Применение интеграла при решении прикладных задач

Автор: Голухова Антонина Николаевна
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: ГБПОУ Челябинский энергетический колледж им.С.М.Кирова
Населённый пункт: город Челябинск, Челябинская область
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Применение интеграла при решении прикладных задач
Раздел: среднее профессиональное

Министерство образования и науки Челябинской области

ГБПОУ «Челябинский энергетический колледж им. С.М. Кирова»

Методическая разработка

открытого учебного занятия

по дисциплине

«Математика»

Тема: «Применение интеграла при решении прикладных задач»

Разработала:

Голухова Антонина Николаевна,

преподаватель математики ЧЭнК

2021

Методическая разработка открытого учебного занятия по дисциплине «Математи-

ка». Тема: «Применение интеграла при решении прикладных задач». ЧЭнК, 2020.-

32с.

Одобрено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин

Протокол № __ от __ .__.2021

Председатель ____________________И.А.Москаленко

Голухова А.Н., преподаватель математики ГБПОУ ЧЭнК

Данная методическая разработка открытого учебного занятия по теме «Применение

определенного интеграла при решении прикладных задач» в курсе дисциплины

«Математика» предназначена для проведения учебного занятия в группах первого

курса всех специальностей колледжа. Данное занятие по теме «Интеграл и его при-

ложения» является завершающим. В разработке предоставлено полное методиче-

ское обеспечение учебного занятия по указанной теме.

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Введение…………………………………………………………………….4

2. Технологическая карта учебного занятия ………………………………..6

3. Конспект учебного занятия………………………………………………...8

5. Библиографический список… …………………………………………..13

6. Приложения

Приложение №1………………………………………………………………14

Приложения №2………………………………………………………………16

Приложение №3………………………………………………………………31

Введение

В соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика» для обу-

чающихся первого курса всех специальностей тема «Применение определенного ин-

теграла при решении прикладных задач» изучается согласно КТП во втором семе-

стре. Номер занятия по КТП -81 , количество часов -2.

Вид занятия: урок.

Тип занятия: комбинированный урок, обобщения, систематизации и расширения

знаний.

Цель учебного занятия:

- совершенствование умений обучающихся в иноязычной речевой деятельности (мо-

нологической речи, чтения) в рамках темы «США».

Задачи занятия:

Образовательная:



обобщить и систематизировать знания обучающихся о представлении практи-

ческого применения интеграла в различных областях и умения составлять ма-

тематические модели реальных ситуаций.

Развивающая:



способствовать развитию логическое мышление к решению практических за-

дач;



развивать умение работать в коллективе и индивидуально.

Воспитывающая:



воспитывать потребность в практическом использовании математики;



воспитывать культуру общения и взаимопомощи;



воспитывать навыком самостоятельной учебной деятельности.

Учебное оборудование: доска, проектор, экран, компьютер, раздаточный дидакти-

ческий материал.

Формы и методы обучения:



фронтальная, групповая, индивидуальная;

Формируемые ОК, З,У:



ОК 01, ОК 02, ОК 04, ОК 05, ОК 09;



Уметь: вычислять определенный интеграл, применяя его основные свой-

ства и формулу Ньютона-Лейбница; находить площади криволинейных

трапеций; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использо-

ванием определенного интеграла.



Знать: понятия неопределенного и определенного интеграла и его свойства,

формулу Ньютона-Лейбница, геометрический смысл определенного инте-

грала лексику.

Особенности группы: обучающиеся II курса, группа ЭССиС-2-20, уровень

группы – средний.

В результате учебного занятия обучающиеся смогут:

Знать:

- о широком применение определенного интеграла на практике;

- технологию применения определенного интеграла для решения прикладных задач.

Уметь:

- находить необходимую информацию и применять для решения практических за-

дач;

- организовывать работу коллектива для решения поставленной задачи

Ход учебного занятия:

Организационный этап – 2 мин.

Сообщение темы, целей занятия – 4 мин.

Актуализация– 15 мин.

Мотивация – 15-20 мин.

Практическая работа в микрогруппах – 15-20 мин.

Представление «продуктов» деятельности микрогрупп – 25 мин.

Анализ групповой деятельности. Подведение итогов – 5 мин.

Рефлексия – 3 мин.

