крайнова Татьяна Петровна
Должность: Преподаватель математики
Учебное заведение: ГБПОУ "Нижегородский автотранспортный техникум"
Населённый пункт: Нижний Новгород
Наименование материала: Методическая разработка урока
Тема: «Производная функции и её приложения»
Раздел: среднее профессиональное
Методическая разработка урока
«Производная функции и её приложения»
Цели урока.
1.Образовательная: проверить уровень основных знаний и умений по теме
«Производная и ее приложения» ; повторить и обобщить знания учащихся и
систематизировать , умения довести до уровня осознанных навыков необходимых для
продолжения математического образования.
2. Воспитательная: воспитание ответственности всех членов коллектива, умение
работать в команде и парах; формирование чувства ответственности за результаты своей
работы, самокритичности в оценке результатов решения задач наряду с чувством
уверенности в правильности выполнения задания.
3. Развивающая: развитие внутренней мотивации, поисковой активности в
предметной деятельности , формирование устойчивого и осознанного интереса к предмету
.
Обеспечение урока.
Записи на доске; индивидуальный дидактический материал - карточки- задания; карточки
для диктанта; таблицы для заполнения ответов; критерии самооценки; проектор.
Вид урока: смотр знаний.
Модель урока: « Групповая работа».
Предметные умения
- умение правильно и грамотно пользоваться теоретическими знаниями, правилами,
формулами.
- умение понимать и правильно интерпретировать задачи для применения изученных
методов исследования и решения задач.
Общеинтеллектуальные умения:
- умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное;
- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически
обосновывать свои суждения;
- умение конструктивно подходить к предлагаемым задачам;
- умение планировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.
Ход урока.
I Актуализация и мотивация знаний.
1. . Проверка домашнего задания.
Индивидуальная работа (20 мин).
1. Теоретический диктант (2 варианта) . На столах находятся карточки с заданиями. На
экране приготовлен слайд, где приведена последовательность исследования функции на
экстремумы и точку перегиба.
Вариант 1.
1. Написать формулы производных:
c
'
;
(
u
v
)
'
;
¿
.
2. Написать уравнение касательной к графику функции в данной его точке.
3. Привести последовательность исследования функции на точку перегиба (перечислить
последовательно номера из списка).
Вариант 2.
1. Написать формулы производных:
(
kx
+
b
)
'
;
(
u ∙ v
)
'
;
(
u
c
)
'
;
(
1
u
)
'
;
(
a
u
)
'
.
2. Записать механический
Место для формулы.
смысл первой и второй производной
функции.
3. Привести последовательность исследования функции на экстремумы (перечислить
последовательно номера из списка).
Последовательность исследования функций на экстремумы и точки перегиба.
1. Найти
f
'
(
x
)
2. найти
f
} (x
¿
3. найти критические точки
f
(
x
)
относительно
f
'
(
x
)
4. найти критические точки
f
(
x
)
относительно
f
} (x
¿
5. определить интервалы знакопостоянства
f
'
(
x
)
6. определить интервалы знакопостоянства
f
} ( x
¿
7. определить знак на интервале.
8. определить смену знака
f
'
(x) в окрестности каждой критической точки.
9. определить смену знака
f
} (x
¿
в окрестности каждой критической точки.
10. определить знак
f
} ( x
¿
в критической точке
f
(
x
)
относительно
f
'
(
x
)
.
11. найти ординату интересующей точки.
Проверка диктанта через проектор.
вопрос/ ответ
1
2
3
вариант 1.
0 ;
U
'
V
−
U V
'
V
2
;
c
(
U
'
)
; m U
m
−
1
;
1
2
√
U
y
=
y
0
+
y
'
(
x
0
)
∙
(
x
−
x
0
)
1;2;4;6;7;9;11
вариант 2.
k;
U
'
V
+
U V
'
;
1
C
(
U
'
)
;
−
U
'
U
2
;
a
U
ln aU
'
S
'
(
t
)=
V
(
t
)
;
S
} left (t right ) =a left (t right
¿
.
1;3;5;7;8;11
Сделать самооценку выполненной работы.