Технологическая карта занятия

Ход занятия

Этап занятия

Цель этапа

Содержание

(деятельность преподавателя)

Формы организации работы

(деятельность обучающихся)

Формируемые

умения,

знания,

компетенции

Организационный

этап: организация

начала занятия.

Приветствие.

Создание атмосферы

урока.

Проверка присутству-

ющих.

Приветствие. Контроль посещаемости.

Фронтальная работа.

Отвечают на вопросы преподава-

теля. Адаптируются к рабочему

месту.

Записывают число на доске и в

тетради.

ОК 05

Сообщение темы,

целей и задачи урока

Самостоятельное фор-

мулирование темы

урока

Активизирует мыслительную деятельность

студентов

Фронтальная работа.

Активное участие в определении

темы, постановке целей и задач

урока

ОК 01

ОК 02

ОК 04

ОК 05

Актуализация опор-

ных знаний по теме

урока.

Проверка готовности

студентов, к выполне-

нию практического за-

дания.

Постановка вопросов к студентам, коммен-

тирование ответов студентов.

Фронтальная работа

Осмысливают поставленные пре-

подавателем учебные цели.

Индивидуальная работа.

Индивидуальные ответы с мест,

дополнения прозвучавших отве-

тов.

У 1

З 1

ОК 01

ОК 02

ОК 04

ОК 05

ОК 09

Мотивация

Выполнение практи-

ческого задания

Мотивационно-активизирующее

Осознанное желание на выполне-

ние практических заданий

У 1

З 1

ОК 04

ОК 05

Практическая работа

в микрогруппах

Применение получен-

ных знаний, умений

при изучении темы

Интеграл, при выпол-

нении практического

задания

Выдача заданий и инструктирование по

его выполнению. Координация действий

студентов в процессе выполнения задания

Проверяет и корректирует в случае необ-

ходимости выполнение заданий.

Групповая работа.

Выполнение задания

У 1

З 1

ОК 01

ОК 02

ОК 04

ОК 05

ОК 09

Предоставление

«продуктов» дея-

тельности микро-

групп

Закрепить получен-

ные знания

Организует представление «продуктов»

деятельности. Задает вопросы. При необ-

ходимости корректирует.

Представляют «продукт» дея-

тельности. Записывают информа-

цию в тетради. Задают вопросы.

Уточняют сведения в случае

необходимости.

У 1

З 1

ОК 04

ОК 05

Анализ групповой де-

ятельности

Подведение итогов

совместной деятель-

ности

Выставление оценок

за урок.

Оценивает обсуждение работы микро-

групп.

Выставляет отметки, дает им коммента-

рий.

Индивидуальная работа.

Оценивают собственную дея-

тельность и деятельность микро-

групп.

З 1

ОК 01

ОК 02

ОК 04

ОК 05

8. Рефлексия учебно-

познавательной дея-

тельности

Проведение рефлек-

сии

Организует рефлексию.

Определяют степень выполнения

задач и достижения цели урока.

Проводят анализ сильных и сла-

бых сторон деятельности на уро-

ке.

Конспект занятия

1.Организационный этап.

Преподаватель: Здравствуйте, ребята! Кроме здоровья я желаю вам быть активны-

ми, внимательными, наблюдательными и помните: вы – самые способные. Присажи-

вайтесь, пожалуйста. Мы начинаем наше занятие. Кто сегодня отсутствует?

Сообщение темы, целей и задач урока.

Преподаватель: С каким важным понятием в математике вы работали на предыду-

щих уроках?

Студенты: Интеграл.

Преподаватель: Что вам известно об этом понятии?

Студенты:



Я знаю: что существуют определенные и неопределенные интегралы;



Я знаю формулу Ньютона – Лейбница;



Я знаю, что есть таблица основных интегралов, с помощью которой вычисля-

ются интегралы;



Я знаю, что есть свойства интегралов;



Я знаю, что есть в этой теме такое понятие как первообразная;

Я знаю, что интегралы применяются при нахождении площадей криволиней-

ной трапеции.

(Слайд № 2). Создаем кластер ответов.

Преподаватель. А, что бы вы хотели узнать, еще про интеграл?

Студенты: Я хочу узнать, где применяется интеграл в жизни?

Я хочу узнать, на каких дисциплинах мы сможем применить наши

знания об интеграле?

Преподаватель: Вопросов прозвучало много. Давайте с вами сформулируем

тему нашего урока.

Тема: «Применение определенного интеграла при решении прикладных за-

дач». (Слайд № 3 )

Открываем тетради, записываем, число и тему нашего занятия.

Исходя из темы занятия, сформулируем цель нашего занятия: Формирование

знаний о комплексном представлении практического применения интегра-

ла в различных областях и умения составлять математические модели ре-

альных ситуаций.

Чтобы ответить на поставленные вопросы. Давайте вспомним и повторим неко-

торые элементы изученного материала по теме «Интеграл».

Актуализация опорных знаний.

Повторение пройденного материала. (Слайды № 4-11)

Работа устно, 6 человек работают по индивидуальным заданиям (тест из 5 вопро-

сов) ( Приложение №1)

Молодцы, теоретический багаж ваших знаний по теме «Интеграл» достаточно ве-

лик. Давайте теперь посмотрим, как вы умеете применить его на практике.

Проверить верны ли равенства.(слайд 6 ) - устно

а)

∫

; б)

∫

; в)

∫

2 x

;

г)

∫

5 dx

5 x

(

−

;

д)

∫

(

−

;



Найти с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке.

(слайд ) – 1 студент к доске, остальные в тетрадях + чертеж.

Ответ. S= 8 кв.ед.

Мотивация

Преподаватель: Уважаемые студенты, ко мне поступило письмо и обращение

от вашего коллеги студента Токарева. Он пишет:! Я – студент филиала меж-

дународного колледжа электричества с. Амперное. Преподаватель математи-

ки Евклид Интегралович заставляет нас учить определенные интегралы и даже

грозит дать по ним контрольную работу, но половина группы считает, что в

обыденной жизни можно обойтись без интегралов. Вторая половина группы

молчит. Помогите разобраться: нужны ли эти интегралы или нет? Если нет,

то поведение преподавателя Е.И. можно рассматривать как превышение долж-

ностных обязанностей и спланированное издевательство над бедными студен-

тами.

С уважением, Петр Токарев»

Студент Токарев тоже хочет узнать, где применяется интеграл в жизни?

На прошлом занятии мы изучили применение интеграла в математике.

- нахождение площадей плоских фигур;

Любознательным было задание. Найти в сети Интернет практические задачи, где бы

при решении применялся интеграл. Вам нужно кратко записать в рабочие тетради,

где применяются определенные интегралы.

Студенты демонстрируют домашнее задание применение определенного интегра-

ла при решении практических задач:

1. Использование определенного интеграла

в физике.

2. Использование определенного интеграла

в геометрии.

3. Использование определенного интеграла

в естествознании (химии, биологии,

экономике).

Преподаватель: подводит итог выступлений студентов с презентациями.

Физминутка.

Представьте, что вы – красивый и стройный знак интеграла. Потянитесь руками к

вашему верхнему пределу интегрирования, вдох. Плавно, через стороны, опускаем

руки вниз и тянемся к нижнему пределу интегрирования, выдох. А теперь показыва-

ем, как широко понятие интеграла, руки в стороны, вдох. Исходное положение, вы-

дох. Движения повторяем.

5.Практическая работа. (работа в микрогруппах)

Преподаватель: Настала пора применить наши практические знания и умения

при решении практических задач. Постараемся показать значимость

интегрально-

го исчисления в применении в различных областях

наук…. Прежде чем, на-

чать нашу совместную деятельность, распределимся на группы. (Распределение в

микрогруппы по 4-5 человек)

Я вам предлагаю организовать вашу работу так. Допустим, вам надо сдать за-

четную или практическую работу, которую вы пропустили по болезни. Чтобы её

успешно сдать, вам нужно знать по какой теме работа, что нужно иметь для её вы-

полнения (информация). Нужно спланировать свои действия (приготовить пасту,

взять калькулятор ...). Принять решение (консультации по вторникам и пятницам, в

пятницу у меня тренировка, пойду во вторник, IV парой...). И выполнить работу.

Предлагаю каждой группе проблемное задание - провести расследование по пись-

мам. В письме две задачки. 1 – обязательная, которую вы представляете, 2 - решаете

в тетрадях, если остается время.

( Раздаточный материал - инструкционные карты – Приложение 2.)