самооценка по критериям:
оценка/вопрос
5
4
3
вопрос 1.
все ответы верные
есть одна ошибка
две ошибки
вопрос 2.
формула верная
формула верная
формула неверна
вопрос 3.
последовательность
верная
последовательность
действий нарушена
последовательность
действий не полная
2. В это же время у доски готовятся к ответу трое учащихся с публичной защитой.
1. Заполнить таблицу
По данным рисункам запишите в таблицу тип точек, указанных на графике и ответьте на
вопросы. рис. 1.
у
х
1
0
х
2
х
3
х
Точка
минимума
максимума
перегиба
критическая
график 1.
Ответить на вопросы:
1.Какие точки называются экстремумами?
2. Необходимые условия существования экстремумов?
3. Достаточные условия существования экстремумов?
4. Какие точки называются критическими?
5. Какие точки называются точками перегиба?
6. Необходимые условия существования точек перегиба.
7. Достаточные условия существования точек перегиба.
2. По графику функции назовите как можно больше свойств.
2
-5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 х
-2
3. Ответить: верно ли утверждение (да/нет).
у
х
1
х
3
х
4
х
2
0 х
ответить на вопросы
1. Точка
x
1
- точка минимума.
2. Точка
x
1
– точка перегиба.
3. В точках
x
2
и x
4
касательные параллельны к оси абсцисс.
4. В точке
x
3
производная существует/
5. Точка
x
4
:
а) критическая точка;
б) точка экстремума;
в) точка минимума;
г) стационарная точка.
6. Точка
x
3
– точка экстремума.
7. Точка
x
2
– максимума.
8. На интервале
(
x
1
; x
2
)
функция возрастает .
9. На интервале
(
x
3
; x
4
)
есть точка перегиба.
По результатам ответа можно дополнять и задавать вопросы отвечающим.
Оценивается работа у доски преподавателем.
Мотивационная задача у доски( фронтально).
II Операционно – познавательная часть.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Всем студентам группы предлагаются задания для работы в парах сменного состава.
Задания выдаются по выбору. Задачи в парах распределяются по желанию.
Пары составляются: сильный –сильный; средний – средний; слабый – слабый.
Задания разных уровней:
1 уровень*
Задания на нахождение производной функции и решение неравенств.
Вариант 1.
1. Найти производную функции:
f
(
x
)
=
3 x
5
+
sin 3 x ; f
(
x
)
=
ln x
x
2
+
5
;
2. Решить неравенство:
f
'
(
x
)
<
0 , если f
(
x
)
=
arcsinx
Вариант 2.
1. Найти производную функции:
f
(
x
)
=
cos 4 х
+
2
√
х ; f
(
x
)
=
(
1
−
3 x
2
)
5
;
2. Решить неравенство:
f
'
(x)
≥ 0 , если f
(
x
)
=
х
+
1
х
.
Вариант 3.
1. Найти производную функции:
f
(
х
)
=
3
√
х
+
x
2
−
3 ; f
(
x
)
=
tg 2 x
(
x
3
−
4
)
❑
;
2. Решить неравенство:
f
'
(x)
≥ 0 , если f
(
x
)
=
3
−
2 x
x
+
5
.
2 уровень (повышенный)
Вариант 1.
1. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе
у
=
x
2
−
3 х
+
5 ,
проведенная
в точке
М (2; 3) ? Составить уравнение этой касательной. И дать графическую
иллюстрацию.
2. На линии
у
=
x
3
−
3 x
2
найти точки, в каждой из которых касательная параллельна оси
абсцисс.
Вариант 2.
1. составить уравнение касательной к кривой
у
=
x
3
+
4 x
2
−
1
в точке с абсциссой
х
0
=−
1
2. К кривой
у
=
x
4
−
2 x
2
+
3 х
−
1
найти касательные, параллельные прямой
3 х
−
у
+
1
=
0
.
3 уровень (базовый)
Вариант 1.
1. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=
3
+
2 t
+
t
2
(м). Определить его скорость
и ускорение в момент времени 1с. и 3 с.