Преподаватель: Уважаемые гости! Нам важно и Ваше мнение, поэтому в конце

занятия мы предлагаем Вам проголосовать, за ту группу, которая на Ваш взгляд бо-

лее детально и квалифицированно справилась со своим заданием.(Приложение 3 –

Критерии оценивания работы микрогрупп)

6. Представление «продуктов» деятельности микрогрупп

Преподаватель:

Каждая группа представляет свой «продукт деятельности ми-

крогруппы».

(Один студент из микрогруппы оформляет решение своей задачи на доске. В это

время преподаватель с остальными студентами решает кроссворд или с помощью

проектора разбирают решение второй задачи из письма.(Слайд 16)

Задачи всех микрогрупп студентам необходимо записать в свои рабочие тетради.

Правильность решения сравнивается с эталоном, представленным на слайдах.)

7. Подведение итогов совместной деятельности.

Преподаватель: Уважаемые студенты, проверяем совместную деятельность вашей

микрогруппы. Проверяем полноту и правильность выполнения заданий по предло-

женному эталону решенной задачи. (Сравнение предложенного алгоритма с этало-

ном решения; выявление собственных ошибок; анализ предложенного решения.

Самоконтроль, фронтальная беседа; взаимопроверка. Корректировка).

Преподаватель: Спасибо всем! Подошло время подвести итоги. На вопрос из

первого письма мы убедительно ответили, что интеграл имеет достаточно широкое

применение и привели множество примеров. Материал будет вручен недоверчивому

студенту Пете. На остальные письма вы ответили довольно детально и аргументиро-

вано. Чья группа оказалась лучше, нам помогут выбрать гости.(Выставление оценок

за урок: - за тест (индивидуальная работа); - за домашнюю работу ( презентации о

применении интеграла в различных науках); - за работу в микрогруппах).

8 Рефлексия и подведение итогов занятия

Преподаватель: Давайте посмотрим, какие цели мы ставили с вами в начале за-

нятия. (Слайд 15,18 )

Студенты: Формирование знаний о комплексном представлении практического

применения интеграла в различных областях и умения составлять математические

модели реальных ситуаций.

Преподаватель: Уважаемые студенты! А как Вы думаете, цель занятия достигну-

та? Удалось ли вам сегодня спланировать свою работу? Научились ли вы составлять

алгоритм решения? Смогли ли вы сконцентрироваться на выполнении здания?

Научились применять определённый интеграл при решении прикладных задач? По-

лучили ли вы опыт совместной работы? Какие здесь плюсы и минусы?

Рефлексия «Светофор».

Красный цвет – Не удалось разобраться в теме.

Желтый цвет – Остались вопросы.

Зеленый цвет – Тема раскрыта. Всё понятно.

Спасибо за урок.

Библиографический список

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике [Текст]: Учебное пособие

для СПО. Доп. Министерством образование РФ./ Н.В. Богомолов. – 8-е изд.,стерео-

тип. – М.: Высш.шк., 2018. – 495 с. (Среднее профессиональное образование).

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике [Текст]: Учебное пособие для СПО.

Доп. Министерством образования РФ./ Н.В. Богомолов. - М.: Дрофа, 2018. – 430с.

(Среднее профессиональное образование).

3. Богомолов Н.В. Математика [Текст]: Учебник для ССУЗов. – 2-е изд., стереотип.

Доп. Министерством образования РФ./ Н.В.Богомолов. – М: Дрофа, 2004 – 400с.

(Среднее профессиональное образование).

Приложение №1.

В каждом вопросе выберите правильный ответ и закрасьте ручкой соответствующие кружочки на

рисунке. Верхний ряд кружков соответствует ответу «а», средний – «б», нижний – «в». Первый

столбец слева соответствует первому вопросу теста и т.д. Затем соедините кружки линией.

Вариант № 1

1 Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:

а)

б)

в)

2 Вопрос. Интегрирование – это действие обратное

а) вычитанию б) дифференцированию в) сложению

3 Вопрос. Чему равен интеграл

а) = 5cosx +c б)= 2cosx +c в) = -10cosx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы

а)

б)

в)

5 Вопрос. Определенный интеграл

равен: а) 8 б) 100 в) -20

Ф.И. студента______________________

В каждом вопросе выберите правильный ответ и закрасьте ручкой соответствующие кружочки на

рисунке. Верхний ряд кружков соответствует ответу «а», средний – «б», нижний – «в». Первый

столбец слева соответствует первому вопросу теста и т.д. Затем соедините кружки линией.

Вариант №2

1Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:

а)

б)

в)

2 Вопрос. Правильность интегрирования можно проверить:

а) сложением б) дифференцированием в) вычитанием

3 Вопрос. Чему равен интеграл

а) = 5sinx +c б)= 2sinx +c в) = 8sinx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы

а)

б)

в) cosx + c

5 Вопрос. Oпределённый интеграл

равен: а) 1 б) 10 в) -30

Ф.И. студента______________________

Приложение №2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ ГРУППЫ №1

Тема:

Применение определенного интеграла при решении прикладных задач

Проблема (производственные задачи). Провести расследование по письму.

Письмо гражданки Ксении Преображенской.

Уважаема студенты. К вам обращаются жители с.Весеннее с предложением опубли-

ковать в вашей сайте учебного заведения объявление о благотворительной акции

(объявить сбор денежных средств на приобретение материала для изготовления ко-

локола, для храма Ксении Петербуржской). Но мы не знаем, сколько потребуется

металла и во сколько обойдется его приобретение. За ранее вам благодарны.

Решить задачу №1. Вычислить объем тела образованного вращением вокруг

оси Ох, ограниченного указанными линиями у = х

-9 и у = 0.

Указание.

Надо границы колокола описать с помощью известных функций,

рассмотреть криволинейную трапецию и найти объём тела вращения, полученного

вращением фигуры вокруг оси ОХ!

Решить задачу №2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в од-

ном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/

с, второе – со скоростью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они

окажутся через 5 секунд? (эту задачу оформите в своей тетради)

Ход работы:

1. Информирование.

Тема: «Применение интеграла при решении прикладных задач»

Вспомни! Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти неопределённый

интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

∫

(

)

(

) ¿



(

)−

(

) ¿

, где F(x) – первообразная для функции f(x).

Например,

∫

(

3 x

−

4 x

)

∫

−

∫

xdx

∫

(

−

)



(

−

2 x

)



(

−

⋅

)

− ¿−

(

−

⋅

)

(

−

)

−

(

−

)

¿ ¿

∫

y=f(x) - функция, график которой есть кривая(прямая), вращающаяся вокруг оси Ох и

образующая поверхность искомого тела вращения; а и b пределы интегрирования

вычисляется по формуле

y=f(x)

x=a

x=b



ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ ГРУППЫ №2.

Тема:

Применение определенного интеграла при решении прикладных задач

Проблема (производственная задача). Провести расследование по письму.

Письмо гражданина Иванова П.П.

Уважаемые студенты, к вам обращается пенсионер Иванов Петр Петрович. Я

прошу Вас провести независимое расследование. Две недели назад на железном

переезде у меня заглохла машина. Мне навстречу двигался поезд. Прошу Вас прове-

рить результаты экспертизы и ответить на вопрос? Можно было бы избежать

столкновения с поездом. Может все-таки я не виноват в произошедшей аварии. За

ранее Вам благодарен.

П.П. Иванов.

Решить задачу №1. На железнодорожном переезде у машины заглох мотор. Я побе-

жал навстречу поезду, подавая сигналы об опасности. Можно ли избежать аварии,

если поезд находится на расстоянии 900 метров от переезда и при экстренном тор-

можении скорость грузового поезда меняется по закону

(

−

0,2 t

, а скорость

пассажирского по закону

(

−

0,4 t

, где v – скорость (м/с), t – время (сек)?

Скорость движения поезда до начала торможения – 72 км/ч.

Вам нужно решить только случай с грузовым поездом!!!

(Решите задачу №2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в

одном

направлении

по

прямой.

Первое

тело

движется

со

скоростью

(

6 t

м/с, второе – со скоростью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии

друг от друга они окажутся через 5 секунд?

(эту задачу оформите в своей тетради)

Ход работы:

1. Информирование.

Тема: «Применение интеграла при решении прикладных задач»

Вспомни! Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти неопределённый

интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

∫

(

)

(

) ¿



(

)−

(

) ¿

, где F(x) – первообразная для функции f(x).