2 . Два материальных тела движутся со скоростями , заданными уравнениями
V
1
=
t
3
−
6 t
+
1
;
V
2
=
1
2
t
2
+
2
3
t
3
−
15
2
. В какой момент времени ускорения движения тел будут
равны?
Вариант 2.
1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) =
−
t
3
+
3t
2
+
9t
+
3.
Найти максимальную
скорость движения точки.
2. Доказать, что если тело движется по закону S(t) =
a e
t
+b
e
−
t
, то его ускорение равно
пройденному пути.
4 уровень (нулевой)
1. Найти производную функции:
f
(
x
)
=
x
3
+
4 x
2
−
5 ; f
(
x
)
=
e
x
∙ sin х
.
2. Найти критические точки функции:
f
(
x
)
=
x
2
−
2 x
3
Задания проверяются по карточкам - консультантам (самостоятельно). Для
проверки возможен обмен между парами.
Заполняется таблица(самооценка)
Ф.И.О./оценка
Основной ответ
Дополнение к ответу
3
4
5
3
4
5
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Критерии оценки:
отлично
хорошо
удовлетворительно
задание выполнено верно;
получен правильный ответ;
верно применены формулы
и алгоритм решения;
выводы аргументированы;
явно просматривается
математическая
грамотность.
Правильно применяются
формулы, нарушена
логическая
последовательность; есть
недочеты в теоретическом
обосновании ответа.
Начало задания было
сделано в правильном
направлении, но затем
сделаны действия не
имеющие отношения к
решению этой задачи;
видны пробелы в
теоретических знаниях;
даны не полные ответы на
поставленные вопросы;
ответ логически не
выстроен.
Проверка знаний, умений и навыков.
Проектная деятельность. (задание подготовлено дома)
У доски работают два студента. Они исследуют функции и строят графики. Используют
проектор.
1.
f
(
x
)
=
2
+
3 x
−
x
3
.
можно убрать
2.
f
(
x
)
=
2
+
5 x
3
−
3 x
5
.
3.
f
(
x
)
=
x
+
2
√
x
.
Ответ студента должен содержать общую схему исследования функции:
1. Область определения функции.
2. Четность (нечетность) функции.
3. Точки пересечения с осями координат.
Оу: –обязательно ; Ох – по возможности аналитически , если затруднено – графически.
4. Определение критических точек.
5 . Определение монотонности функции .
6. Исследование на экстремумы по первому правилу.
7. Исследование функции на точку перегиба, если это необходимо.
8. Уметь определить наличие асимптот, если это необходимо, и найти их.
9. При необходимости определить дополнительные точки.
Учащиеся могут задавать вопросы, дополнять. Оценку выставляет преподаватель.
Творческое применение знаний.
Презентация решения геометрической задачи. Задание было дано на дом.
(пропедевтика)
Одному из студентов предложено самостоятельно разобрать, и сделать презентацию
решения геометрической задачи (возможна консультация преподавателя), на нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции, на объем или поверхность
геометрического тела.
Задача: Требуется изготовить закрытый ящик с квадратным дном, объем которого равен
8
дм
2
. Каковы должны быть линейные размеры ящика, чтобы его полная поверхность
была наименьшей?
Решение задачи (проектор)
1. Обозначим сторону основания прямоугольного параллелепипеда -
a
; высоту
параллелепипеда -
b
.
2. Запишем формулу объема параллелепипеда (объем ящика) V =
a
2
∙ b
,
по условию задачи:
8 =
a
2
∙ b
или b =
8
a
2
3. Формула полной поверхности параллелепипеда ( поверхность ящика)
S
=
2 S
осн .
+
S
бок .
S = 2
a
2
+
4 a ∙ b
или S = 2
a
2
+
32
a
4. Найдем производную полученной функции:
S
'
=
4 a
−
32
a
2
5. Найдем критические точки, решим уравнение
S
'
(
a
)=
0
.
a
=
2.
a
=2 -точка
min
функции (определяем методом интервалов)
6. Наименьшая поверхность ящика будет при
a
=
2 и b
=
2.
S
ящ.
=
8
+
16
=
24 дм
2
.