Например,

∫

(

3 x

−

4 x

)

∫

−

∫

xdx

∫

(

−

)



(

−

2 x

)



(

−

⋅

)

− ¿−

(

−

⋅

)

(

−

)

−

(

−

)

¿ ¿

∫

(

)

Если v(t) – скорость прямолинейно движущейся точки в момент вре-

мени t, то перемещение точки за промежуток времени

от t

до t

вычисляется по формуле:

Скорость движения точки изменяется по закону

(

3 t

(м/с).

Найдите путь, пройденный точкой за 10 секунд от начала движения.

Решение.

По условию t

= 0, до t

= 10. По формуле находим:

∫

(

)

∫

(

3 t

)

(

)



(

)

1110

(м)



Замечание к задаче №1. Не забудьте перевести единицы измерения скорости в со-

ответствии с условием задачи:

км



ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ ГРУППЫ №3

Тема:

Применение определенного интеграла при решении прикладных задач

Проблема (производственные задачи). Провести расследование по письму.

Письмо от Администрации Весеннего сельского совета.

Уважаемая студенты, к вам обращается Администрация сельского совета с.

Весеннее. Помогите разобраться в начислениях за оплату электроэнергии. Подроб-

ности в письме.

Решить задачу №1. Потребление электроэнергии в киловатт-часах населением

сел: Красное, Зеленое, Белое с 8 до 18 ч приближенно описывается функцией

у=10 000 - 8t + 15t

, где t – количество часов. Вычислить стоимость электроэнергии,

потребляемой сельским поселение, если стоимость 1 квт·ч равна 1.9 руб.

Решить задачу №2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в од-

ном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/

с, второе – со скоростью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они

окажутся через 5 секунд? (эту задачу оформите в своей тетради)

Ход работы:

1. Информирование.

Тема: «Применение интеграла при решении прикладных задач»

Вспомни! Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти неопределённый

интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

∫

(

)

(

) ¿



(

)−

(

) ¿

, где F(x) – первообразная для функции f(x).

Например,

∫

(

3 x

−

4 x

)

∫

−

∫

xdx

∫

(

−

)



(

−

2 x

)



(

−

⋅

)

− ¿−

(

−

⋅

)

(

−

)

−

(

−

)

¿ ¿

Если f (х) – нагрузка на электростанцию, квт.ч где х число

часов, отчитываемое от начала суток, то расход

электроэнергии в течении времени от а до b будет:



∫

(

)

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ ГРУППЫ №4

Тема:

Применение определенного интеграла при решении прикладных задач

Проблема (производственная задача). Провести расследование по письму.

Письмо гражданки Афанасьевой.

Уважаемая студенты, Вам пишет главный бухгалтер Т.Д.Афанасьева , которой

поручено составить смету на создание ландшафтного дизайна приколледжной тер-

ритории (если проще, то создать небольшую клумбу). Я прошу Вас провести неза-

висимое расследование, а именно помочь рассчитать затраты на озеленение участка

рядом с главным корпусом филиала.

Решить задачу №1. Перед главным корпусом филиала решено разбить клум-

бу. Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной.

Она должна содержать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской

фигурой, ограниченной линиями Y=4/X+2; X=4; Y=6. Необходима еще подсчитать

сколько денег можно получить за вскапывания этой клумбы, если за каждый м²

выплачивают 50 руб…?

Решить задачу №2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в од-

ном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/

с, второе – со скоростью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они

окажутся через 5 секунд? (эту задачу оформите в своей тетради)

Ход работы:

1. Информирование.

Тема: «Применение интеграла при решении прикладных задач»

Вспомни! Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти неопределённый

интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

∫

(

)

(

) ¿



(

)−

(

) ¿

, где F(x) – первообразная для функции f(x).

Например,

∫

(

3 x

−

4 x

)

∫

−

∫

xdx

∫

(

−

)



(

−

2 x

)



(

−

⋅

)

− ¿−

(

−

⋅

)

(

−

)

−

(

−

)

¿ ¿

Криволинейной трапецией называется фигура,

ограниченная графиком непрерывной и не меняющей

на отрезке [а; b] знака функции f (х), прямыми

х=а, х= b и отрезком [а; b].