Подведение итогов занятия.
Рефлексия.
Ответить на вопросы самому себе. Изобразить смайлик.
1. Все понимаю и могу объяснить другому.
2. Все понятно, но испытываю затруднения в объяснении.
3. Многое не понимаю, есть пробелы в знаниях теории.
Все студенты делают самооценку своих знаний.
Те, у кого есть вопросы, должны обязательно придти на консультацию.!
Домашнее задание . Повторить пройденный материал. Решить демонстрационный
вариант контрольной работы. Все желающие могут воспользоваться консультацией на
сайте техникума.
1. Найти производные функции:
у
=
1
−
x
2
x
3
+
х
;
у
=
√
1
−
x
6
.
2. Построить график функции:
у
=−
x
2
+
6 x
2
−
9 х
+
3.
3. Написать уравнение горизонтальной касательной к графику функции
f
(
x
)
=
x
−
lnx
« Карточки – консультанты» .
Задания: Найти производную функции. Решить неравенство.
Вариант 1.
1.f(x) =
3 x
5
+
sin 3 х
2. f(x) =
ln х
x
2
+
5
Решение:
f
'
(
x
)=
15 x
4
+
3 cos3 х ;
Решение:
f
'
(
x
)
=
1
х
(
x
2
+
5
)
−
2 х ln х
(
x
2
+
5
)
2
3. f(x) =
arcsinx
. Решить неравенство
f
'
(
x
)<
0
.
Решение:
f
'
(
x
)=
1
√
1
−
x
2
;
1
√
1
−
x
2
<
0
т.к.
√
1
−
x
2
>
0
; эта дробь всегда положительная.
Ответ : решения нет.
Вариант 2.
1. f(x) =
cos 4 х
+
2
√
х
2.
f
(
x
)=
(
1
−
3 x
2
)
5
Решение :
f
'
(
x
)=−
4 sin 4 х
+
1
√
х
; Решение:
f
'
(
x
)=
5
(
1
−
3 x
2
)
4
∙
(
−
6 х
)
=
−
30 х
(
1
−
3 x
2
)
4
.
3. f(x) =
х
+
1
х
. Решить неравенство
f
'
(
x
)
≤0
.
Решение :
f
'
(
x
)=
1
−
1
x
2
;
1
−
1
x
2
≤ 0
; или
x
2
−
1
x
2
≤ 0;
т.к.
x
2
>
0
, то
x
2
−
1≤ 0
. Методом
интервалов определяем, что
−
1≤ х
<
0
и
0
<
х ≤ 1
.
0твет :
−
1≤ х
<
0 или 0
<
х ≤ 1 .
Bариант 3.
1.
f
(
x
)=
3
√
х
+
x
2
−
3
2.
f
(
x
)=
tg 2 х ∙
(
x
3
−
4
)
Решение :
f
'
(
x
)=
1
3
3
√
x
2
+
2 х
Решение :
f
'
(
x
)=
2
(
x
2
−
4
)
cos
2
2 х
+
3 x
2
tg2 x
3. f(x) =
3
−
2 х
х
+
5
; Решить неравенство
f
'
(
x
)
<
0.
Решение :
f
'
(
x
)=
−
13
(
х
+
5
)
2
т.к.
(
х
+
5
)
2
>
0 ,
эта дробь всегда отрицательная.
Ответ:
х
∈
R .
Задание на физический смысл производной.
Вариант 1.
1. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=
3
+
2 t
+
t
2
(м). Определить его скорость
и ускорение в момент времени 1с. и 3 с.
Решение: V (t) =
S
'
(
t
)
= 2 +2t; V(1) =4м/с ; V (3) = 8 м/с.
a (t) =
S
} ( t
¿
=2 м/
с
2
а(1)= 2м/
с
2
; а (3) = 2м/
с
2
.
2 . Два материальных тела движутся со скоростями , заданными уравнениями
V
1
=
t
3
−
6 t
+
1
;
V
2
=
1
2
t
2
+
2
3
t
3
−
15
2
. В какой момент времени ускорения движения тел будут
равны?