Задание: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

√

х=9

№

шага

План вычисления площади

криволинейной трапеции

Применение плана

Строим заданные линии и

штриховкой отмечаем фи-

гуру,

площадь

которой

надо найти. Установим, яв-

ляется ли эта фигура кри-

волинейной трапецией

Находим пределы интегри-

рования

{

√

х ;

√

2 ; х

4 ,

¿ ¿ ¿

4 ; b

Записываем формулу для

вычисления искомой фигу-

ры

ABCDE

−

ABDE

∫

√

x dx

−

∫

2 dx

Вычисляем искомую пло-

щадь по формуле

∫

√

x dx

−

∫

2 dx

2 x

|¿

−

2 x

(

−

)−

(

−

(

кв . ед .

)



∫

(

)

Эталон решения задачи ( для группы №1)

Задача.

Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси Ох, ограни-

ченного указанными линиями у = х

-9 и у = 0

Указание.

Надо границы колокола описать с помощью известных функций,

рассмотреть криволинейную трапецию и найти объём тела вращения, полученного

вращением фигуры вокруг оси ОХ!

Решение. Выполним построение. Пределы интегрирования в силу симметричности

фигуры относительно оси Оу возьмем от 0 до 3, а затем полученный результата

удвоим.

Строим схематический чертеж, заданной области.

По формуле, получаем:

∫

(

−

)

∫

(

−

18 x

)

(

−

6 x

81 x

)

129 ,6 π

⋅

129 ,6 π

259 ,2 π

(

куб . ед .

)

Ответ:

259,2π

(

куб . ед

)

Задача 2.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направ-

лении по прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/с, второе –

со скоростью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся

через 5 секунд?

Решение

x=3

x=-3

Очевидно, что искомое расстояние есть разность расстояний, пройденных первым и

вторым телом за 5 секунд:

∫

(

6 t

2 t

)

(

2 t

)



275

(м)

∫

(

4 t

)

(

2 t

5 t

)



(м)

Отсюда получаем,

−

275

−

200

(м) Ответ: 200 м.

Эталон решения задачи ( для группы №2)

На железнодорожном переезде у машины заглох мотор. Хозяин автомобиля побе-

жал навстречу поезду, подавая сигналы об опасности. Можно ли избежать аварии,

если поезд находится на расстоянии 900 метров от переезда и при экстренном тор-

можении скорость грузового поезда меняется по закону

(

−

0,2 t

, а скорость

пассажирского по закону

(

−

0,4 t

, где v – скорость (м/с), t – время (сек)?

Скорость движения поезда до начала торможения – 72 км/ч.

Решение:

Прежде всего, переведём единицы измерения скорости в соответствие с

условием задачи: v

= 72 км/ч = 72000м/3600сек =

72000

3600

м/с = 20 м/с.

Рассмотрим случай по пути движется грузовой поезд.

(

−

0,2 t

−

0,2 t

По пути движется грузовой поезд.

В момент остановки скорость поезда равна 0. Следовательно,

Решая уравнение, найдём время, через которое поезд остановится после начала тор-

можения:

−

0,2 t

0,2

100

сек

Отсюда находим тормозной путь:

∫

(

)

∫

100

(

−

0,2 t

)

(

20 t

−

0,2

)



100

⋅

100

−

0,1

⋅

100

−

2000

−

1000

м.

Так как тормозной путь больше расстояния, на котором находится поезд – 1000м >

900м, то избежать столкновения не удастся.

Задача 2.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по

прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/с, второе – со скоро-

стью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5

секунд?

Решение

Очевидно, что искомое расстояние есть разность расстояний, пройденных первым и

вторым телом за 5 секунд:

∫

(

6 t

2 t

)

(

2 t

)



275

(м)

∫

(

4 t

)

(

2 t

5 t

)



(м)

Отсюда получаем,

−

275

−

200

(м) Ответ: 200 м.

Эталон решения задачи ( для группы №3)

Задача. Потребление электроэнергии в киловатт-часах населением сел: Красное,

Зеленое, Белое с 8 до 18 ч приближенно описывается функцией у=10 000 - 8t +

15t

, где t – количество часов. Вычислить стоимость электроэнергии, потребляемой

сельским поселение, если стоимость 1 квт·ч равна 1.9 руб.

Решение:

Если f (х) – нагрузка на электростанцию, квт.ч, где х число часов, отчи-

тываемое от начала суток, то расход электроэнергии в течении времени от

а до b будет:

∫

(

)

Период с 8 часов утра и до 6 часов вечера равен 10 часам, следовательно а=0, b=10

•

Используем данные и получаем:

10 10

E = ∫ (1000 - 8t + 15t

)dx= 1000 x-4t²+5t

| =

0 0

= 1000*10-4*100+5*1000=11000 (киловатт-час)



стоимость электроэнергии, потребляемой сельским поселение

11000 *1,90=20900 (рублей)

Ответ: стоимость электроэнергии, потребляемой сельским поселение 20900

(рублей)

Задача 2.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по

прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/с, второе – со скоро-

стью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5

секунд?

Решение

Очевидно, что искомое расстояние есть разность расстояний, пройденных первым и

вторым телом за 5 секунд:

∫

(

6 t

2 t

)

(

2 t

)



275

(м)

∫

(

4 t

)

(

2 t

5 t

)



(м)

Отсюда получаем,

−

275

−

200

(м) Ответ: 200 м.

Эталон решения задачи ( для группы №4)

Задача. Перед главным корпусом филиала решено разбить клумбу. Но по форме

клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содер-

жать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской фигурой, ограничен-

ной линиями Y=4/X+2; X=4; Y=6. Необходима еще подсчитать сколько денег мож-

но получить за вскапывания этой клумбы, если за каждый м² выплачивают 50

руб…?

Решение: Пусть клумба будет плоской фигурой, ограниченной линиями

;

x=4;y=6. Необходимо еще подсчитать сколько денег можно получить за вскапы-

вание этой клумбы, если за каждый 1м² выплачивается 50 руб…?

•

Дано: фигура

; x=4;y=6.

Найдем пределы интегрирования:

{

⟹

{

⟹

{

⟹

{

Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо

найти.

Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией.

Y=6

1 4

Вычислим площадь полученной фигуры с помощью интеграла:

∫

(

−

)

(

4 x

−

4 lnx

)

∨

−

4 ln 4

−

ln 1

−

ln 256

−

5,5

6,4

(м²)

Заработок?

6,5

∗

320

(

рублей

)

Ответ: площадь клумбы

6,5

(м²) заработок 320 рублей.

Задача 2.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по

прямой. Первое тело движется со скоростью

(

6 t

м/с, второе – со скоро-

стью

(

4 t

м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5

секунд?

Решение: Очевидно, что искомое расстояние есть разность расстояний, пройден-

ных первым и вторым телом за 5 секунд:

∫

(

6 t

2 t

)

(

2 t

)



275

(м)

∫

(

4 t

)

(

2 t

5 t

)



(м)

Отсюда получаем,

−

275

−

200

(м) Ответ: 200 м.

Приложение№3

Критерии оценки за работу в микрогруппах.

Оценка 5 - Задача решена верно, полное соответствие эталону.

Оценка 4 - Задача решена, но возможно допущена вычислительная ошибка. При

этом найдена и исправлена.

Оценка 3 - Задача решена, но возможно допущена вычислительная ошибка. При

этом не найдена и не исправлена.

Оценка 2 - Задача решена неверно.

Кроссворд (Слайд №4) – (Если останется свободное время)

2. Что является графиком функции у=ах+b?

3. Самая низкая школьная оценка.

4. Какой урок обычно проходит перед зачётом?

5. Синоним слова дюжина?

6. Есть в каждом слове, у растения и может быть у уравнения.

7. Что можно вычислить при помощи интеграла?

8. Одно из важнейших понятий математики.

9. Форма урока, на котором проводится проверка знаний.

10.Немецкий ученый, в честь которого названа формула,

связывающая площадь криволинейной трапеции и интеграл.

11. Множество точек плоскости с координатами (x, f(x)), где х пробегает об

ласть определения функции f.

12.Соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому значению

множества Х поставлено в соответствие

единственное значение из

множества Y, носит название ....

1. Как называется функция F(x)?

Ответы: 1. Первообразная. 2. Прямая. 3. Единица. 4. Контроль. 5. Двенадцать.

6. Корень. 7. Площадь. 8. Интеграл. 9. Зачет. 10. Лейбниц. 11. График. 12. Функция.

В раздел образования

Слово педагога

Применение интеграла при решении прикладных задач