Решение :
a
1
=
3t
2
−
6
;
a
2
=
t
+
2 t
2
; Решим уравнение
a
1
=
a
2
;
3 t
2
−
6
=
t
+
2t
2
;
t
2
−
t
−
6
=
0
;
t
1
=
3 ; t
2
=−
2
.
Ответ : 3 сек.
Задание на физический смысл производной.
Вариант 2.
1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) =
−
t
3
+
3t
2
+
9t
+
3.
Найти максимальную
скорость движения точки.
Решение:
V
(
t
)
=−
3 t
2
+
6t
+
9
;
a(t) =
−
6t
+
6
; - 6 t + 6 = 0 ; t = 1 c ; t = 1 – точка максимума
V
max
=−
3
+
6
+
9
=
12 м
/
с .
2. Доказать, что если тело движется по закону S(t) =
a e
t
+b
e
−
t
, то его ускорение равно
пройденному пути.
Решение: Найдем V(t) =
a e
t
−
b e
−
t
;
Найдем a(t)
¿
a e
t
+
b e
−
t
Очевидно, что S(t) = a (t) .
Ответ: что и требовалось доказать.
Задание на геометрический смысл производной.
Вариант 1.
1. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе
у
=
x
2
−
3 х
+
5 ,
проведенная
в точке М (2; 3 ) ? Составить уравнение этой касательной. Сделать графическую
иллюстрацию.
Решение:
у
'
=
2 х
−
3
;
у
'
(
2
)
=
1
.
т.к.
y
'
(
x
0
)
=
tgα
, то
tgα
=
1
=¿
α
=
π
4
- угол наклона касательной к оси абсцисс, проведенной
к параболе в точке М.
У =
у
0
+
у
'
(
х
0
)
(
х
−
х
0
)
-уравнение касательной
у = 3 + 1
∙
(
х
−
2
)
=
х
+
1
. Уравнение касательной у = х + 1 .
Графическая иллюстрация.
Ответ:
α
=
π
4
; у = х + 1 .
2. На линии
у
=
x
3
−
3 x
2
найти точки, в каждой из которых касательная параллельна оси
абсцисс.
Решение:
у
'
=
3 x
2
−
6 х
; 3
x
2
−
6 х
=
0
; х = 0 и х = 2 – абсциссы точек касания.
у = 0 и у = - 4 - ординаты точек касания.
Ответ: (0 ; 0 ) и (2 ; -4).
Вариант 2.
1. Составить уравнение касательной к кривой
у
=
x
3
+
4 x
2
−
1
в точке с абсциссой
х
0
=−
1
Решение:
у
'
=
3 x
2
+
8 х
;
у
'
(
−
1
)
=−
5
.
у
(
−
1
)
=
2
Уравнение касательной:
у
=
2
−
5
(
х
+
1
)
=
−
5 х
−
3.
Ответ: у = -5х - 3.
2. К кривой
у
=
x
4
−
2 x
2
+
3 х
−
1
найти касательные, параллельные прямой
3 х
−
у
+
1
=
0
.
Решение:
у
'
=
4 x
3
−
4 х
+
3
.
Т.к. угловой коэффициент касательной к кривой равен угловому коэффициенту данной
прямой
у
'
(
х
0
)
=
3
, то 4
x
2
−
4 х
+
3
=
3
, откуда можно найти абсциссы точек касаеия
4 х
(
х
−
1
)
=
0
х = 0; х = 1 .
у(0)=- 1; у (1 ) = 1 .
у = -1 + 3 ( х -0 )=3х - 1
у = 1 + 3 (х – 1 ) = 3х – 2 .
Ответ: у = 3 х – 1 ; у = 3 х – 2 .
Задача урока , состоит в том, чтобы определенную часть умений учащихся
довести до уровня навыков, но навыков осознанных, основывающихся на должном
уровне компетентности учащихся, достигаемом не только
тренингом(натаскиванием), а благодаря систематичности обучения решения задач.
Большое значение имеет и внешняя мотивация учения ( направленность на
подготовку к экзаменам и продолжению обучения в ВУЗЕ) и внутренняя,
внутриматематическая мотивация к усвоению материала.